2018届二轮复习导数的概念及其运算学案（全国通用）

2018届二轮复习导数的概念及其运算学案（全国通用）

‎1.了解导数概念的实际背景；‎ ‎2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；‎ ‎3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；‎ ‎4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．‎ ‎ ‎ ‎1．函数f(x)在点x0处的导数 ‎(1)定义 函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率 ＝l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即 ＝f′(x0)．‎ ‎(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．‎ ‎2．函数f(x)的导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)．‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 y＝f(x)‎ y′＝f′(x)‎ y＝C y＝xn y＝xμ (x>0，μ≠0)‎ y＝ax (a>0，a≠1)‎ y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0)‎ y＝ln x y＝sin x y＝cos x y′＝0‎ y′＝nxn－1，n为自然数 y′＝μxμ－1，μ为有理数 y′＝axln a y′＝ex y′＝ y′＝ y′＝cos x y′＝－sin x ‎4．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝ (g(x)≠0)．‎ ‎5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 高频考点一　导数的运算 例1、分别求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝exln x；(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln.‎ ‎【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：‎ ‎(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；‎ ‎(6)复合函数：由外向内，层层求导.‎ ‎【变式探究】求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x2sin x；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝xsincos；‎ ‎(4)y＝ln(2x－5).‎ ‎ ‎ ‎(3)∵y＝xsincos ‎＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x.‎ ‎∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x ‎＝－sin 4x－2xcos 4x.‎ ‎(4)令u＝2x－5，y＝ln u.[来源:学科网]‎ 则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，‎ 即y′＝.‎ 高频考点二　导数的几何意义 例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)‎ A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0‎ C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0‎ ‎【答案】(1)2x－y＝0　(2)B ‎【解析】(1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.‎ 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，‎ 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.‎ 因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.‎ 则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.‎ ‎【方法规律】(1)求切线方程的方法：‎ ‎①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.‎ ‎(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.‎ ‎【变式探究】(1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)‎ A.1 B.2 C.－1 D.－2‎ ‎(2)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】(1)B　(2)[2，＋∞)‎ ‎【解析】(1)设切点为(x0，y0)，y′＝，所以有解得 ‎(2)∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋.‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线，‎ ‎∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，‎ ‎∴a＝x＋≥2(x>0).‎ ‎【举一反三】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.‎ ‎【答案】8‎ 法二　同法一得切线方程为y＝2x－1.‎ 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1).‎ ‎∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).‎ 由解得 高频考点三、导数与函数图象的关系 例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　)‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；‎ 当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；‎ 当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．‎ ‎【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：‎ ‎(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．‎ ‎(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.‎ ‎(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．‎ ‎(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．‎ ‎【变式探究】(1)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′()，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为(　　)‎ A．3x－y－2＝0[来源:Zxxk.Com]‎ B．4x－3y＋1＝0‎ C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0‎ D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0‎ ‎(2)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．‎ ‎【答案】(1)C　(2)－e 当P点不是切点时，设切点为(x0，x)，‎ ‎∴切线方程为y－x＝3x(x－x0)，‎ ‎∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.‎ ‎∴1－x＝3x(1－x0)，‎ ‎∴2x－3x＋1＝0，∴2x－2x－x＋1＝0，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为，‎ ‎∴此时的切线方程为y＋＝，‎ 综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故选C.‎ ‎1.【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】对恒成立，‎ 故，即恒成立，‎ 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C ‎2.【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )‎ ‎(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎3.【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( )‎ ‎(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2‎ ‎【答案】D ‎【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即 ‎，故选D.‎ ‎【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵，∴，即切线斜率，‎ 又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1.‎ ‎【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 ．‎ ‎【答案】3[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎【解析】因为 ,所以.‎ ‎【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎1.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】D ‎2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)‎ A.2 B.0 C.－2 D.－4‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，‎ ‎∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.‎ ‎3.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)‎ A.(1，3) B.(－1，3)‎ C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3)‎ ‎【答案】C ‎【解析】f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.‎ ‎4.已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)‎ A.e B.－e C. D.－ ‎【答案】C ‎【解析】y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.‎ ‎5.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A.－1 B.0 C.2 D.4‎ ‎【答案】B ‎6.已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2 017(x)等于(　　)‎ A.－sin x－cos x B.sin x－cos x C.－sin x＋cos x D.sin x＋cos x ‎【答案】D ‎【解析】∵f1(x)＝sin x＋cos x，‎ ‎∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，‎ ‎∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，‎ ‎∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，‎ ‎∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，‎ ‎∴fn(x)是以4为周期的函数，‎ ‎∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x，故选D.‎ ‎7.已知函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)‎ A.4 B.－ C.2 D.－ ‎【答案】A ‎【解析】f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为4.‎ ‎8.已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围.‎ ‎9.已知曲线y＝x3＋.‎ ‎(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.‎ ‎【解析】(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，‎ ‎∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.‎ ‎∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，‎ 即4x－y－4＝0.‎ ‎(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.‎ ‎∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，‎ ‎∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.‎