【推荐】专题06+函数的奇偶性与周期性-2019年高三数学（理）二轮必刷题

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专题06 函数的奇偶性与周期性 ‎1．设函数，，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．‎ 反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．‎ 因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎2．“”是“函数为奇函数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎3．已知是定义在上的奇函数，满足，若，则（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．3‎ ‎【答案】B ‎4．设，且，则下列结论必成立的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ f（x）＝f（﹣x），故f（x）是偶函数，‎ 而当时，＝cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx＝cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，‎ 即f（x）在是单调递增的．‎ 由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），‎ 即有|x1|＞|x2|，即，‎ 故选：D． ‎ ‎8．已知定义在R上的奇函数满足，则( )‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎9．若对，，有，函数，则的值　　‎ A．0 B．4 C．6 D． 9‎ ‎【答案】C ‎10．已知是定义在上的函数，和分别为奇函数和偶函数，当时，，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由于是奇函数，与函数的图像关于点对称.由于是偶函数，故函数的图像关于对称.结合函数在的解析式和图像，画出函数在上的图像如下图所示.由图可知，要使有四个解，，故选C.‎ ‎11．已知函数，且，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎12．已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 是奇函数，，，，‎ ‎，，如此继续，得， .‎ ‎13．设函数，则使成立的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数，‎ ‎∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．‎ ‎∵f（2x）＜f（3x﹣2），‎ ‎∴|2x|＜|3x﹣2|，‎ ‎∴（2x）2＜（3x﹣2）2，‎ 化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，‎ 解得：x＞2，或x＜．‎ ‎∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．‎ 故答案为：． ‎ ‎16．是定义在实数集上的奇函数，，，若，则__________．‎ ‎【答案】49‎ ‎17．设．‎ ‎（1）若，判断并证明函数的奇偶性；‎ ‎（2）令，，求函数的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）当时，即时，当时即时 ‎【解析】‎ ‎（1） ‎ 的定义域为 ‎ ‎ ‎18．已知函数（常数）‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）若为奇函数，必有,得， ‎ 当时，，‎ ‎ ∴当且仅当时，为奇函数 ‎ 又，，∴对任意实数，都有 ‎∴不可能是偶函数 ‎ ‎（2）由条件可得：恒成立， ‎ 记，则由 得， ‎ 此时函数在上单调递增， ‎ 所以的最小值是， ‎ 所以 ，即的最大值是. ‎ ‎20．已知定义域为R的函数是奇函数．‎ ‎（1）求实数m，n的值；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）‎