数学卷·2018届河南科大附中高二上学期9月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届河南科大附中高二上学期9月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年河南科大附中高二（上）9月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知数列{an）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（　　）‎ A．1，0，1，0 B．0，l，0，l C． D．2，0，2，0‎ ‎2．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎3．已知椭圆的离心率为，焦点是（﹣3，0），（3，0），则椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（　　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°‎ ‎5．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，n∈N*，则a101的值为（　　）‎ A．49 B．50 C．51 D．52‎ ‎6．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（　　）‎ A．m﹣a B． C．m2﹣a2 D．‎ ‎7．在△ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（　　）‎ A．1＜x＜5 B． C． D．‎ ‎9．直线l过双曲线﹣=1的右焦点，斜率k=2．若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围（　　）‎ A．e＞ B．1＜e＜ C．1＜e＜ D．e＞‎ ‎10．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎11．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（　　）‎ A．4a B．2（a﹣c）‎ C．2（a+c） D．以上答案均有可能 ‎12．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=0‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是　　．‎ ‎14．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=，则角C=　　．‎ ‎15．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度是　　．‎ ‎16．已知两个点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是　　．（填上所有正确结论的序号）‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎17．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求边长c的值及△ABC的面积．‎ ‎18．经过点M（2，2）作直线L交双曲线x2﹣=1于A，B两点，且M为AB中点 ‎（1）求直线L的方程；‎ ‎（2）求线段AB的长．‎ ‎19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎20．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ ‎21．已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若，求b的长．‎ ‎22．设椭圆E： +=1（a＞b＞0）过A（0，﹣1），焦点为F1，F2，椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个．‎ ‎（1）求椭圆E的方程及离心率e；‎ ‎（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为常数．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南科大附中高二（上）9月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知数列{an）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（　　）‎ A．1，0，1，0 B．0，l，0，l C． D．2，0，2，0‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用公式，将n=1，2，3，4分别代入计算即可．‎ ‎【解答】解：由通项公式，得 当n=1时，a1==1，‎ 当n=2时，a1==0，‎ 当n=3时，a1==1，‎ 当n=4时，a1==0，‎ 即数列{an}的前4项依次为1，0，1，0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案．‎ ‎【解答】解：根据余弦定理得cosB===‎ B∈（0，180°）‎ ‎∴B=60°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．已知椭圆的离心率为，焦点是（﹣3，0），（3，0），则椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】先根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，椭圆的方程可得．‎ ‎【解答】解：已知椭圆的离心率为，焦点是（﹣3，0），（3，0），则c=3，a=6，b2=36﹣9=27，‎ 椭圆的方程为，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（　　）‎ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据B的度数求出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinA的值，然后根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．‎ ‎【解答】解：由a=，b=，B=45°，‎ 根据正弦定理得：，‎ 所以，又A∈（0，180°），‎ 所以A等于60°或120°．‎ 故选D ‎　‎ ‎5．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，n∈N*，则a101的值为（　　）‎ A．49 B．50 C．51 D．52‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】先利用递推关系得出其为等差数列，再代入等差数列的通项公式即可．‎ ‎【解答】解：由2an+1=2an+1，得an+1﹣an=，‎ 故为首项为2，公差为的等差数列，所以a101=a1+100d=2+100×=52．‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎6．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（　　）‎ A．m﹣a B． C．m2﹣a2 D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】由题意知|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a，由此可知|PF1|•|PF2|==m﹣a．‎ ‎【解答】解：∵椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，‎ P是两曲线的一个交点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，‎ ‎|PF1|•|PF2|==m﹣a．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由三角形的三边成等差数列，根据等差数列的性质得到b+c=2a，记作①，再由sinA，sinB及sinC成等比数列，根据等比数列的性质得到一个关系式，利用正弦定理化简sin2A=sinBsinC得到关于a，b及c的关系式，记作②，联立①②消去a得到关于b与c的关系式，变形可得出b=c，从而得到a，b及c都相等，故三角形为等边三角形．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三边b，a，c成等差数列，‎ ‎∴b+c=2a①，‎ 又sin2A=sinBsinC，‎ 根据正弦定理化简得：a2=bc②，‎ 由①得：a=，代入②得：‎ ‎=bc，即（b﹣c）2=0，‎ ‎∴b=c，故a=b=c，‎ 则三角形为等边三角形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（　　）‎ A．1＜x＜5 B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】根据三角形为锐角三角形，得到三角形的三个角都为锐角，得到三锐角的余弦值也为正值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为锐角，得到其值大于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵三角形为锐角三角形，‎ ‎∴三角形的三个内角都为锐角，‎ 则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=＞0，‎ 即x2＞5，解得x＞或x＜﹣（舍去）；‎ 设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=＞0，‎ 即x2＜13，解得0＜x＜，‎ 则x的取值范围是＜x＜．‎ 故选B ‎　‎ ‎9．直线l过双曲线﹣=1的右焦点，斜率k=2．若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围（　　）‎ A．e＞ B．1＜e＜ C．1＜e＜ D．e＞‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．‎ ‎【解答】解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线﹣=1的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交 结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即＞2，‎ 因此该双曲线的离心率e=═＞‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，‎ ‎∴S=bcsinA=c=，即c=4，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，‎ ‎∴a=，‎ 由正弦定理得： ===2R==，‎ 则=2R=．‎ 故选B ‎　‎ ‎11．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（　　）‎ A．4a B．2（a﹣c）‎ C．2（a+c） D．以上答案均有可能 ‎【考点】椭圆的应用．‎ ‎【分析】（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；‎ ‎（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；‎ ‎（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a．‎ ‎【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；‎ ‎（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；‎ ‎（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．‎ 由于三种情况均有可能，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】假设|F1P|=x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，求得a和c的关系，进而根据b=求得a和的关系进而求得渐近线的方程．‎ ‎【解答】解：假设|F1P|=x OP为三角形F1F2P的中线，‎ 根据三角形中线定理可知 x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）‎ 整理得x（x+2a）=c2+5a2‎ 由余弦定理可知 x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2‎ 整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2‎ 进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2‎ 求得3a2=c2‎ ‎∴c=a b=a 那么渐近线为y=±x，即x±y=0‎ 故选D ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设另一个焦点为F，根据椭圆的定义可知|AB|+|BF|=2a，|AC|+|FC|=2a最后把这四段线段相加求得△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：椭圆+y2=1的a=．‎ 设另一个焦点为F，则根据椭圆的定义可知 ‎|AB|+|BF|=2a=2，|AC|+|FC|=2a=2．‎ ‎∴三角形的周长为：|AB|+|BF|+|AC|+|FC|=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=，则角C=　45°　．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cosC=sinC，根据C是△ABC的内角，可求得C的值．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ ‎∵‎ ‎∴cosC=sinC ‎∵C是△ABC的内角 ‎∴C=45°‎ 故答案为：45°‎ ‎　‎ ‎15．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度是　60m　．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】三角形内角和定理算出C，在△ABC中由正弦定理解出BC，利用三角形面积公式进行等积变换，即可算出题中所求的河宽．‎ ‎【解答】解：由题意，可得C=180°﹣A﹣B=180°﹣30°﹣75°=75°‎ ‎∵在△ABC中，由正弦定理得 ‎∴BC==‎ 又∵△ABC的面积满足S△ABC=AB•BCsinB=AB•h ‎∴AB边的高h满足：h=BCsinB=•sin75°=60（m）‎ 即题中所求的河宽为60m．‎ 故答案为：60m．‎ ‎　‎ ‎16．已知两个点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是　①③　．（填上所有正确结论的序号）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题设条件可知点P的轨迹方程是（x＞0），将直线①，②，③，④的方程分别与（x＞0）联立，若方程组有解，则该直线为“B型直线”．‎ ‎【解答】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x＞0），‎ ‎①，把y=x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得7x2﹣18x﹣153=0，∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0∴y=x+1是“B型直线”．‎ ‎②，把y=x代入双曲线（x＞0）并整理，得144=0，不成立．∴y=x不是“B型直线”．‎ ‎③，把y=2代入双曲线（x＞0）并整理，得，∴y=2是“B型直线”．‎ ‎④，把y=2x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得20x2+36x+153=0，∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直线”．‎ 答案：①③．‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎17．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求边长c的值及△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】利用特殊角的三角函数值，可求C，再利用韦达定理及余弦定理可求c的值，利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，∴C=60°，‎ 又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，‎ ‎∴a+b=2，a•b=2，‎ ‎∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，‎ ‎∴c=，‎ ‎△ABC的面积==×2×=．‎ ‎　‎ ‎18．经过点M（2，2）作直线L交双曲线x2﹣=1于A，B两点，且M为AB中点 ‎（1）求直线L的方程；‎ ‎（2）求线段AB的长．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）可先设A（x1，Y1），B（X2，Y2），再分别代入双曲线方程，作差即可求出直线斜率，进而可求直线方程．‎ ‎（2）把（1）中所求直线方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，求x1+x2和x1x2，再利用弦长公式求线段AB的长．‎ ‎【解答】解（1）设A（x1，Y1），B（X2，Y2），则x1+x2=4，y1+y2=4，由，得 ‎（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0所以kAB==4‎ 直线L的方程为y=4x﹣6．‎ ‎（2）把y=4x﹣6．代入x2﹣=1消去y得3x2﹣12x+10=0‎ 所以（x1+x2）=4，x1x2=，从而得|AB|=‎ ‎　‎ ‎19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．‎ ‎【解答】解：如图，连接A1B2，，，‎ ‎△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，‎ 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°‎ ‎=‎ ‎，．‎ 因此乙船的速度的大小为．‎ 答：乙船每小时航行海里．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，‎ 解得a=，又b2=a2﹣c2=4，‎ 所以椭圆G的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，‎ 由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①‎ 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），‎ 则x0==﹣，‎ y0=x0+m=，‎ 因为AB是等腰△PAB的底边，‎ 所以PE⊥AB，‎ 所以PE的斜率k=，‎ 解得m=2．‎ 此时方程①为4x2+12x=0．‎ 解得x1=﹣3，x2=0，‎ 所以y1=﹣1，y2=2，‎ 所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．‎ 到直线AB：y=x+2距离d=，‎ 所以△PAB的面积s=|AB|d=．‎ ‎　‎ ‎21．已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若，求b的长．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简两个向量，利用向量垂直的充要条件列出方程，据特殊角的三角函数值求出角．‎ ‎（2）通过三角函数的平方关系求出角B的正弦，利用三角形中的正弦定理求出边b．‎ ‎【解答】解：（1）=‎ ‎=（sinA，1）‎ ‎∵∴‎ ‎∴‎ ‎∵0＜A＜π，∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）在△ABC中，，a=2，‎ ‎∴‎ 由正弦定理知：，‎ ‎∴=．‎ ‎∴b=‎ ‎　‎ ‎22．设椭圆E： +=1（a＞b＞0）过A（0，﹣1），焦点为F1，F2，椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个．‎ ‎（1）求椭圆E的方程及离心率e；‎ ‎（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为常数．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个，可得点M必为短轴的两个端点，可得b=c=1，再利用a2=b2+c2，解得a即可得出．‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0．由题设知，直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1（k≠2）．代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，利用根与系数的关系与斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个，∴点M必为短轴的两个端点，‎ ‎∴b=c=1，由a2=b2+c2，解得a=，‎ ‎∴椭圆的方程为+y2=1．‎ ‎∴．‎ ‎（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0．由题设知，直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1（k≠2）．‎ 代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，‎ 由已知△＞0．‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 从而直线AP与AQ的斜率之和=kAP+kAQ=+=+=2k+（2﹣k）=2k+（2﹣k）×=2k﹣（2k﹣1）=2．‎ 即直线AP与AQ的斜率之和为常数2．‎ ‎　‎