江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 江苏省常州市“教学研究合作联盟”‎ ‎2019-2020学年度第一学期期中质量调研 高一数学试卷 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1.已知集合，，的子集个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合的交集,进而可求得交集的个数.‎ ‎【详解】由题意,,故的子集个数为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】集合有个元素,则它的子集有个.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可.‎ 详解】由题意可得,,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】求函数定义域要注意:‎ ‎①分母不为零;‎ ‎②偶次根式的被开方数非负;‎ ‎③对数的真数部分大于零;‎ ‎④指数与对数的底数大于零且不等于1;‎ ‎⑤函数中 ‎⑥中.‎ ‎3.已知函数与分别由下表给出，则（ ）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ A. 4 B. 1 C. 3 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表中数据可求得的值,进而可求得的值.‎ ‎【详解】由题意,,则.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎4.己知函数（，且）的图象恒过定点A，则A的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,将代入函数表达式,可求出答案.‎ ‎【详解】由函数（,且）的图象恒过定点,‎ 对函数,令,可得,‎ 故函数的图象恒过定点.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎5.函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题易得,结合函数零点存在性定理可得到答案.‎ ‎【详解】由题意知,,,,,,‎ 因为,所以是函数的零点所在的一个区间.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题.‎ ‎6.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域,可排除A,C,再由时,,可排除B,从而选出答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为,可排除A,C;‎ 当时,,显然只有D符合题意.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎7.若幂函数的图象经过点，则（ ）‎ A. 9 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出幂函数的解析式,将点代入,可求得的解析式,进而可求得.‎ ‎【详解】由题意,设,则,解得.‎ 所以,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题.‎ ‎8.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出的大小.‎ ‎【详解】由指数函数的单调性可得,,,即,,‎ 由对数函数的单调性可得, ,即,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎9.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,结合函数是定义在上的奇函数,可得,求出即可求得答案.‎ ‎【详解】由题意,,‎ 因为函数是定义在上的奇函数，所以,‎ 当时，，则,故.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎10.“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（ ）‎ A. 135米 B. 160米 C. 175米 D. 180米 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将,,代入,可求得的值,进而结合二次函数的性质,可求得的最大值.‎ ‎【详解】由题意,当时,,代入,可得,解得,则,当时,取得最大值.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎11.已知函数的定义域为，对于任意，都满足，且对于任意的，当时，都有，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,在上单调递增,结合,可得,求解即可.‎ ‎【详解】由题意,函数对于任意的，当时，都有,则函数在上单调递减,‎ 又定义域为,且满足，即函数为偶函数,故函数在上单调递增.‎ 由,可得,即或者,解得或.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.‎ ‎12.已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值.‎ ‎【详解】由题意,,易知在上单调递减,在上单调递增,‎ 则在上的最小值为.‎ 所以在时取得最小值3.‎ 故函数满足,解得,‎ 则,‎ 故当时,取得最大值为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ 二、填空题：共4题，每题5分，共20分 ‎13.若集合，，且，则实数m的取值范围为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合,再由可列出不等式,进而可求得答案.‎ ‎【详解】由题可知,,‎ 因为,,所以,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎14.已知函数在R上为偶函数，且时，，则当时，________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,,可求得的表达式,再由在R上为偶函数,可得,‎ 从而可求出时,的表达式.‎ ‎【详解】当时,,则,‎ 又函数在R上为偶函数,则,‎ 故当时,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎15.已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合是否等于0进行分类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案.‎ ‎【详解】当时,是上的增函数,显然符合题意;‎ 当时,是二次函数,由函数在上是单调递增函数,可得,解得.‎ 综上,实数a的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题.‎ ‎16.已知，函数，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a的范围.‎ ‎【详解】对于任意的,恒成立,‎ 当时,,即,‎ 因为,所以,则;‎ 当时,,即,‎ 令,则在上单调递增,在上单调递减,,,故,则.‎ 所以,实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数性质,利用参变分离及二次函数的性质是解决本题的关键,属于基础题.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分 ‎17.（1）已知，化简：；‎ ‎（2）求值：‎ ‎【答案】（1）7；（2）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可;‎ ‎（2）结合对数的运算性质,进行化简即可.‎ ‎【详解】（1）,又,.‎ ‎,,‎ ‎∴.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎18.设，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由集合可求得,再由可得到集合,然后将集合与取并集即可;‎ ‎（2）由可知,进而可得,求解即可.‎ ‎【详解】（1）由,则或,‎ ‎,则,‎ 所以.‎ ‎（2）由,则,‎ 可得,解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎19.已知函数是奇函数.‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）求证：函数在上是单调增函数.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的定义域,再由是奇函数,可得对于定义域内的任意 恒成立,即,从而可求得实数m的值;‎ ‎（2）利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤.‎ ‎【详解】（1）由题意,,解得,所以的定义域为,‎ 由是奇函数,则对于定义域内的任意恒成立.‎ 则,即,‎ 即,则,‎ 因为该式对于定义域中的任意都成立,所以.‎ 经检验,时,是奇函数. ‎ ‎（2）证明:在内任取,且,‎ ‎, ‎ ‎∴,,,‎ ‎,在上单调递增.‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题.‎ ‎20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元，甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.‎ ‎（1）分别写出在甲、乙两商场购买双运动鞋所需费用的函数解析式和；‎ ‎（2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合甲商场的销售方式,可得时,去甲商场购买的单价为元,时，去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为元,进而可求出和的解析式;‎ ‎（2）分和两种情况,讨论和的大小关系,即可求出答案.‎ ‎【详解】（1）由题意,,‎ 由,可得当时,去甲商场购买运动鞋的单价为元,此时所需费用为;当时，去甲商场购买运动鞋的单价为440元,所需费用为元;‎ 去乙商场购买运动鞋单价一直为元,所需费用为元.‎ 则,.‎ ‎（2）当且时,成立;‎ 当且时,‎ 令,解得,‎ 令,解得,‎ 令,解得,‎ 所以,该单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.‎ ‎【点睛】本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，作出函数的图象；‎ ‎（2）是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）图象见解析；（2）存在或满足条件，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;‎ ‎（2）分,和三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在上的最小值,令其等于8,可求出答案.‎ ‎【详解】（1）当时,,‎ 图象见下图:‎ ‎（2）假设存在实数,使得函数在区间上有最小值8,‎ ‎,.‎ ‎①当时,,‎ 函数的对称轴为，‎ 在上单调递增,‎ ‎,解得,符合题意;‎ ‎②当时,不可能有最小值8（舍去）;‎ ‎③当时,,‎ 是开口向下的二次函数,对称轴为,‎ 只需比较和的大小,‎ ‎,‎ 若,,此时在时取得最小值,即,解得,不符合题意,舍去;‎ 若,,此时在时取得最小值,即,解得,符合题意.‎ 综上,或.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.‎ ‎22.对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.‎ ‎（1）求证：是函数的一个“优美区间”.‎ ‎（2）求证：函数不存在“优美区间”.‎ ‎（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;‎ ‎（2）若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论;‎ ‎（3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值.‎ ‎【详解】（1）在区间上单调递增,‎ 又,,∴的值域为,‎ ‎∴区间是的一个“优美区间”. ‎ ‎（2）设是已知函数的定义域的子集.‎ 由,可得或,‎ ‎∴函数在上单调递减.‎ 若是已知函数的“优美区间”,则,‎ 两式相减得,,则,‎ ‎,‎ 则,显然等式不成立,‎ ‎∴函数不存在“优美区间”.‎ ‎（3）设是已知函数定义域的子集.‎ 由,则或,‎ 而函数在上单调递增.‎ 若是已知函数的“优美区间”,则,‎ ‎∴是方程，即的两个同号且不等的实数根.‎ ‎,∴同号,只须,‎ 解得或,‎ ‎,‎ ‎∴当时,取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎