2018-2019学年海南省海南中学高二上学期期中考试 数学 Word版

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海南中学2018—2019学年第一学期期中考试 高二数学试题卷 ‎（考试范围：选修2—1）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1、若命题p：，则命题为（ ）‎ A.不存在 B.‎ C. D.‎ ‎2、“”是“直线和直线互相垂直”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3、已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4、已知向量＝(0,1,-1)，＝（2,1,0），且+k与2互相垂直，则k的值为( )‎ A. 1 B. -1 C. D.‎ ‎5、已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上，且M⊥x轴，则到直线M的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6、已知四面体ABCD的各棱长均为1，E、F、G分别是BC、AD、DC的中点，则的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎7、在正方体中，E是AB的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8、已知点P是抛物线上的一个动点，设点P到y轴的距离为d，点A(3,4)，则|PA|+d的最小值为（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎9、在直三棱柱中，已知AB=AC=1，，，M、N、分别是、AC的中点，则直线MN与所成角的余弦值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10、已知双曲线的两条渐近线均和 圆C：相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的 方程为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11、在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=BC=2，PA=4，且PA底面ABC，若点D满足：，则二面角P-AC-D的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分。)‎ ‎13、若命题是真命题，则实数的取值范围是 .‎ ‎14、若双曲线的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎15、已知长方体中，，E为CD的中点，则点到平面的距离为 .‎ ‎16、若椭圆的焦点在x轴上，过点P(1,2)作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . ‎ 三、 解答题：(本题共6小题，共70分。)‎ ‎17、（10分）已知双曲线. ‎ ‎（1）求该双曲线的焦点坐标，离心率，渐近线方程；‎ ‎（2）已知抛物线的准线过该双曲线的焦点，求抛物线方程．‎ ‎18.（12分）长方体中，， ‎ ‎（1）求直线与所成角；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ 19. ‎（12分）若直线与椭圆相交，‎ （1） 求的范围；‎ ‎（2）当截得弦长最大时，求的值，并求出最大弦长值。‎ ‎20、（12分）如图，四边形为矩形，且，，为上的动点．‎ （1） 当为的中点时，求证：；‎ ‎（2）设，在线段上存在这样的点，使得二面角的平面角大小为，试确定点的位置． ‎ ‎21、（12分）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，，， ，点在线段上且不与重合。‎ ‎（1）当点是中点时，求证： //平面；‎ ‎（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.‎ ‎22、(12分)给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“海中圆”．若椭圆C的一个焦点为 F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程；‎ ‎(2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2.‎ 海南中学2018—2019学年第一学期期中考试 高二数学试题 参考答案 一、 选择题 D C C A B A D B D B A C 二、 填空题 ‎13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17、（满分：10分）已知双曲线. ‎ ‎（1）求该双曲线的焦点坐标，离心率，渐近线方程；‎ ‎（2）已知抛物线的准线过该双曲线的焦点，求抛物线方程．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎， ....................................... 2分 焦点坐标为和， ....................................... 3分 离心率为， ....................................... 4分 渐近线方程为. ....................................... 5分 ‎（2），， ....................................... 8分 ‎ 所以抛物线方程为或. ....................................... 10分 ‎ ‎【解析】本题考查双曲线，抛物线的标准方程与几何性质．‎ 由题可得，进而得出双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ 根据已知可得，求得抛物线中的参数p，进而求出抛物线的方程．‎ ‎18.（满分：12分）长方体中，， ‎ ‎（1）求直线与所成角；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ 解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎， .......................................2分 ‎，， .......................................4分， .......................................5分 ‎，即直线与所成角为。 .......................................6分 （2） 设平面的法向量．则 ‎ .......................................8分 所以，即，可取， .......................................10分 则 .......................................11分 直线与平面所成角的正弦为． .......................................12分 ‎【解析】本题考查线线角，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线与所成角；‎ ‎（2）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的正弦.‎ ‎19.若直线与椭圆相交，（1）求的范围；（2）当截得弦长最大时，求的值，并求出最大弦长值。‎ 解：由消去得：，......................................2分 ‎， .......................................3分 ‎（1）若直线与椭圆相交，则，............4分 所以，的范围为。 .......................................6分 （3） 设直线被椭圆截得的弦长为，则 ‎， .......................................8分 即=， .......................................10分 所以当时弦长最大，最大值为 .......................................12分 ‎【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式。‎ ‎20、如图，四边形为矩形，且，，为上的动点．‎ （1） 当为的中点时，求证：；‎ ‎（2）设，在线段上存在这样的点，使得二面角的平面角大小为，试确定点的位置． ‎ ‎【答案】证明：以为原点，所在直线为，建立空间直角坐标系，如图........................................ 1分 （1） 不妨设则，， ............................. 2分 从而，,................ 4分 于是，........ 5分 所以，所以....................................... 6分 解：设，则则 ‎....................................... 7分 向量为平面的一个法向量设平面的法向量为， 则应有即解之得令则从而 ‎ ....................................... 10分 依题意=，即，解之得（舍去）‎ 所以点E在线段BC上距B点的处....................................... 12分 ‎【解析】建立空间直角坐标系，设，用坐标表示点与向量，证明，即可证； 设，求得向量为平面AED的一个法向量，平面PDE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论． 本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，建系设点是关键． 21． （12分）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，，， ，点在线段上且不与重合。‎ ‎（1）当点是中点时，求证： //平面；‎ ‎（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.‎ 21、 解：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系 ‎....................................... 1分 ‎ 则 ....................................... 3分 ‎ 的一个法向量. ...................................... 4分 ‎ ‎，。即. ...................................... 5分 ‎ ‎（2）依题意设，设面的法向量 则， ....................................... 7分 ‎ 令，则，面的法向量......................... 8分 ‎ ‎，解得............................. 10分 ‎ 为EC的中点，，到面的距离 ‎ ....................................... 12分 ‎ 22． ‎(12分)给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“海中圆”．若椭圆C的一个焦点为 F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程；‎ ‎(2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2.‎ 解：(1)因为c＝，a＝，所以b＝1，‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1，“海中圆”的方程为x2＋y2＝4............................... 4分 ‎ ‎(2)①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，‎ 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x＝或x＝－......... 5 分 当l1方程为x＝时，此时l1与“海中圆”交于点(，1)，(，－1)，‎ 此时经过点(，1)(或(，－1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1(或y＝－1)，即l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；‎ 同理可证l1方程为x＝－时，直线l1，l2垂直．..................... 8分 ‎ ‎②当l1，l2都有斜率时，设点P(x0，y0)，其中x＋y＝4，‎ 设经过点P(x0，y0)，与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t(x－x0)＋y0，‎ 则，‎ 消去y得到x2＋3[tx＋(y0－tx0)]2－3＝0，‎ 即(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0，‎ Δ＝[6t(y0－tx0)]2－4·(1＋3t2)[3(y0－tx0)2－3]＝0，‎ 化简得：(3－x)t2＋2x0y0t＋1－y＝0，‎ 因为x＋y＝4，所以有(3－x)t2＋2x0y0t＋(x－3)＝0，‎ 设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，‎ 所以t1，t2满足上述方程(3－x)t2＋2x0y0t＋(x－3)＝0，‎ 所以t1·t2＝－1，即l1，l2垂直． ..................... 12分