数学（理）卷·2018届天津市静海一中高三12月学生学业能力调研考试（2017

数学（理）卷·2018届天津市静海一中高三12月学生学业能力调研考试（2017

静海一中2017-2018第一学期高三数学(理)12月 学生学业能力调研卷 ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（136分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共150分。‎ ‎2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。‎ 知识技能 学习能力 习惯养成 总分 内容 集合、逻辑 解析、立体 函数 导数 规律总结 卷面整洁 ‎150‎ 分值 ‎25‎ ‎25‎ ‎47‎ ‎33‎ ‎20[]‎ ‎3-5分 第I卷 基础题（共136分）‎ 一、选择题（每题5分，共40分）‎ ‎1.已知集合，集合， ，那么集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. 0‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A. 6 B. C. D. ‎ ‎4.在中，内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的面积为（ ）A. 3 B. C. D. ‎ ‎5.已知，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．下列选项中，说法正确的是( )‎ A. 命题“”的否定是“”‎ B. 命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件 C. 命题“若,则”是假命题 D. 命题“在中，若，则”的逆否命题为真命题 ‎7.已知点在幂函数的图象上，设， ， ，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：（每题5分，共30分）‎ ‎9. 已知为实数， 为虚数单位，若为实数，则__________．‎ ‎10.一个几何体的三视图如图，则它的体积为__________.‎ ‎11.设函数，则使得成立的的取值范围为_____．‎ ‎12. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为___________．‎ ‎13.点，实数是常数， 是圆上两个不同点， 是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是___________．‎ ‎14.已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且= ，= ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•= ．‎ 三、解答题：(共80分)‎ ‎15.(13分)设函数.‎ ‎（1）求函数的值域和函数的的单调递增区间；‎ ‎（2）当，且时，求的值.‎ ‎16.(13分)各项均为正数的数列的前项和为满足.（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，整数，求的最大值.‎ ‎17.(13分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.‎ ‎（）求证： .‎ ‎（）若，且平面平面，‎ 求①二面角的锐二面角的余弦值.‎ ‎②在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角等于，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由.‎ ‎18.（13分）已知等差数列的前n项和为， ， ，数列满足： ， ， ，数列的前n项和为 ‎（1）求数列的通项公式及前n项和；‎ ‎（2）求数列的通项公式及前n项和；‎ ‎（3）记集合，若M的子集个数为16，求实数 的取值范围.‎ ‎19. （14分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.‎ 第Ⅱ卷 提高题（共14分）‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）若函数在定义域单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令， ，讨论函数的单调区间；‎ ‎（3）如果在（1）的条件下， 在内恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎静海一中2017-2018第一学期高三数学(理)12月 学生学业能力调研卷答题纸 得分框[]‎ 知识与技能[][]‎ 学法题[]‎ 卷面整洁 总分 二、填空题（每题5分，共30分）‎ ‎9.___________ 10. ___________ 11.___________ ‎ ‎12. ___________ 13. ___________ 14.___________ ‎ 三、解答题（本大题共6题，共80分）‎ ‎15.（13分）‎ ‎16（13分）‎ ‎17（13分）‎ ‎18（13分）‎ ‎19（14分）‎ 第Ⅱ卷提高题（共14分）‎ ‎20（14分）‎ 参考答案：‎ ‎1．C ‎2．B ‎3．D ‎4．C ‎【解析】由余弦定理可知： ，‎ ‎，即， ， ，故选C.‎ ‎5．C ‎【解析】 ，当且仅当时，等号成立，故选C.‎ ‎6．C ‎7．A ‎【解析】∵函数为幂函数，‎ ‎∴,‎ 解得.‎ ‎∴,‎ 由条件得点在函数的图象上，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在R上单调递增。‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即。选A。‎ ‎8．C ‎9．-2‎ ‎【解析】为实数，则。‎ ‎10．36‎ ‎【解析】如图所，该几何体为一个三棱柱和一个长方体的组合体，它的体积为 ‎ 即答案为69‎ ‎11．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，建立如图所示平面直角坐标系，由已知得， ，‎ ‎ 所以，，‎ ‎.‎ 考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的线性运算；3.平面向量的数量积.‎ ‎12．.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：，，‎ 又∵，∴，‎ 又∵菱形的边长为，，∴，‎ ‎∴.‎ 考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.‎ ‎13．‎ ‎【解析】圆的圆心为，在直线上， ，圆的圆心为，半径为1， ，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为， 面积的最大值是.‎ ‎14．‎ ‎【解析】因为，是开口向下的二次函数，故只能是在上单减，故要求整个函数在R上都是减的，每一段都是减的，则要求，‎ 故答案为： 。‎ ‎15．（1）值域是，单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间． （2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意 .‎ 因为，则.‎ 即函数的值域是.‎ 令， ，解得， ，所以函数的单调递增区间为， .‎ ‎（2）由，得.‎ 因为，所以时，得.‎ 所以 .‎ ‎16．(1)证明见解析；(2)①；②答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可证得平面，然后利用线面平行的性质定理可得，‎ ‎(2)①建立空间直角坐标系，由题意可得平面的一个法向量为；‎ 而为平面的一个法向量.据此计算有二面角的锐二面角的余弦值为.‎ ‎②假设上存在点满足题意，利用平面向量的夹角公式得到关于实数的方程，解方程可得，则线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.‎ 试题解析：‎ ‎（）证明：∵， 平面， 平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，且平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎（）①取的中点，连接， ， ，‎ ‎∵是菱形，且， ，‎ ‎∴， 是等边三角形，‎ ‎∴， ，‎ 又平面平面，平面平面， 平面，‎ ‎∴平面，‎ 以为原点，以， ， 为坐标轴建立空间坐标系，则：‎ ‎， ， ， ， ， ， .‎ ‎， ，‎ 设平面的法向量为，则：‎ ‎，∴，‎ 令得： ；‎ ‎∵平面，‎ ‎∴为平面的一个法向量.‎ ‎∴.‎ 故二面角的锐二面角的余弦值为.‎ ‎②假设上存在点使得直线与平面所成角等于，‎ 则与所成夹角为，‎ 设，则：‎ ‎，‎ ‎，‎ 化简得： ，‎ 解得： 或（舍），‎ ‎∴线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.‎ 点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．‎ ‎(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．‎ ‎17．(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据，提取公因式得到，故，由等差数列的概念得到，结果。（2）首先由题干知道 再根据裂项求和得到， ，就可以证得结果。‎ ‎（Ⅰ）， ，所以 ‎ ，‎ 所以，即数列是等差数列.‎ ‎（Ⅱ）若，则， ‎ ‎ ‎ ‎18．（1）， （2）（3）‎ ‎【解析】试题分析： 利用等差数列的通项公式和前项和公式即可得出，‎ 先得到，再利用累乘法，得到数列的通项公式，再利用错位相减法求出前项和公式 根据函数的的单调性，得到不等式继而求实数的取值范围 解析：（1）设数列的公差为d，由题意知： 解得 ‎， ‎ ‎（2）由题意得： ‎ 当时 又也满足上式，故 故 ——①‎ ‎ ——②‎ ‎①－②得： ‎ ‎＝‎ ‎ ‎ ‎（3）由（1）（2）知： ，令 则， ， ， ， ‎ 当时， ‎ 集合M的子集个数为16 中的元素个数为4‎ 的解的个数为4‎ ‎ ‎ ‎19．（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由"左焦点为，右顶点为"得到椭圆的半长轴，半焦距，再求得半短轴最后由椭圆的焦点在轴上求得方程；（2）设线段的中点为，点的坐标是，由中点坐标公式，分别求得，代入椭圆方程，可求得线段中点的轨迹方程；（3）分直线垂直于轴时和直线不垂直于轴两种情况分析，求得弦长，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.‎ 试题解析：（1）椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设线段的中点为，点的坐标是，‎ 由，得 ‎ 点在椭圆上，得 ‎∴线段中点的轨迹方程是. ‎ ‎（3）当直线垂直于轴时， ，因此的面积.‎ 当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，‎ 解得， ，‎ 则，又点到直线的距离，‎ ‎∴的面积 于是 由，得，其中，当时，等号成立.‎ ‎∴的最大值是.‎ ‎20．（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）即恒成立，再参变分离得最大值，利用基本不等式求最值得（2）先求导数得，再根据导函数是否变号进行分类讨论：若，导函数不变号，在单调递增；若，导函数先正后负，即先增后减（3）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题： ，其中，再利用导数研究得在上单调递增，即得，解得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1），因为在定义域单调递增，所以恒成立 即 而（当且仅当时等号成立），故即为所求.‎ ‎（2）， ‎ ‎①若， ，则在单调递增 ‎②若，令， ， ，‎ 则在单调递增，在单调递减 ‎（3）由题意，须对任意恒成立，‎ 设，‎ ‎∵， ，∴ ， ， ‎ ‎∴即在上单调递增， ‎ 若对任意恒成立，‎ 则应令 综上所述， 即为所求.‎