专题06 函数的奇偶性与周期性-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题06 函数的奇偶性与周期性-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 ‎2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 ‎3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 函数奇偶性的判定 例1、【2017北京，文5】已知函数，则 ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 ‎（D）是奇函数，且在R上是增函数 ‎【答案】B ‎ ‎【提分秘籍】判断函数奇偶性的三种方法 ‎(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函 数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断(f(x)≠0)是否等于±1等。‎ ‎(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称。‎ ‎(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)‎ ‎【举一反三】 ‎ 若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则(　　)‎ A．函数f(g(x))是奇函数 B．函数g(f(x))是奇函数 C．函数f(x)g(x)是奇函数 D．函数f(x)＋g(x)是奇函数 ‎【答案】C ‎【解析】根据函数奇偶性的定义可知，‎ f(g(－x))＝f(g(x))，‎ 所以f(g(x))是偶函数，同理可以判断g(f(x))是偶函数，函数f(x)＋g(x)的奇偶性不确定，而f(－x)g(－x)＝[－f(x)]g(x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数。‎ 热点题型二 函数奇偶性的应用 例2、【2017课标II，文14】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,‎ 则 ________． ‎ ‎【答案】12‎ ‎【‎ ‎【提分秘籍】 函数奇偶性的问题类型及解题思路 ‎(1)已知函数的奇偶性，求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。‎ ‎(2)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。‎ ‎(3)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－4(x＞0)，则f(x－2)＞0的解集为(　　)‎ A．(－4,0)∪(2，＋∞) B．(0,2)∪(4，＋∞)‎ C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－4,4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵f(x)＝x2－4(x＞0)，‎ ‎∴当x＞0时，若f(x)＞0，则x＞2， ‎ 又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，－x＞0，若f(x)＞0，则f(－x)＜0，则0＜－x＜2，即－2＜x＜0，故f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)，‎ 故f(x－2)＞0时，x－2∈(－2,0)∪(2，＋∞)，x∈(0,2)∪(4，＋∞)，‎ 即f(x－2)＞0的解集为(0,2)∪(4，＋∞)。‎ 热点题型三 函数的周期性及应用 例3． (1)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎(2)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__________。‎ ‎【答案】（1）D （2）－1‎ ‎1)＝f(1)＝1－2＝－1。‎ ‎【提分秘籍】函数周期性的判定与应用 ‎(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。‎ ‎(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f (x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝__________。‎ ‎【解析】因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，‎ 则有f(x＋4)＝＝＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数，‎ 所以f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝＝。‎ ‎【答案】 热点题型四 函数性质的综合应用 例4、(1)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围是________。‎ ‎(2)已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋‎2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2011)等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．－2 D．－3‎ ‎ 【答案】(1) [－1,1) (2)A 偶函数，所以f(2)＝f(－2)，在f(x＋4)＝f(x)＋‎2f(2)中，令x＝－2得f(2)＝f(－2)＋‎2f(2)，所以f(2)＝0，于是f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期等于4，于是f(2011)＝f(－1)＝f(1)＝2，故选A。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎ 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单 调性，利用这一结论可能把“分散”在关于原点对称区间上的自变量的值转化到同一个区间上。以便“脱掉”对应法则“f”，这是解决奇偶性与单调性综合问题的关键。‎ ‎2．函数的周期性起着自变量“由大变小”的作用，奇偶性起着自变量“正负互化”的作用，这两个作用是解决周期性与奇偶性综合问题的关键。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【解析】∵f(x)是周期为2的奇函数，‎ ‎∴f＝f＝f＝－f ‎＝－2××＝－。‎ ‎【答案】A ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎【2017课标II，文14】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,‎ 则 ________． ‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】函数是定义在上的奇函数， ，则，‎ ‎. ‎ ‎【2017北京，文5】已知函数，则 ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 ‎（B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 ‎（D）是奇函数，且在R上是增函数 ‎【答案】B ‎ ‎1.【2016高考浙江文数】函数y=sinx2的图象是（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D.‎ ‎2.【2016高考四川文科】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以 ‎，所以，即，，所以.‎ ‎1.【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )‎ ‎(A)y＝sin(2x＋) (B)y＝cos(2x＋)‎ ‎(C)y＝sin2x＋cos2x (D)y＝sinx＋cosx ‎【答案】B ‎2.【2015高考天津，文7】 已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由 为偶函数得,所以 ‎, ,所以,故选B.‎ ‎3.【2015高考陕西，文9】 设，则（ ）‎ A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 ‎ C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；是增函数.‎ 故答案选 ‎4.【2015高考山东，文8】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )‎ ‎（A）( ‎-∞,-1‎) (B)(‎ -1，0‎) （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即所以，，由得，故选.‎ ‎5.【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎6.【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.‎ ‎7.【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D．‎ ‎8.【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎（A）y=lnx （B） （C）y=sinx （D）y=cosx ‎【答案】D ‎9.【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.‎ ‎ 已知函数，其中为实数.‎ ‎（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增. ‎ ‎【解析】（1）当时，，显然是奇函数；‎ 当时，，，且，‎ 所以此时是非奇非偶函数.‎ ‎（2）设，‎ 则 因为，所以，，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 故函数在上单调递增.‎ ‎ 1．（2014·重庆卷） 下列函数为偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x ‎【答案】D　‎ ‎2．（2014·安徽卷） 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由题易知f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.‎ ‎3．（2014·广东卷） 下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．2x－ B．x3sin x ‎ C．2cos x＋1 D．x2＋2x ‎【答案】A　‎ ‎【解析】对于A选项，令f(x)＝2x－＝2x－2－x，其定义域是R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以A正确；对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x3sin x是偶函数；C显然也是偶函数；对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．‎ ‎4．（2014·湖北卷） 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)‎ A．{1，3} B．{－3，－ 1，1，3}‎ C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}‎ ‎【答案】D　‎ ‎5．（2014·湖南卷） 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)‎ A．f (x)＝ B．f(x)＝x2＋1‎ C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．‎ ‎6．（2014·湖南卷） 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，‎ ‎∴2ax＝－ln e3x＝－3x，∴a＝－.‎ ‎7．（2014·江苏卷） 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎(1)证明：f(x)是R上的偶函数．‎ ‎(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)0)，则 t>1，所以 m≤－＝‎ ‎－对任意 t>1成立．‎ 因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－，‎ 当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．‎ 因此实数 m 的取值范围是.‎ ‎(3)令函数 g(x)＝ex＋－ a(－x3＋3x)，则g′ (x) ＝ex－＋‎3a(x2－1)．‎ 当 x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝e＋e－1－‎2a.‎ 综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.‎ ‎8．（2014·全国卷） 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．1‎ ‎【答案】D　【解析】因为f(x＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5)＝－f(－1)＝f(1)＝1.‎ ‎9．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．‎ ‎【答案】3　‎ ‎【解析】因为函数图像关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3.‎ ‎10．（2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 ‎【答案】C　‎ ‎11．（2014·四川卷） 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．‎ ‎【答案】1　【解析】由题意可知，f＝ff＝－4＋2＝1.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．函数f(x)＝lg|sinx|是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 ‎【答案】C ‎【解析】易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数．‎ ‎2．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　　)‎ A．－x(1－x)　　　　　　　　B．x(1－x)‎ C．－x(1＋x) D．x(1＋x)‎ ‎【答案】B ‎【解析】当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．‎ ‎3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)(　　)‎ A．既是周期函数，又是奇函数 B．既是周期函数，又是偶函数 C．不是周期函数，但是奇函数 D．不是周期函数，但是偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因数y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.‎ ‎4．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是(　　)‎ A．1 B．4‎ C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎5．已知函数f(x)＝x2＋(b－)x＋‎2a－b是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是(　　)‎ A．－4 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由f(x)为偶函数，可知f(－x)＝f(x)，∴b＝，∴f(x)＝x2＋‎2a－，令g(a)＝‎2a－，问题转化为求g(a)的最大值．在坐标系中画函数y＝‎2a，y＝－的图象如图．‎ 易知当a＝2时，g(a)取最大值，g(a)max＝g(2)＝4，选D. ‎ ‎6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－2 D．±2‎ ‎【答案】A ‎7．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(‎2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1,3) D. ‎【答案】A ‎【解析】∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，‎ ‎∴－10可转化为f(m－2)>－f(‎2m－3)．‎ ‎∴f(m－2)>f(－‎2m＋3)，‎ ‎∵f(x)是减函数．‎ ‎∴m－2<－‎2m＋3，‎ ‎∵∴1f(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B．(－1,2)‎ C．(－2,1)‎ D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示．‎ 结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，‎ 得 2－a2>a，即－20，f(2)＝(a＋1)(‎2a－3)，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵f(x)是周期为3的奇函数，‎ ‎∴f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)<0.‎ ‎∴(a＋1)(‎2a－3)<0，‎ 解得－10且a≠1)是定义域为R的奇函数．‎ ‎(1)若f(1) >0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；‎ ‎(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－‎4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．‎ 解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.‎ ‎(1)∵f(1)>0，∴a－>0，‎ 又a>0且a≠1，∴a>1.‎ ‎∵k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，‎ 当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，‎ ‎∴f(x)在R上为增函数，‎ 原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，‎ ‎∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，‎ ‎∴x>1或x<－4，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．‎ ‎ ‎ ‎ ‎