高三数学同步测试—导数与复数

高三数学同步测试—导数与复数

高三数学同步测试—导数与复数 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 150 分；答题时间 120 分钟. 第 I 卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（ 05 年高考天津卷）若复数 i ia 21 3   （a∈R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 （ ） A．－2 B．4 C．－6 D．6 2．设曲线 2xy  在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为 （ ） A．（ 3，9） B．（－3，9） C．（ 4 9,2 3 ） D．（ 4 9,2 3 ） 3．已知 )32(33 izi  ，那么复数 z 在复平面内对应的点位于 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．函数 0)( xxxf 在 处连续是 处可导的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 5．若（m+i）3 为实数，则正实数 m 的值为 （ ） A．1+2 3 B． 3 3 C． 3 D． 2 3 6．已知二函数 34 4,3 xyaxy  ，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合， 则切斜线率为 （ ） A．0 B．12 C．0 或 12 D．4 或 1 7．设复数 ,|sin||cos| iz   ，则函数 zzf )( 的性质适合 （ ） A．最小正周期为 1 ,2 值域为 ]2,1[ B．最小正周期为π ，值域为 ]2,1[ C．最小正周期为 1 ,2 值域为 2,0[ ] D．最小正周期为π ，值域为 ]2,0[ 8．一点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的距离为 tttts 873 7 4 1 234  ，那么速 度为零的时刻是 （ ） A．1 秒末 B．2 秒末 C．2，4 秒末 D．1，2，4 秒末 9．（ 05 年高考辽宁卷）复数 .11 1   i iz 在复平面内，z 所对应的点在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．设 ,)(,0 2 cbxaxxfa  曲线 )(xfy  在点 ))(,( 00 xfxP 处切线的倾斜角的取值 范围为 ]4,0[  ，则 P 到曲线 )(xfy  对称轴距离的取值范围为 （ ） A．[ a 1,0 ] B． ]2 1,0[ a C． |]2|,0[ a b D． |]2 1|,0[ a b  11．若二次函数 12)2(24)( 22  ppxpxxf 在区间[－1，1]内至少存在一点 C（c，0），使 0)( cf ，则实数 p 的取值范围是 （ ） A． 2 33  p B． 3p C 12 1  p ． D． 2 13  p 或 2 31  p 12．已知函数 1)6()( 23  xaaxxxf 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是（ ） A． 21  a B． 63  a C． 21  aa 或 D． 63  aa 或 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13．（ 05 年全国卷 3）已知复数 0 0 03 2 , 3 ,z i z z z z z    复数 满足 z 则复数 . 14．如果曲线 0 32 23 xxxyxy  在与 处的切线互相垂直，则 x0 的值为 . 15．集合 NMCzizizZNCzxzM 则},|,||||{},1|1||{  是 . 16．已知函数      )0(2sin )0(1)( xxb xexf ax 在 R 上可导，则 a= ，b= . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分 12 分） 已知复数 z1=cosθ －i，z2=sinθ +i，求| z1·z2|的最大值和最小值. 18．（本小题满分 12 分）设 13 2  a ，函数 )11(2 3)( 23  xbaxxxf 的最大值为 1， 最小值为 2 6 ，求常数 a、b 的值. 19．（本题满分 12 分）设 z 为复数，在复平面上已知曲线 C1、C2、C3 且 C1 满足 32|1||1|  zz ，C2 满足 ,2|| z C3 满足 |,2 3||2 1|  zz C1 与 C3 的两个公共 点为 A、B，分别过 A、B 作 x 轴的平行线交 C2 于 M、N 两点，OM、ON 的倾角分别为 α 、β ，（ O 为原点），求 cos(α +β )的值. 20．（本小题满分 12 分）已知函数 2)( 23  xcbxaxxxf 在 处取得极值，并且它 的图象与直线 33  xy 在点（1，0）处相切，求 a、b、c 的值. 21．（本小题满分 12 分）已知 cbxaxxxf  23)( 有极大值 )(f 和极小值 )(f . （1）求 + 的值； （2）设曲线 )(xfy  的极值点为 A、B，求证：线段 AB 的中点在 上. 22．（ 05 年全国卷 3，本小题满分 14 分）已知函数 ].1,0[,2 74)( 2   xx xxf （Ⅰ）求 )(xf 的单调区间和值域； （Ⅱ）设 1a ，函数 ],1,0[],1,0[].1,0[,23)( 01 23  xxxaxaxxg 总存在若对于任意 使得 )()( 10 xfxg  成立，求 a 的取值范围. 高三数学同步测试⑶参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B C B C A D B B A D 二、填空题 13． i2 31 ； 14． 6 363 ； 15．{0，2}； 16．a=2，b=2. 三、解答题 17．解： .2sin4 12cossin2 )sin(cos)cossin1( |)sin(coscossin1||| 222 22 21       izz 故 || 21 zz  的最大值为 ,2 3 最小值为 2 . …………12 分 18．解： )(333)( 2 axxaxxxf  当 x 变化时，y′、y 的变化情况列表如下： x －1 （－1,0） 0 （0,a） a （a,1） 1 f′(x) + 0 － 0 + f(x) ba  2 31 ↗ b ↘ ba  2 3 ↗ ba  2 31 由上表可以看出，当 x=0 时，f(x)取得极大值 b，而 f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需要比较 f(0) 与 f(1)的大小. …………6 分 ∵ 012 3)1()0(  aff ，∴f(x)的最大值为 f(0)=b=1， 0)2()1(2 1)23(2 1)()1( 23  aaaaaff ， ∴f(x)的最小值为 f(－1). 即 2 6 2 312 3  aba ，∴ 3 6a ，b=1. …………12 分 19．解：C1 为椭圆： .023:;2,;123 3 22 2 22  yxCyxCyx 为直线为圆 设 )sin2,cos3(),sin2,cos3(  BA 把 A、B 两点的坐标代入直线 C3 的方程中，得 02sin23cos3   ① .02sin23cos3   ② …………6 分 ①—②得 02sin2cos262sin2sin320)sin(sin23)cos(cos3   即 2 2 1 tan 1 6 52tan 6, cos( ) .2 1 6 71 tan 2             故有 …………12 分 20．解：由曲线 )(xfy  过（1，0）得 01  cba ① 又 axxxf 23)( 2  +b 则 0412)2(  baf ② …………9 分 323)1(  baf ③ ……9 分. 解①②③得 6,8,1  cba . ……12 分. 21．解：（1） baxxxf  23)( 2 ，由于 )(xf 有极大值和极小值，  、 023 2  baxx为 的两根， 则  )()()()(,3,3 2 2323 cbacbaffba   ]2)[()](3)[(2)()()( 232233  acba cabacabbaaabacb 23 2 27 42)3 2()]3(2)3 2[()]3 2(33)3 2[(2)( 323   …7 分 （2）设         cbaffBfA 2 ) 2 () 2 () 2 (),(,()),(,( 33   由 )]()([2 1 3 1 27 2)3()3()3( 323  ffcabacabaaa  知 AB 的中点在 )(xfy  上 …………12 分 22．解：（I）对函数 )(xf 求导，得 22 2 )2( )72)(12( )2( 7164)( x xx x xxxf     令 0)(  xf 解得 .2 7 2 1  xx 或 当 x 变化时， )(),( xfxf  的变化情况如下表： x 0 （0， 2 1 ） （ ，1） 1 )(xf  － 0 + )(xf 2 7 －4 －3 所以，当 )2 1,0(x 时， 是减函数；当 )1,2 1(x 时， 是增函数. 当 ]1,0[x 时， 的值域为[－4，－3]. （II）对函数 )(xg 求导，得 ).(3)( 22 axxg  因为 1a ，当 )1,0(x 时， .0)1(3)( 2  axg 因此当 时， )(xg 为减函数，从而当 时有 )].0(),1([)( ggxg  又 ,2)0(,321)1( 2 agaag  即 时有 ].2,321[)( 2 aaaxg  任给 ]1,0[1 x ， ]3,4[)( 1 xf ，存在 ]1,0[0 x 使得 )()( 10 xfxg  ， 则 ].3,4[]2,321[ 2  aa 即      .32 ,4321 2 a aa 解①式得 3 51  aa 或 ；解②式得 .2 3a 又 1a ，故 a 的取值范围为 .2 31  a ① ②