高中数学选修2-2课时练习第一章 3

高中数学选修2-2课时练习第一章 3

‎§3　反证法 ‎[学习目标]‎ ‎1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．‎ ‎2．了解反证法的思考过程、特点．‎ ‎3．理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．‎ ‎[知识链接]‎ 分析反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现几种情况？‎ 答案　可能会出现以下三种情况：‎ ‎(1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾；‎ ‎(2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；‎ ‎(3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．反证法的定义 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．‎ ‎2．反证法证明的思维过程 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．‎ 用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：―→―→ ‎―→ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　用反证法证明“至多”“至少”型命题 例1　已知x，y>0，且x＋y>2.‎ 求证：，中至少有一个小于2.‎ 证明　假设，都不小于2，‎ 即≥2，≥2.‎ ‎∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.‎ ‎∴2＋x＋y≥2(x＋y)，‎ 即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．‎ ‎∴，中至少有一个小于2.‎ 规律方法　对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．‎ 跟踪演练1　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．‎ 证明　假设a，b，c，d都是非负数，‎ ‎∵a＋b＝c＋d＝1，‎ ‎∴(a＋b)(c＋d)＝1.‎ 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，‎ ‎∴ac＋bd≤1.‎ 这与已知ac＋bd>1矛盾，‎ ‎∴a，b，c，d中至少有一个是负数．‎ 要点二　用反证法证明不存在、唯一性命题 例2　求证对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．‎ 证明　假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，所以 　 由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④‎ 当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．‎ 由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤‎ 由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得：‎ ak＝3，这与①矛盾．‎ 所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．‎ 规律方法　证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．‎ 跟踪演练2　求证方程2x＝3有且只有一个根．‎ 证明　∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：‎ 假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，‎ 则2b1＝3,2b2＝3，‎ 两式相除得2b1－b2＝1.‎ 若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．‎ 若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．‎ ‎∴b1－b2＝0，则b1＝b2.‎ ‎∴假设不成立，从而原命题得证．‎ 要点三　用反证法证明否定性命题 例3　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎(1)解　设公差为d，由已知得 ‎∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N＋，‎ ‎∴ ‎∴2＝pr，(p－r)2＝0，‎ ‎∴p＝r，这与p≠r矛盾．‎ 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ 规律方法　(1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．‎ ‎(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．‎ 跟踪演练3　已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．‎ 证明　假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，由0b C．a＝b D．a＝b或a>b 答案　D ‎4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)‎ A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交 答案　D ‎5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．‎ 证明　(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．‎ 设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.‎ ‎∵4(n2＋n)是偶数，‎ ‎∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．‎ 由上述矛盾可知，a一定是偶数．‎ ‎1．反证法证明的基本步骤 ‎(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)‎ ‎(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)‎ ‎(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)‎ ‎2．用反证法证题要把握三点：‎ ‎(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．‎ ‎(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．‎ ‎(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)‎ ‎①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④‎ 答案　D ‎2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案　C 解析　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.‎ ‎3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋‎1”‎，当此题用反证法否定结论时应为(　　)‎ A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1‎ B．存在正整数n，使xn＝xn＋1‎ C．存在正整数n，使xn≥xn＋1‎ D．存在正整数n，使xn≤xn＋1‎ 答案　D 解析　“任意”的反语是“存在一个”．‎ ‎9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ 答案　C 解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，‎ 则＋＋<6.‎ 又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.‎ ‎10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－‎2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　a≤－2或a≥－1‎ 解析　若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－‎4a2＝(‎3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(‎2a)2＋‎8a＝‎4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0.‎ 证明　用反证法：‎ 假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，‎ 这三个数中必有两个为负数，一个为正数，‎ 不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，‎ 可得c>－(a＋b)，‎ 又a＋b<0，‎ ‎∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，‎ ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab，‎ 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2‎ ‎∵a2>0，ab>0，b2>0，‎ ‎∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，‎ 即ab＋bc＋ca<0，‎ 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，‎ 所以假设不成立．‎ 因此a>0，b>0，c>0成立．‎ ‎12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.‎ 证明　假设三个式子同时大于，‎ 即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①‎ 又因为0

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