山东省济南市外国语2019-2020学年高二下学期检测数学试题

山东省济南市外国语2019-2020学年高二下学期检测数学试题

‎2020年4月29日高二数学检测试题 一、单选题 ‎1. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ D 试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．‎ 解：，‎ ‎∴y′（0）=a﹣1=2，‎ ‎∴a=3．‎ 故答案选D．‎ 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎2.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中两个平面法向量的夹角，代入向量夹角公式，可以求出两个向量的夹角，进而根据两平面所成的二面角与 相等或互补，得到答案．‎ ‎【详解】∵两平面的法向量分别为 ‎ 则两平面所成的二面角与相等或互补 故. 故两平面所成的二面角为45°或135° 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中一定要注意两平面所成的二面角与相等或互补．属基础题.‎ ‎3.已知为虚数单位，若复数（）的虚部为-3，则（ ）‎ A 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以，则，应选答案B．‎ ‎4.若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为　(　　)‎ A. 0 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，令，得.‎ ‎5.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．‎ ‎6.位男生和位女生共位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，‎ 将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，‎ 本题选择A选项.‎ ‎7.的展开式中的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.‎ 点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.‎ ‎8.长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 建立坐标系如图所示．‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－10,2)，＝(－1，2,1)．‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ ‎9.已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，‎ 故选B ‎10.在空间直角坐标系，，，确定的平面记为，不经过点的平面的一个法向量为，则（ ）‎ A. B. C. 相交但不垂直 D. 所成的锐二面角为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，，)确定的平面记为α，‎ ‎∴，‎ 设平面α的法向量，‎ 则，不妨令x=1,得，‎ ‎∵不经过点A的平面β的一个法向量为n→=(2,2,−2)，‎ ‎，‎ ‎∴α∥β.‎ 故选A.‎ ‎11.用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）‎ A. 48 B. ‎60 ‎C. 72 D. 120‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 ‎【详解】数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，‎ 共有个 数字出现在第位时，同理也有个 数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，‎ 共有个 故满足条件的不同的五位数的个数是个 故选 ‎【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题．‎ ‎12.如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D的坐标，求出向量,，利用GD⊥EF求得关系式，然后可得到DF长度的表达式，最后利用二次函数求最值．‎ 详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),F(x,0,0),D(0,y,0)，‎ 则,，‎ 由于GD⊥EF，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故，‎ 所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．‎ 故选A．‎ 点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．‎ 二、填空题 ‎13.设的共轭复数是,若,,则等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，由,可得关于a,b的方程，即可求得，然后求得答案.‎ ‎【详解】解析：设,因为,所以,‎ 又因为,所以,‎ 所以.所以,‎ 即,故.‎ ‎【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则运算，难度不大.‎ ‎14.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三所不同的学校去任教，每所学校至少分配一人且甲、乙两人不在同一所学校，则共有________ 种不同的分配方案（用数字作答）．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先不考虑甲乙的特殊情况,算出总的分配方案,再减去甲乙同校的情况,得到答案.‎ ‎【详解】将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有种排法；‎ 甲、乙两名老师分配到同一个学校有种排法；‎ 故有甲、乙两名老师不能分配到同一个学校有36-6=30种排法.‎ 故答案为30．‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合里面的捆绑法和排除法,属于基本题型.‎ ‎15.已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接交于点，过点作于，可得，设，根据三角形的面积可得，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出线面角.‎ ‎【详解】如图，连接交于点，过点作于，‎ 则平面，则，‎ 设，则，，‎ 则根据三角形面积得，‎ 代入解得.‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，得.‎ ‎，‎ 所以直线与平面所成的角的余弦值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量法求线面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.‎ ‎16.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为____________．（结果用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，求导后利用已知条件得到函数的单调性，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】构造函数，依题意可知，故函数在上单调递减，且，故不等式可变为，即，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.‎ 在阅读题目过程中，提供一个函数值，给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此可以考虑构造函数，因为，就可以把已知和求串联起来了.‎ 三、解答题 ‎17.如图，在直三棱柱中，，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值大小．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直．‎ ‎（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．‎ ‎【详解】直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直．‎ 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 ‎（1），，‎ ‎，故。‎ ‎（2）平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ 由得：‎ 令，则，则．‎ 故，．‎ 所求二面角的余弦值。‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力．‎ ‎18.已知z为虚数,z+为实数.‎ ‎(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.‎ ‎(2)求|z-4|的取值范围.‎ ‎【答案】（1）z=2+3i或z=2-3i；（2）(1,5).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设，根据为纯虚数求得的值，再由为实数求出的值，即可得到复数；‎ ‎（2）由为实数且可得，由此求得的范围，根据复数的模的定义把要求的式子可化为，从而求得范围. ‎ 试题解析：‎ ‎(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,‎ 由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.‎ ‎(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,‎ 所以y-=0,‎ 因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,‎ 由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),‎ 所以|z-4|=|x+yi-4|=‎ ‎=‎ ‎=∈(1,5).‎ 点睛：本题主要考查了复数的基本概念，复数的乘法与除法运算及复数的模等知识点，其中解答中熟记有关复数的实部、虚部、复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，此类问题的解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算.‎ ‎19.已知在的展开式中，第6项为常数项．‎ ‎（1）求含项的系数；‎ ‎（2）求展开式中所有的有理项．‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ 展开式中所有的有理项为 ‎20.已知函数，当时，取得极小值.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题得，解方程组即得解，再检验即得解；（Ⅱ）利用导数求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】(Ⅰ) ,‎ ‎ 因为x=1时，f(x)有极小值2， ‎ ‎, ‎ 所以 , ‎ 所以， 经检验符合题意. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 当时，由，由，‎ 所以上单调递减，在（1,2）上单调递增， ‎ 所以 ‎ 又由，‎ 得.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）连接，由线面垂直的性质定理可得，且，故平面，，又，利用线面垂直的判断定理可得平面.‎ ‎（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，设，则，，，结合几何关系计算可得，即直线与平面所成角的正弦值为.‎ 法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系 ‎，不妨设，结合(1)的结论可得平面得法向量，而，据此计算可得直线与平面所成角的正弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）连接，由平面，平面得，‎ 又，，‎ ‎∴平面，得，‎ 又，，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，‎ 不妨设，则，，，‎ 在中，由射影定理得，‎ 可得，所以，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ 法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，则，，，‎ 由（1）知平面得法向量，而，‎ ‎∴ .‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22.已知函数，曲线在点处的切线为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，，通过导数可知，当时，，当时，，从而可得，可求得，则，得到所求结果.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ 由切线方程可知：‎ ‎，，解得：，‎ ‎（2）由（1）知 则时，恒成立等价于时，恒成立 令，，则.‎ 令，则 当时，，则单调递增 ‎， ，使得 当时，；时，‎ ‎ ‎ ‎，即正整数的最大值为 ‎【点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.‎