2019-2020学年江西省宜春市万载中学高一（衔接班）上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省宜春市万载中学高一（衔接班）上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省宜春市万载中学高一（衔接班）上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，，，∴，故选A.‎ ‎【考点】1.解一元二次不等式；2.集合的交集.‎ ‎2．直线的倾斜角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：因为直角坐标系中，直线斜率为-，倾斜角，选D ‎3．已知，，，则a，b，c的大小关系是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．‎ ‎4．已知是两条直线，是两个平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】A不正确，因为n可能在平面内；‎ B两条直线可以不平行；‎ C当m在平面内时，n此时也可以在平面内。故选项不对。‎ D 正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的。‎ 故答案为：D。‎ ‎5．已知直线, 若, 则的值为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】两直线垂直，斜率相乘等于 .‎ ‎【详解】‎ 由题意得，直线的斜率是，直线的斜率是，‎ 因为直线，所以，解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线垂直的斜率关系.‎ ‎6．已知幂函数的图象经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式，再求函数值．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意设，‎ ‎∵幂函数的图象经过点，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴，则，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的函数解析式的求法，幂函数的基本知识的应用，属于基础题．‎ ‎7．设函数，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据，即可化简出，再代入,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知：.‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数对称点的函数值，属于基础题,解本类题只需将已知函数值代入，化简为所求函数值的形式，即可解出答案.‎ ‎8．函数的图像为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的定义域为可排除B、D.再由单调性即可选出答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，，故排除B、D.‎ 当时，，故A正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的值，判断 的正负号.‎ ‎9．设函数，则（ ）‎ A．在定义域内没有零点 B．有两个分别在内的零点 C．有两个在内的零点 D．有两个分别在内的零点 ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的零点存在性定理，结合，，，可判断出函数零点个数及位置，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，，‎ 故且，‎ 由零点存在性定理得，函数在区间和上各有一个零点，‎ 故函数有两个在内的零点，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点存在性定理，熟练掌握函数的零点存在性定理的适用范围及方法是解答的关键，属于基础题．‎ ‎10．已知实数，实数满足方程，实数满足方程，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是的解， 是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，根据函数图象关于对称，可得利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为是的解,是的解，‎ 所以分别是和与的图象交点的横坐标，‎ 可得，的图象与的图象关于直线对称，‎ 的图象也关于直线对称，点关于直线对称，‎ 设关于直线对称的点与点重合，‎ 则，‎ 故的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ ‎11．已知是定义在R上的函数若方程有且只有一个实数根则可能是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A，解绝对值的方程可得四个实数解，即可判断；对于B，方程，方程无解，即可判断；对于C，由方程化简和非负数的概念，即可判断；对于D，由方程化简即可解方程．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，，若，即为，‎ 可得、、、，有4个根，不符合题意；‎ 对于B，，若，‎ 即为，方程无解，不符合题意，‎ 对于C，，，‎ 即为无实数解，不符合题意；‎ 对于D，，，‎ 即为有唯一解实数解，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数方程的转化思想的运用，考查函数的单调性和导数的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，动点，分别在圆和圆上，且，为线段的中点，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 设，，，‎ 由得，即，‎ 由题意可知，MN为Rt△AMB斜边上的中线，所以,‎ 则 ‎ 又由，则，‎ 可得，化简得，‎ ‎∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3，‎ ‎∵M在圆C3内，∴ MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离，‎ 即，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数为定义在上的奇函数，由求得，再根据奇偶性求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于函数为定义在上的奇函数，所以，即，所以时，，根据函数为奇函数可知.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用奇偶性求函数值，属于基础题.‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示，正视图为腰长为 的等腰直角三角形，侧视图、俯视图均为边长为的正方形，则该几何体的表面积是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，再由三角形及四边形面积公式求表面积．‎ ‎【详解】‎ 解：由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为四棱锥，‎ 该几何体的表面积 ‎；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．‎ ‎15．若函数f（x）=（1-x2）（x2+bx+c）的图象关于直线x=-2对称，则b+c的值是______．‎ ‎【答案】23‎ ‎【解析】根据函数f（x）=0，即（1-x2）（x2+bx+c）=0，其中两个零点为1，-1，图象关于直线x=-2对称，可得另外两个零点，即可求出b，c的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意，令函数f（x）=0，即（1-x2）（x2+bx+c）=0，‎ 其中两个零点为x=1，x=-1，‎ 图象关于直线x=-2对称，‎ 那么另外两个零点分别为x=-3，x=-5‎ 即x2+bx+c=0的两个根分别为x=-3，x=-5．‎ 由韦达定理：-b=-3-5，即b=8‎ c=（-3）×（-5）=15‎ 则b+c=23．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对称问题，利用零点求解对称点，转化为二次函数零点求解；属于中档题。‎ ‎16．已知点是圆上的动点，若的值是定值，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由点是圆C上的动点得，则为定值等价于为定值等价于恒成立等价于，再根据圆的参数方程设的坐标，利用三角函数的性质即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由圆可设，‎ 由点是圆C上的动点得，‎ 因为为定值，‎ ‎∴为定值，则恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (-2,1) (2) ‎ ‎【解析】（1）计算得，，求即可；‎ ‎（2）包含关系要分空集和非空两种情况讨论，本题中集合还要考虑不等式两根的大小，对分类讨论要做到不重不漏即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）集合，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎①当时，，符合题意；‎ ‎②当时，，，，．‎ ‎③当时，，，，，‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、子集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方思想，是基础题．‎ ‎18．已知函数是奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】(1) -1 (2) 或3‎ ‎【解析】（1）由奇函数的性质可得，解可得的值；‎ ‎（2）根据题意，作差法得函数的单调性，从而得，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据题意，函数是奇函数，且其定义域为，‎ 则有，即，解可得，‎ 当时，，符合题意；‎ 故；‎ ‎（2）设，是定义在区间上的任意两个数，且，‎ 则．‎ 因为，得，．‎ 显然有，从而有．‎ 因为当时，有成立，‎ 所以是区间上的增函数；‎ 则当时，有最小值，‎ 则有，即，解得或．‎ 故或3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性、奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，关键是求出的值．‎ ‎19．已知的内接三角形中， 点的坐标是，重心 的坐标是，求 ‎（1）直线的方程；‎ ‎（2）弦的长度.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）设,，根据重心坐标公式，我们不难求出边上中点的坐标，及所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案． （2）求出圆心到BC所在直线的距离，即可求出弦的长度．‎ 试题解析：(1)设,则由已知得 可得，‎ 所以BC中点的坐标为,故 所以BC所在直线方程为:,即．‎ ‎(2)由（1）得圆心到BC所在直线的距离为，‎ 所以弦BC的长度为．‎ ‎20．已知四棱锥中，底面为矩形，且，，若平面，，分别是线段，的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点 的位置：若不存在，说明理由；‎ ‎【答案】(1)见解析 （2）存在，‎ ‎【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证明平面，即可得出结论；‎ ‎（2）过点作，交于点，则平面，且，再过点作交于点，则平面且，从而平面平面，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，则，，‎ ‎，，，‎ 平面，，，平面，‎ 平面，；‎ ‎（2）解：过点作，交于点，则平面，且．‎ 再过点作交于点，则平面且，‎ 平面平面．平面，平面．‎ ‎∴存在点满足，使得平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直，线面平行的判定定理是关键．‎ ‎21．已知，.‎ ‎（1）若，求的值域；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求实数 的取值范围；‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】（1）由对数函数的单调性及真数的范围可得值域；‎ ‎（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元一次方程或一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），可得，‎ 当时，，即有；‎ ‎∴的值域为；‎ ‎（2）由得，‎ 即，①‎ 则，‎ 即，②，‎ 当时，方程②的解为，代入①，不成立；‎ 当时，方程②的解为，代入①，不成立；‎ 当且时，方程②的解为或，‎ 若是方程①的解，则，即，‎ 若是方程①的解，则，即或，‎ 则要使方程①有且仅有一个解，则或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值域的求法，考查对数函数的单调性，考查对数型方程的解法，属于中档题．‎ ‎22．如图，已知定圆，定直线过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点，是中点．‎ ‎（1）当与垂直时，求证：过圆心；‎ ‎（2）当时，求直线的方程；‎ ‎（3）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）或 （3）存在，是定值5‎ ‎【解析】（1）根据与垂直写出直线的方程；将圆心代入方程易知过圆心；‎ ‎（2）过的一条动直线，应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线与轴垂直时，进行验证，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心到弦的距离，从而解得斜率来得出直线的方程；‎ ‎（3）当与轴垂直时，要对设，进行验证；当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得到一个二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式求的坐标，再用两根直线方程联立，求的坐标，由图可知，再讨论是否为定值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知直线的斜率，由与垂直得直线的斜率，‎ 所以直线的方程为．‎ 将圆心代入方程易知过圆心； ‎ ‎（2）由于，是中点，由垂径定理得，‎ ‎①当直线与轴垂直时，易知，圆心到直线 的距离为1，符合题意；‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，‎ ‎，解得，直线的方程为，即；‎ 综上：直线的方程为或； ‎ ‎（3）①当与轴垂直时，易得，，又，‎ 则，，此时；‎ ‎②当的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 代入圆的方程化简得，‎ 设，，，‎ 则，，‎ 即，，‎ 又由得，‎ 则，‎ 由图可知，‎ ‎；‎ 综上：为定值5．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况，一般是验证特殊，求解一般；‎ ‎（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解，‎ ‎（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用 整体求解，这种方法通常叫做“设而不求”．‎