人教版九年级数学上册全册导学案+数学教学计划大全
人教版九年级
数学上册全册导学案+数学教学计划大全
人教版九年级数学上册全册导学案
22.1 二次根式(1)
学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是
二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、全心投入，全力以赴
学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；
难点：二次根式有意义的条件；
学习过程
一、温故知新：
1、数 3 的平方根是 ，算术平方根是 ；
2、正数 a 的算术平方根为_______，0 的算术平
方根为_______；
3、解下列不等式并回忆解不等式的一般步骤
2x-3=3x+7
二、自主预习，探究新知
1、式子 a表示什么意义?
2、什么叫做二次根式？如何判断一个式子是否为
二次根式？
3、式子 )0(0 aa 的意义是什么？如何确定一
个二次根式有无意义？
尝试训练：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪
些不是？为什么？
3 （ ） 16 （ ）
3 4 （ ）
5 （ ）
)0(
3
aa
（ ） 12 x （ ）
2、若 2 3a+ 有意义，则 a的取值范围是
三、学以致用
1. 下列各式中，二次根式有（ ）
① (－3)2；② 1
2
－
1
3
；③ (a－b)2；④ －a2－1；
⑤
3
8.
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
4. 当 x__________时， 3＋2x有意义.
1 、 若 3 3a a 有 意 义 ， 则 a 的 值 为
___________．
2、若 在实数范围内有意义，则 x为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
3、在实数范围内因式分解
x
2
- 3 = x
2
- ( )
2
= (x+ _____) (x- _____)
4、在式子 x
x
1
21
中，x的取值范围是_____ .
5、已知 42 x + yx 2 ＝0，则 x-y＝ _____.
6、已知 y＝ x3 + 23 x ,则 xy = ______
四、反馈检测
1、 若 2 3 0a b ，则 2a b =
2、 式子 －x＋
1
x＋2
有意义的条件是（ ）
A. x≥0 B. x≤0且 x≠－2
x
C. x≠－2 D. x≤0
3、当 x= 时，代数式 4 5x 有最小值，其
最小值是 。
4、在实数范围内因式分解：
（1） 72 x （2）4a
2
-11
5. 当 x__________时，
1
x－7
有意义；
1
3－ x＋1
有
意义的条件是______
22.1 二次根式(2)
学习目标
1、掌握二次根式的基本性质： aa 2
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
3、全力以赴，做最好的自己。
学习重点、难点
重点：二次根式的性质 aa 2 ．
难点：综合运用性质 aa 2 进行化简和计算。
学习过程
一、温故知新：
（1）二次根式
2
5x
有意义，则 x 。
（2）在实数范围内因式分解：
x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
二、自主预习，探究新知
1、式子
aa 2
表示什么意义?如何用
aa 2
来化简二次根式?
2、在化简过程中运用了哪些数学思想?
尝试训练：
1、计算： 24 22.0
2)4( 2)2.0(
2)
5
4( 2)20(
20 当 aa ,0时
三、学以致用
1、化简下列各式：
2(1) 0.3 ______ 2(2) 0.3 ______
2(3) 5 _______ 2(4) (2 ) _____ a 0a （ < ）
2、下列各式正确的是（ ）
A. （ －2）2＝2 B. （－2）2＝－4
C. （－2）2＝2 D. （－x）2＝－x
3、化简下列各式
（1） )0(4 2 xx （2） 232 x （x＜-2）
4、化简下列各式
（1） )3()3( 2 aa
（2） 2)12( x - 2)32( x )2( x
5 、 a 、 b 、 c 为 三 角 形 的 三 条 边 ， 则
cabcba 2)( ____________.
6、 把(2-x)
2
1
x
的根号外的（2-x）适当变形
后移入根号内，得（ ）
A、 x2 B、 2x
C、 x 2 D、 2 x
7、实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，那么化
简︱a－b︱－ a2的结果是（ ）
A. 2a－b B. b C. －b D. －2a＋b
ab 0
8、若二次根式 2 6x 有意义，
化简│x-4│-│7-x│=
四、反馈检测
1、计算下列各式.
（1）（ 15）2= （2） （－
1
5
）2=
（3）（2 x）2= （4） 16=
2. 以下各式中计算正确的是（ ）
A. － (－6)2＝－6 B. （－ 3）2＝－3
C. (－16)2＝±16 D. －（
16
25
）2＝
16
25
3、化简： 2)4( =
4、已知 2＜x＜3，化简： 3)2( 2 xx
22.2 二次根式的乘除法
二次根式的乘法
一、学习目标
1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根
式的化简。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、计算：
（1） 4 × 9 =______ 94 =_______
（2） 16 × 25 =_______ 2516 =_______
（3） 100 × 36 =_______ 36100 =_______
2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
（1） 4 × 9 _____ 94
（2） 16 × 25 ____ 2516
（3） 100 × 36 __ 36100
（二）提出问题
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的乘法法则进行计算？
3、积的算术平方根有什么性质？
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
（三）自主学习
自学课本第 5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：
1、用计算器填空：
（1） 2 × 3 ____ 6 （2） 5 × 6 ____ 30
（3） 2 × 5 ____ 10 （4） 4 × 5 ____ 20
2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能用数学表达式表示发现的规律吗？
3、二次根式的乘法法则是：
（四）合作交流
1、自学课本 6页例 1后，依照例题进行计算：
（1） 9 × 27 （2）2 5 ×3 2
（3） a5 · ab
5
1
（4） 5 · a3 · b
3
1
2、自学课本第 6—7页内容，完成下列问题：
（1）用式子表示积的算术平方根的性质：
。
（2）化简：
① 54 ② 2212 ba
③ 4925 ④ 64100
（五）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于 9 × 27 的运算中不必把它变成 243后再
进行计算，你有什么好办法？
（六）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数
之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
（七）拓展延伸
1、判断下列各式是否正确并说明理由。
（1） )9()4( ＝ 94
（2） 323 ba =ab b3
（3） 6 8 ×（-2 6 ）= 68)2(6 = 4812
（4） 16
16
94 = 16
16
94 ＝ 34 ＝12
2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3
3
2
(2)
a
a
2
12
（八）达标测试：
A组
1、选择题
（1）等式 111 2 xxx 成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1 或 x≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A．4 5 ×2 5 =8 5 B．5 3 ×4 2 =20 5
C．4 3 ×3 2 =7 5 D．5 3 ×4 2 =20 6
（3）二次根式 6)2( 2 的计算结果是（ ）
A．2 6 B．-2 6 C．6 D．12
2、化简：
（1） 360 ； （2）
432x ；
3、计算：
（1） 3018 ； （2）
75
23 ；
B组
1、选择题
（1）若 0
4
1442 22 ccbba ，则 cab 2 =（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）
A． 64)6()4( =（-2）×（-4）=8
B． 222244 2)(244 aaaa
C． 52516943 22
D． 12512131213)1213)(1213(1213 22
2、计算：（1）6 8 ×（-2 6 ）； （2） 38 6ab ab ；
二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根
式的化简。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）3 8 ×（-4 6 ） （2） 3612 abab
3、填空： （1）
9
16
=________，
9
16
=_________
（2）
16
36
=________，
16
36
=________
（3）
4
16
=________，
4
16
=_________
（二）提出问题：
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的除法法则进行计算？
3、商的算术平方根有什么性质？
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？
（三）自主学习
自学课本第 7页—第 8页内容，完成下面的题目：
1、由“知识回顾 3题”可得规律：
9
16
______
9
16
16
36
______
16
36
4
16
_______
4
16
2、利用计算器计算填空:
（1）
3
4
=_________（2）
2
3
=_________（3）
2
5
=______
规律：
3
4
______
3
4
2
3
_______
2
3
2
5
_____
2
5
3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：
。
把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：
。
（四）合作交流
1、 自学课本例 3，仿照例题完成下面的题目：
计算：（1）
12
3
（2）
3 1
2 8
2、自学课本例 4，仿照例题完成下面的题目：
化简：（1）
3
64
（2）
2
2
64
9
b
a
（五）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之
商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）分母中不含有二次根式。
（六）拓展延伸
阅读下列运算过程：
1 3 3
33 3 3
，
2 2 5 2 5
55 5 5
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1)
2
6
=_________ （２）
1
3 2
=_________
(３)
1
12
=_____ ___ (４)
10
2 5
=___ ___
（七）达标测试：
A组
1、选择题
（1）计算
1 1 21 2 1
3 3 5
的结果是（ ）．
A．
2
7
5 B．
2
7
C． 2 D．
2
7
（2）化简
3 2
27
的结果是（ ）
A．-
2
3
B．-
2
3
C．-
6
3
D．- 2
2、计算：
（1）
48
2
（2）
x
x
8
2 3
（3）
16
1
4
1
（4） 2
9
64
x
y
B 组
用两种方法计算：
（1）
64
8
（2）
34
6
最简二次根式
一、学习目标
1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．
3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。
二、学习重点、难点
重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、化简（1） 496x （2）
3 2
27
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二
次根式达到的要求是什么？
（二）提出问题：
1、什么是最简二次根式？
2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？
3、如何进行二次根式的乘除混合运算？
（三）自主学习
自学课本第 9页内容，完成下面的题目：
1、满足于 ,
的二次根式称为最简二次根式.
2、化简:
(1)
53
12
(2) 2 4 4 2x y x y
(3) 2 38x y (4)
20
8
（四）合作交流
1、计算：
5
21
3
12
3
21
2、比较下列数的大小
（1） 8.2 与
4
32 （2） 7667 与
B
A
C
3、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
AC=3cm，BC=6cm，求 AB 的长．
（五）精讲点拨
1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质
和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于 2．
（六）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
12
12
12
)12)(12(
)12(1
12
1
，
23
23
23
)23)(23(
)23(1
23
1
，
同理可得：
32
1
= 32 ，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
23
1
12
1
……+
20082009
1
）（ 12009 ）的值．
（七）达标测试：
A组
1、选择题
（1）如果
x
y
（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
A．
x
y
（y>0） B． xy（y>0） C．
xy
y
（y>0） D．以上都不对
（2）化简二次根式 2
2
a
aa
的结果是
A、 2 a B、- 2 a C、 2a D、- 2a
2、填空：
（1）化简 4 2 2x x y =_________．（x≥0）
（2）已知
25
1
x ，则
x
x 1
的值等于__________.
3、计算：
（1）
2
1
4
7
4
31 (2)
2
15
4
1)
7
41
8
1(
2
133
B 组
1、计算：
a
bbaab
b
3)
2
3(2 35 （a>0,b>0）
2、若 x、y为实数，且 y=
2 24 4 1
2
x x
x
，求 yxyx 的值。
22.3 二次根式的加减法
二次根式的加减法
一、学习目标
1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点
重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、什么是同类项？
2、如何进行整式的加减运算？
3、计算：（1）2x-3x+5x （2） 2 22 3a b ba ab
（二）提出问题
1、什么是同类二次根式？
2、判断是否同类二次根式时应注意什么？
3、如何进行二次根式的加减运算？
（三）自主学习
自学课本第 10—11 页内容，完成下面的题目：
1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
（1） 2322 与 （2） 32与
（3） 205与 （4） 1218与
从中你得到： 。
2、自学课本例 1，例 2后，仿例计算：
（1） 8 + 18 （2） 7 +2 7 +3 9 7
（3）3 48 -9
1
3
+3 12
通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应
。
（四）合作交流，展示反馈
小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时 6分钟
(1) )
27
1
3
1(12 (2) )512()2048(
(3)
y
yxy
x
x 1
2
41
（4） )
4
61(9
3
2 2 xx
x
xxx
（五）精讲点拨
1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤：
①化成最简二次根式；
②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（六）拓展延伸
1、如图所示，面积为 48cm2的正方形的四个角是
面积为 3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制
作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底
面边长分别是多少？
2、已知 4x
2
+y
2
-4x-6y+10=0，
求（
2 9
3
x x +y2
3
x
y
）-（x2 1
x
-5x
y
x
）的值．
（七）达标测试：
A组
1、选择题
（1）二次根式：① 12 ；② 22 ；③
2
3
；④ 27 中，
与 3 是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③
C．①和④ D．③和④
（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A． 2x与 2y B． 3 44
9
a b 与 5 89
2
a b
C． mn 与 n D． m n 与 n m
2、计算：
（1）7 2 3 8 5 50+ - （2）
x
xxx 12
4
69
3
2
B 组
1、选择：已知最简根式 babaa 72 与 是同类二次根式，则
满足条件的 a,b 的值（ ）
A．不存在 B．有一组
C．有二组 D．多于二组
2、计算：
（1）
2 13 90 4
5 40
+ - （2） 23 2282 xyxx ( 0, 0)x y
二次根式的混合运算
一、学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
二、学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
三、学习过程
（一）复习回顾：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
。
（2）二次根式的乘除法法则是：
。
（3）二次根式的加减法法则是：
。
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1） 6 · a3 · b
3
1
（2）
16
1
4
1
（3） 50
5
112
2
1832
（二）合作交流
1、探究计算：
（1）（ 38 ）× 6 （2） 22)6324(
2、自学课本 11 页例 3后，依照例题探究计算：
（1） )52)(32( （2） 2)232(
（三）展示反馈
计算：（限时 8分钟）
（1） 12)
3
232427
3
1( （2） )32)(532(
（3） 2)3223( （4）（ 10 - 7 ）（- 10 - 7 ）
（四）精讲点拨
整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项
式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的
运算。
（五）拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式 2 2 2( ) 2a b a ab b ，你一定熟练
掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以
看作是一个数的平方，如 3=（ 3 ）
2
，5=（ 5 ）
2
，下面我们观察：
2 2 2( 2 1) ( 2) 2 1 2 1 2 2 2 1 3 2 2
反之， 23 2 2 2 2 2 1 ( 2 1)
∴ 23 2 2 ( 2 1)
∴ 223 = 2 -1
仿上例，求：（1）； 324
（2）你会算 124 吗？
（3）若 nmba 2 ，则 m、n与 a、b的关系是什么？并说明理由．
（六）达标测试：
A组
1、计算：
（1） 5)9080( （2） 326324
（3） )()3( 33 abababba （a>0,b>0）（4） (2 6 5 2)( 2 6 5 2)- - -
2、已知
12
1,
12
1
ba ，求 1022 ba 的值。
B组
1、计算：（1） )123)(123( （2） 2009 2009(3 10) (3 10)
2、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送
给妈妈，其中一个面积为 8cm
2
,另一个为 18cm
2
，他想如果再用金彩带把卡片的
边镶上会更漂亮，他现在有长为 50cm 的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩
带够用吗？
《二次根式》复习
一、学习目标
1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程
（一）自主复习
自学课本第 13 页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习：
1．若 a＞0，a的平方根可表示为___________
a 的算术平方根可表示________
2．当 a______时， 1 2a 有意义，
当 a______时， 3 5a 没有意义。
3． 2( 3) ________ 2( 3 2) ______
4． ________1872_______;4814
5． _______20125_______;2712
（二）合作交流，展示反馈
1、式子
5
4
5
4
x
x
x
x
成立的条件是什么?
2、计算： (1) 253
4
1122 (2)
3
2
125
9
x
y
3．(1) 2 5 3 3 75 (2) 2( 3 2 2 3)
（三）精讲点拨
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1） 2 2( ) ( 0) ( ) ( 0)a a a a a a 与
（2）
0a a
0a 0
0a a
2 aa
（3） ( 0, 0) ( 0, 0)a b ab a b ab a b a b 与
（4） ( 0, 0) ( 0, 0)a a a aa b a b
b bb b
与
（5） 2 2 2 2 2( ) 2 ( )( )a b a ab b a b a b a b 与
（四）拓展延伸
1、用三种方法化简
6
6
解：第一种方法：直接约分
第二种方法：分母有理化
第三种方法：二次根式的除法
2、已知 m,m 为实数，满足
3
499 22
n
nnm ，
求 6m-3n 的值。
（五）达标测试：
A组
1、选择题：
（1）化简 25 的结果是（ ）
A 5 B -5 C 士 5 D 25
（2）代数式
2
4
x
x
中，x的取值范围是（ ）
A 4x B 2x
C 24 xx 且 D 24 xx 且
（3）下列各运算，正确的是（ ）
A 565352
B
5
3
25
9
25
19
C 12551255
D yxyxyx 2222
（4）如果 ( 0)x y
y
是二次根式，化为最简二次根式是（ ）
A ( 0)x y
y
B ( 0)xy y
C ( 0)
xy
y
y
D．以上都不对
（5）化简
27
23
的结果是（ ）
2 2 6 2
3 33
A B C D
2、计算．
(1) 453227 (2)
16 25
64
(3) ( 2)( 2)a a (4) 2( 3)x
3、已知
2
23,
2
23
ba 求
ba
11
的值
B组
1、选择：
（1）
5
5,
5
1
ba ，则（ ）
A a,b 互为相反数 B a,b 互为倒数
C 5ab D a=b
（2）在下列各式中，化简正确的是（ ）
A 153
3
5
B 2
2
1
2
1
C baba 24 D 123 xxxx
（3）把
1( 1)
1
a
a
中根号外的 ( 1)a 移人根号内得（ ）
1 1
1 1
A a B a
C a D a
2、计算：
（1） 54
2
6362 （2）
0.9 121
0.36 100
（3） 2 2(3 2 2 3) ( 3 2 2 3)
3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：
2 2 3 32 2 , 3 3
3 3 8 8
(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，
猜想
15
44 的变化结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出 n(n 为任意自然数，
且 n≥2)表示的等式并进行验证．
参考答案
二次根式(一)
（五）拓展延伸
1、 (1)
1 , 1
2
x x 且 (2) 6 (3) 8
2、(1) 2 2( 5) ( 0.35)
(2) ( 7)( 7) (2 11)(2 11)x x a a
（六）达标测试
(A 组)(一)填空题：
1、
3
5
2、（1）x2 - 9= x2 -（3）2=（x+ 3）(x-3);
（2）x2 - 3 = x2 - ( 3 ) 2 = (x+ 3 ) (x- 3 ).
（二）选择题：
1、D 2、C 3、D
(B 组)（一）选择题：
1、 B 2、A
（二）填空题:
1、 1 2、 2( 2)( 2)( 2)x x x 3、
4
5
，0。
二次根式(二)
（五）展示反馈
1、（1）2x (2) 2x 2、（1） 3a （2） 32 x
（七）拓展延伸
(1)2a (2)D (3) 3
（八）达标测试：
A组 1、（1）、2 （2）、 4 2、1
B 组 1、2x 2、 a
3
22
22.2 二次根式的乘除法
二次根式的乘法
（七）拓展延伸
1、（1）错（2）错（3） 错（4）错
2、(1) - 6 (2) a2
（八）达标检测：
A组 1、（1） A （2） D （3） A
2、（1） 106 （2） 224 x ；
3、（1） 156 （2）
5
2
B 组 1、（1） B （2） A
2、（1） 348 （2） 234 ab ；
二次根式的除法
（六）拓展延伸
(1)
3
6
（２）
6
2
(３)
6
3
(４)
2
2
（七）达标测试：
A组 1、（1） A（2）C
2、（1）
6
3
（2）
2
x
（3）2 （4）
y
x
8
3
B 组（1） 22 （2）
4
2
最简二次根式
（四）合作交流
1、1
2、（1） 8.2 >
4
32 （2） 7667
3、AB= 53 ．
（六）拓展延伸
（
23
1
12
1
……+
20082009
1
）（ 12009 ）=2008．
（七）达标测试：
A组 1、（1） C （2） B 2、（1） 22 yxx （2）4
3、(1)
2
2
(2) -
2
3
B 组 1、 abba 22 2、
4
73
22.3 二次根式的加减法
二次根式的加减法
（四）合作交流，展示反馈
(1)
16 3
9
(2) 6 3 5
(3) 3
2
x y （4） 4x x
（六）拓展延伸
1、高: 3 底面边长 2 3 2、
2 3 6
4
（七）达标测试：
A组 1、（1） C （2）D
2、（1） 12 2 （2）
3
2
x
B 组 1、B 2、（1）9 10 （2） (2 ) 2y x x
二次根式的混合运算
（三）展示反馈
（1）6 18 2 （2） 2 6 6 10 15
（3）30 12 6 （4） 3
（五）拓展延伸
（1）1 3 （2） 3 1 （3） ,a m n b mn
（六）达标测试：
A组 1、（1） 4 18 5 （2） 4 2
（3） 3a b ab （4）26
2、4
B 组 1、（1） 2 2 （2） 1 2、够用
《二次根式》复习
（一）自主复习
1． a , a 2．
1
2
a ，
5
3
a
3． 3 ; 32 4． ;424 2
5． ;35 53
（二）合作交流，展示反馈
1、 5x 2、(1)
10
23
(2)
y
x
3
55
3．(1) 2 20 3 (2) 61230
（四）拓展延伸
1、 6 2、5
（五）达标测试：
A组 1、（1）A （2） B （3） B （4） C （5）C
2、(1) 533 (2)
2
5
(3) 4a (4) xx 329
3、 24
B 组 1、（1） D （2）C （3）D
2、（1）
9 6 3
2
（2）
11 10
20
（3）36
3、(1)
4 44 4
15 15
(2) 2 21 1
n nn n
n n
第二十三章 一元二次方程
23.1 一元二次方程（1 课时）
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析
的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二
次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以
及一次项和系数还有常数项。
导学流程：
自学课本导图，走进一元二次方程
分析：现设长方形绿地的宽为 x米，则长为 米，可列方程
x（ ）= ，去括号得 ①.
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么
方程，它的特点是什么？
探究新知
【例 1】小明把一张边长为 10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小
的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为 81cm 2 ,
那么剪去的正方形的边长是多少？
设剪去的正方形的边长为 xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立
方程模型的？
合作交流
动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 ② .
自主学习
【做一做】根据题意列出方程：
1、一个正方形的面积的 2倍等于 50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大 3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是 150cm 2 长方形铁片，它的长比宽多 5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定
义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【我学会了】
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样
的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中
二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ，
一次项系数。
【例 2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、
一次项和常数项及它们的系数。
（1） 814 2 x （2） )2(5)1(3 xxx
【巩固练习】教材第 19 页练习
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
达标测评
（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1） 0
2
3
3
12 2 xx （ ）（2） 052 2 yx ( )
(3) 02 cbxax （ ） (4) 0714 2
x
x ( )
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、
一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1） )()( 1412 xxx ±1 ±2；
（2） 0822 xx ±2， ±4
（B）1、把方程 pqnxmxnxmx 22 ( )0 nm 化成一元二次方程的一
般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使 02)1()1( 1 xkxk k
是一元二次方程，则 k=_______.
3、已知关于 x的一元二次方程 043)2( 22 mxxm 有一个解是 0，求 m 的
值。
拓展提高
1、已知关于 x的方程 12 22 xkxxk )( 。问
（1）当 k为何值时，方程为一元二次方程？
（2）当 k为何值时，方程为一元一次方程？
2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？
23.2 一元二次方程的解法（5 课时）
第 1课时
学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解
形如 2x =a(a≥0)或（mx+n） 2 =a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、
公式法)解某些一元二次方程；
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之
间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0;
解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得
x=____ ______________＝0，
必有 x－1＝0，或______＝0,
得 x1＝___，x2＝_____.
精讲点拨
(1)这种方法叫做直接开平方法.
(2)这种方法叫做因式分解法.
合作交流
（1） 方程 x2＝4 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它
化成什么形式？
（2） 方程 x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先
应将它化成什么形式？
课堂练习 反馈调控
1.试用两种方法解方程 x2－900＝0.
(1)直接开平方法 (2) 因式分解法
2.解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
解（1）移项，得 x2＝2. (2) 移项，得_________.
直接开平方，得 2x . 方程两边都除以 16，得______
所以原方程的解是 直接开平方，得 x＝___.
21 －x ， 22 x . 所以原方程的解是 x1＝___，x2＝___.
3.解下列方程：
（1）3x2＋2x=0； （2）x2＝3x.
解（1）方程左边分解因式，得_______________
所以 __________，或____________
原方程的解是 x1＝______，x2＝______
（2）原方程即_____________=0.
方程左边分解因式，得____________＝0.
所以 __________，或________________
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_________
总结归纳
以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法
和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么？
巩固提高
解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
分 析 两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开
平方法求解.
解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，
（2）原方程可以变形为________________________，
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________.
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与
区别？（学生思考整理）
达标测评
(A)1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0；
（4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t +1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.
(7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
(B)2、小明在解方程 x2＝3x 时，将方程两边同时除以 x，得 x=3，这样做法对吗？
为什么会少一个解？
拓展提高
1、解下列方程：
（1） 2x +2x-3=0 (2) 2x -50x+225=0
（教师引导学生用十字相乘法分解因式。）
2、构造一个以 2为根的关于 x 的一元二次方程。
第 2 课 时
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
自主学习
自学教科书例 4，完成填空。
精讲点拨
上面，我们把方程 x2－4x＋3＝0 变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未
知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法
求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练 ：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2
＋
2
3
x＋（ ）＝（x＋ ）
2
；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得 x2－6x＝____.
方程左边配方，得 x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即 （______）2＝____.
所以 x－3＝____.
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得 x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得 x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即 _____________________
所以 ___________________
原方程的解是： x1＝______________x2＝___________
总结规律
用配方法解二次项系数是 1的一元二次方程？有哪些步骤？
深入探究
用配方法解下列方程：
（1） 01124 2 xx （2） 0323 2 xx
这两道题与例5中的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？
请两名同学到黑板展示自己的做法。
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？（学生思考后
回答整理）
达标测评
（A）用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0. （3）2x2-x=6
（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
（5）4x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2＝（2x－ ）2.
拓展提高
已知代数式 x2-5x+7,先用配方法说明，不论 x取何值，这个代数式的值总是
正数；再求出当 x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
第 3 课 时
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
导学流程
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程 3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为 a≠0，方程两边都除以 a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋
a
b
x＝________，
配方，得 x2＋
a
b
x＋______＝______－
a
c
,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以 4 a2＞0，当 b2－4 ac≥0 时，直接开平方，得
_____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0 的求根公式：
精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 a、b、c的值，直接求得方
程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4 ac 为什么一定要强调它不小于 0 呢？如果它小于 0 会出现什么情况
呢？
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
1 当 b2－4ac＞0 时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或
不相等）
2 当 b2－4ac＝0 时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
3 当 b2－4ac＜0 时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
巩固练习
1、做一做：
(1)方程 2x 2 -3x+1=0 中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）
(2)方程(2x-1) 2 =-4 中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.
(3)方程 3x 2 -2x+4=0 中， acb 42 =（ ）,则该一元二次方程（ ）实数根。
(4)不解方程，判断方程 x 2 -4x+4=0 的根的情况。
2、应用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
解 (1)这里 a＝___，b＝___，c＝______，
b2－4ac＝____________ ＝_________
x＝
a
acbb
2
42 ( b2－4 ac≥0)
所以 x＝
a
acbb
2
42
＝_________＝____________
即原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____
(2)将方程化为一般式，得_________________＝0.
因为 b2－4ac＝_________
所以 x＝_____________＝_______________
原方程的解是 x1＝________，x2＝_____
(3)因为 ___________________，
所以 x＝____________＝__________＝__________
原方程的解是 x1＝________，x2＝__________.
(4)整理，得_______________＝0.
因为 b2－4ac＝_________，
所以 x1＝x2＝________
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).
（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
（B）2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长 25m，另三边
用篱笆围成，篱笆长为 40m.
(1)养鸭场的面积能达到 150m 2 吗？能达到 200 m 2 吗？
(2)能达到 250 m 2 吗？
拓展提高
m取什么值时，关于 x的方程 2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？
第 4 课时 一元二次方程根的判别式（选学）
学习目标
1、了解什么是一元二次方程根的判别式；
2、知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：根的判别式的变式应用。
导学流程
复习引入
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数 a、b、c 满足条件 b2－
4ac___0 时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
1 当 b2－4ac＞0 时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不
相等）
②当 b2－4ac＝0 时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当 b2－4ac＜0 时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
精讲点拨
这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，
用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程 x2－x＋1＝0，可
由 b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
合作交流
方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；
（3）x（3x－2）－6x2
＝0； （4）x2
＋( 3 ＋1)x＝0；
（5）x（x＋8）＝16； （6）（x＋2）（x－5）＝1；
2．说明不论 m取何值，关于 x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实
数根.
解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
拓展提高
应用判别式来确定方程中的待定系数。
（1）m取什么值时，关于 x的方程 x2-2x＋m－2＝0 有两个相等的实数根？求出
这时方程的根.
解：因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿
因为方程有两个相等的实数根
所以Δ＝b2－4ac＿＿＿0，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
解得ｍ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
这时方程的根ｘ＝
（2）m取什么值时，关于 x的方程 x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0 没有实数根？
课堂小结
1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？
2、列举一元二次方程根的判别式的用途。
达标测评
（A）1、方程 x2-4x＋4＝0 的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根； D.没有实数根.
2、下列关于 x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
3、若关于 x的方程 x2-x＋k＝0 没有实数根，则（ ）
A.k＜
4
1
B.k ＞
4
1
C. k≤
4
1
D. k≥
4
1
4、关于 x的一元二次方程 x2-2x＋2k＝0 有实数根，则 k得范围是（ ）
A.k＜
2
1
B.k ＞
2
1
C. k≤
2
1
D. k≥
2
1
（B）5、ｋ取什么值时，关于 x的方程 4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
6、说明不论ｋ取何值，关于 x的方程 x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不
相等的实根.
第 5 课 时（习题课）
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解
决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：
直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方
法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方
程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程
时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：
用公式法： 用因式分解法：
用配方法： 用公式法：
练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0； （2）
2
1
（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
2、当 x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于 21；（2）3x2－6的值与 x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x； （2）
3
1
（x＋3）2＝1；
（3）x2
＋( 3 ＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝ x22 ； （6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
4、已知 y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当 x取何值时 y1＝y2？
课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是
如何选择的？和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3 或 2 （C） 3 （D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）(x 2 -x) 2 -5(x 2 -x)+6=0 （2） 1
1
21 2
2
2
x
x
x
x
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本 3000 元，售价每套 30 元．服
装厂向 24 名家庭贫困学生免费提供．经核算，这 24 套演出服的成本正好是原定
生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
23.3 实践与探索（3课时）
第 1 课 时
学习目标
1、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际
意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决面积问题，并能求出最大面积。
3、进一步经历运用方程解决实际问题的过程，发展应用数学的意识，体会方程
是刻画现实世界的数学模型。
重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；
难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得
的结果是否合理。
导学流程
复习提问
1、列方程解应用题的步骤是什么？
2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？请解出课本第 18 页问题 1所列方
程，并检验结果是否合理。
3、请同学们完成课本第 29 页例 7，并检验结果是否合理？
4、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。
情境导入
在开始学习这一章时，我们已经动手实验，直观体验长方体的制作过程，从
图中能直观发现长方体的底面是边长为（10-2x）cm 的正方形，在本节课我们再
来探讨一下这样的长方体侧面积会不会有最大值？你是如何获得这个侧面积最
大值的？
自主学习
1、请同学们自学教材第 33 页问题 1，填写表中空格，看谁做得又快又对,
与同学们交流你的做法。
思考：（1）从你填表数据中，你认为折合而成的长方体的侧面积会不会有最
大值？（2）设剪去的正方形的边长为 xcm,则长方体的底面边长为 cm,
侧面积为 cm 2 .如果将剪去的正方形的边长 x为自变量，折合而成的
长方体的侧面积为函数 y，则可得到 ①.
（3）对于这个函数，我们并不了解它的性质，你能否在平面直角坐标系中画出
相应的点，看看与你的感觉是否一致。
拓展延伸
在上题中，用配方法将得到的①式配方会得出什么结论？能否验证“探索”
中的结论？请同学们合作完成。
课堂练习
1、有一个长是宽 3倍的矩形铁皮，四周各截去一个完全相同的正方形，做成高
是 6cm,容积是 300cm3的长方体容器，设矩形的宽为 xcm,则长为 cm,
长方体的底面长为 cm,宽为 cm，则可列方程为 。
2、将进价 40 元的商品按 50 元出售时，每月能卖 500 个，已知该商品每涨价 2
元，其月销售额就减少 20 个，为保证每月 8000 元利润，单价应定为多少？
课堂小结
请盘点你在本节课中的收获。
达标测评
（A）1、一块长 30 米、宽 20 米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不
改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？
（B）2、某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元．经市场预测，销售定价
为 52 元时，可售出 180 个；定价每增加 1元，销售量将减少 10 个．商店若准备
获利 2000 元，则应进货多少个？定价为多少？
（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？
（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？
（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？
第 2 课 时
学习目标
1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的
实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2、会运用方程模型解决增长率问题，
3、了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。
重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。
难点：设辅助未知数。
导学流程
课前热身
（1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为 4 万吨，若二月份的产量增长率为 x,则
二月份产量为（ ）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份
的产量为（ ）。
（2）某林场现有的木材蓄积量为 a立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平
均增长率为 p 0
0 ,那么两年后该临场木材蓄积量为（ ）立方米。
探究新知
例 1：（第 18 页，问题 2）学校图书馆去年年底有图书 5万册，预计到明年
年底增加到 7.2 万册.求这两年的年平均增长率.
设这两年的年平均增长率为 x，则今年年底的图书数是__________万册；同
样 ， 明 年 年 底 的 图 书 数 又 是 今 年 年 底 的 _______ 倍 ， 即
_________________________________万册.可列得方程
____________________＝7.2
请同学们自己整理出做题步骤，注意检验结果的合理性。
例 2：（第 34 页，问题 2）阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻
一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
精讲点拨
①财政净收入翻一番，意味着净收入增长到原来的两倍。
②财政净收入和平均年增长率都是未知数，其中财政净收入是一个辅助未知
数，列出方程后，辅助未知数自动消去。
反馈矫正
请一名同学黑板演练，写出完整的步骤。
完成课本“探索” 部分的问题，（关键在于找出不同增长率之间的关系，要求同
学分别列出方程即可。）
课堂练习
1、（教材第 30 页例 8）某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元。
已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
2、哈尔滨市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积
增加 44 0
0 ，这两年平均每年面积的增长率是（ ）。
拓展延伸
请同学们认真阅读下面的题目，说出这道题与前面所做例题的区别与联系，
然后根据相等关系列出方程。
市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.
初一阶段就有 48 人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束
共有 183 人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
课堂小结
请说出你在本节课收获了什么？
达标测评
（A）1、某工厂一月份的产值是 50000 元，3月份的产值达到 60000 元，这两个
月的产值平均月增长的百分率是多少？
2、某商店二月份营业额为 50 万元，春节过后三月份下降了 30%，四月份有回升，
五月份又比四月份增加了 5个百分点（即增加了 5%），营业额达到 48.3 万元.求
四、五两个月平均增长的百分率.
（B）3、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，
至今已成活了 2000 棵．已知这些学生在初一时种了 400 棵，若平均成活率 95%，
求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到 1%）
第 3 课 时
学习目标
1、掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系
数的值。
2、通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，
提高探究性学习的能力。
重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。
难点：运用根与系数的关系解题必须是在 b2-4ac 不小于 0的情况下。
导学流程
复习引入
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、一元二次方程的解法有几种？
3、如何判断一元二次方程根的情况？
4、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
探究新知
1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，
它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1） 2x －2x＝0；（2） 2x ＋3x－4＝0；（3） 2 2x －5x-7＝0．
方程
1x 2x 21 xx 21 xx
2x －2x＝0
2x ＋3x－4＝0
2 2x －5x-7＝0
2、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
的根是 1x 、 2x ，则 21 xx = ， 21 xx = ，并加以证明。（学
生分组交流、讨论，然后归纳总结）
精讲点拨
应用一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 x=
a
acbb
2
42
，可
以分别求出 21 xx 与 21 xx 的值。
一般地，如果关于 x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个根 x1、
x2 ，那么：
21 xx =-
a
b
， 21 xx =
a
c
.这就是一元二次方程根与系数的关系。
反馈练习
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
① 2y -3y+1=0 ② 3 2x -2x=2 ③2 2x +3x=0 ④4p(p-1)=3
2、关于 x的方程 x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（ ）。
A、两根的积是-5； B、两根的和是 5；
C、两根的和是 4； D、以上答案都不对
3、若 1和 3是方程 x2-px+q=0 的两根，则 p= ;q= .
思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，
应注意哪些事项？
拓展提高
1、已知 、 是方程 2 2x +3x-4=0 的两个实数根，则 + + 的值是
。
2、已知反比例函数
x
aby ，当 x＞0时,y 随着 x的增大而增大，则关于 x的方
程 a 2x －2x＋b＝0 的根的情况是（ ）。
A、有两个正根； B、有两个负根；
C、有一个正根，一个负根； D、没有实数根。
3、已知关于 x的方程（k-1） 2x +(2k-3)x+k+1=0 有两个不相等的实数根 1x 、 2x .
（1）求 k的取值范围；
（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出 k的值；
如果不存在，请说明理由。
课堂小结
1、一元二次方程根与系数的关系是什么？
2、使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项？
达标检测
（A）1、已知 1x 、 2x 是方程 2x -x-3=0 的两个实数根，则 21 xx = ,
21 xx = .
2、若方程 x2+px+2=0 的一个根是 2，则另一个根是 ，p= .
3、下列方程中两根之和是 2的方程是（ ）
A、 2x +2x+4=0 B、 2x -2x-4=0 C、 2x +2x-4=0 D、 2x -2x+4=0
4、已知 1x 、 2x 是方程 2x -2x-3=0 的两个实数根，则
2
2
2
1 xx = ,
21
11
xx
。
（B）5、先阅读下列材料，然后按要求解答有关问题。
若关于 x的一元二次方程 2x +（m+1）x+m+4=0 两实数根的平方和为 2，求 m
的值。
解：设方程的两实根为 x 1,x 2 ,那么 21 xx =-（m+1）, 21 xx =m+4,
所以 27)4(2)1(2)( 22
21
2
21
2
2
2
1 mmmxxxxxx ，
即 2m =9，解得 m=3.
请指出上述解题过程中的错误和不完整之处，并写出正确解答
过程。
6、已知 ， 是方程 2x ＋2x-5＝0 的实数根，求 22 的值。
一元二次方程（复习课）
复习目标
1．了解一元二次方程的有关概念。
2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应
用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程
回忆整理
1．方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫
做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )
其 中 二 次 项 系 数 是 、 一 次 项 系 数 是 常 数
项 。
例如： 一元二次方程 7x－3=2x2化成一般形式是
___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项
是 。
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________________ （2）
（3） （4）求根公式法，求根公式是
___________________________________________
3．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式是 ，
当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相
等的实数根；当 时，它没有实数根。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —5
4．设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为 x1，x2 则 x1 +x2= ；
x1 ·x2= ____________
例如：方程 2x2+3x —2=0 的两个根分别为 x1，x2 则 x1+x2= ；x1 ·x2= _________
交流提高
请同学们之间相互交流，形成本章的知识结构。
典例精析
例 1：已知关于 x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0 有一个解是 0，求 m
的值.
分析：根据根的意义，把 x=0 代入方程，可得 m2－4=0
则 m1=2 , m2 = —2，但应注意 m－2≠0，则 m ≠2因此 m = —2.
请问你还可以用什么方法来解决这个问题？
例 2：解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
（5）（x＋1）（x－1）＝ x22 （6）（2x＋1）
2
＝2（2x＋1）.
分析：解题时应抓住各方程的特点，选择较合适的方法。
例 3：已知关于 x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当 m 取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
分析：在解题时应注意 m—1≠0这个隐含的条件。
巩固练习
(A)1．关于 x的方程 mx2－3x=x2－mx+2 是一元二次方程的条件是
2．已知关于 x的方程 x2－px＋q＝0 的两个根是 0和－3，求 p和 q的值
3．m取什么值时，关于 x的方程 2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
4．解下列方程：（1） x2
＋( 3 ＋1)x＝0；（2）（x＋2）（x－5）＝1 ；
（3）3（x－5）2＝2（5－x）。
5.说明不论 m取何值，关于 x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实
数根。
6、已知关于 x的方程 x2－6x＋p2－2p＋5＝0 的一个根是 2，求方程的另一个根
和 p的值.(请用两种方法来解)
（B）7、写一个根为 x=1，另一个根满足—1
0)个单位后坐标为
点 A（x，y） （ ）
向左平移 a(a>0)个单位后坐标为
点 A（x，y） （ ）
向上平移 a(a>0)个单位后坐标为
点 A（x，y） （ ）
向下平移 a(a>0)个单位后坐标为
点 A（x，y） （ ）
用文字写出体现上述变化的规律：
拓展学习：
自己随便写一个直线的解析式然后在直线上任取 2点，将这两点分别向右平移 1
个单位，再向下平移 2个单位，写出对应坐标并求出经过平移后的两点的直线的
解析式。
小组内整理一下不同直线对应的解析式的变化，你能发现一条直线平移前后的变
化规律吗？（我们可以称这种方法为取特殊点法）
提示：左右平移应将变量 x 本身进行加减（注意：左加右减）相应的平移单位；
上下平移应将变量 y 本身进行加减（注意：下加上减）相应的平移单位；最后
整理成一般形式即可。这个规律适应所有的函数图像。你能举例说明吗？
三、 学习课本 77 页“思考”，并完成“试一试”，然后完成下列问题：
图形的对称：
关于 y轴对称
点 A（x，y） （ ）
关于 x轴对称
点 A（x，y） （ ）
关于原点 o中心对称
点 A（x，y） （ ）
文字总结上述规律：
拓展：你能用上述平移中的“取特殊点”法发现函数图像分别关于 x轴、y轴、
原点对称的规律吗？（可以以直线为例）写出你的发现过程：
（提示：与点的变换规律类似）
四、 学习课本 78 页“思考”，之后小结将图形因某一中心进行放大或缩小后各
顶点坐标的变化。位似比为 1：2的两个位似图形。
【一显身手】：
1、已知△ABC 各顶点的坐标为 A（2,1），B（0,3），C（4,0）
（1）把△ABC 向上平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
____
（2）把△ABC 向右平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
___
（3）把△ABC 先向下平移一个单位，再向左平移一个单位，所得三角形三个顶
点坐标为______________
2、（★★★）若已知点 M(-1,0),点 N(0,1)，则直线 MN 与 y 轴对称的直线解析式
是__________,与 x 轴对称的直线解析式是__________,关于原点成中心对称的
直线的解析式是： 将直线 MN 向右平移 1个单位，然后向下平移一个单位，
所得到的直线的解析式是：
3、（★★）在平面直角坐标系中 A(2,3); B(7,4);C(8,5)
（1）作出△ABC 关于 y轴对称的△A 1 B 1 C 1，并写出△A 1 B 1 C 1各顶点的坐标；
（2）将△ABC 向右平移 6个单位，作出平移后的△A 2 B 2 C 2 ，并写出△A 2 B 2 C 2
各顶点的坐标；
（3）观察△A 1 B 1 C 1和△A 2 B 2 C 2 ，它们是否关于某直线对称？若是，请在图
上画出这条对称轴。
【反思总结】
本节你有什么收获？
你提出了什么问题？发现了什么？
你还有困难与困惑吗？
对于老师的教学，你有何建议？
§24.7 复习课
【复习目标】
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提
高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也发生
变化，体会到数与形之间的关系。
4、通过复习，形成知识体系，整体把握本章内容。
【复习过程】
１、 结合目录，阅读课本，理清本章知识，自己画出知识结构图。（可参考课
本单元小结）然后同学之间交流修正。
2、快速浏览本章中所有例题、证明、绘图，分类整理各类题型与方法，然后与
同学之间进行交流修正。
3、（★★★★）课外结合上述两个环节，自己出一份测试题，题目多少、形式不
限，但是尽可能的考察到本章所学的知识点，尽可能的联系生活实际。然后小组
内交换做题，看看谁出的题目最好。
图形的相似单元自我检测
一、选择题
1、两个相似三角形的面积比为 4：9，周长和是 20 cm，则这两个三角形的周
长分别是（ ）
A、8cm 和 12cm B、 7cm 和 13cm C、9cm 和 11cm D、4cm 和 16cm
2、如图 1，已知 DE//BC，且
DB
AD
3
2
，那么 ADE 与 ABC 的面积比 ABCADE SS ：
等于（ ）
A、2：5 B、2：3 C、4：9 D、4：25
3、如图 2， ABC∽ ADB，下列关系成立的是（ ）
A、 ADB= ACB B、 ADB= ABC
C、 CDB= CAB D、 ABC= BDC
4、如图 3，已知 ABC 中，DE//FG//BC，且 AD：DF：FB=1：2：3，则
FBCGDFGEADE SSS 四边形四边形 ：： 等于（ ）
A、1：9：36 B、1：4：9 C、1：8：27 D、1：8：36
321
E
G
CB
F
D
A
B
C
D
A
E
CB
D
A
5、下列说法中，正确的是（ ）
A、所有的等腰三角形都相似 B、所有的菱形都相似
C、所有的矩形都相似 D、所有的等腰直角三角形都相似
6、小明在华联超市的北偏西 30 0方向上，则华联超市在小明的（ ）
A: 北偏西 30 0 B:南偏东 60 0 C: 南偏东 30 0 D: 北偏西 60 0
7、若两个相似三角形的面积之比为 2：3，则它们对应角的平分线之比为。（ ）
A、
3
2
B、
2
3
C、
3
6
D、
2
6
8、用一个 3倍放大镜照一个 ABC，下面说法中正确的是（ ）
A、 ABC 放大后， A 是原来的 3倍
B、 ABC 放大后，周长是原来的 3倍
C、 ABC 放大后，面积是原来的 3倍
D、 以上都不对
9、四边形 ABCD 与四边形 A / B / C / D / 位似，O为位似中心，若 OA : O A / = 1：
3，则 S ABCD四边形 :S //// DCBA四边形
=( )
A: 1:9 B: 1:3 C: 1:4 D: 1:5
10、如图 4， 090C ，CD AB 于 D，DE BC 于 E，则与 Rt CDE 相似的直角三
角形共有（ ）
A、4个 B、3个 C、 2个 D、1个
11、如图 5， ABC 中，BD、CE 是高，且 BD、CE 交于 F点，则图中与 AEC 相似
（不包括其本身）的三角形个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
12、如图 6，在 ABC 中，M是 BC 边的中点，AD 是∠A的平分线，BD⊥AD 于 D，
AB=12,AC=18,则 MD 的长为( )
A、3 B、4 C、5 D、6
4 65
D
CMB
A
E
D
CB
AC
E
BDA
二、填空题，
13、已知
5
9
2
2
ba
ba
，则 ._____ba：
14、同一时刻，一竿高为 2 m，影长为 1.2 m，某塔的影长为 18 m，则塔高为
_____.
15、在比例尺为 1：4 00O 的平面图上，量得某学校的校园的周长是 cm60 ，则此
学校校园的实际周长是_____米．
16、一个多边形的边长依次为 l、2、3、4、5、6，与它相似的另一个多边形的
最大边长为 8，那么另一个多边形的周长是_____．
17、梯形的面积为 12cm 2 ，高为 3cm，则梯形的中位线为__________.
18、 ABC 中，G是的重心，且 AG=12，GC=6，BG=10.则三中线的和为_______
19、若三角形的三边 7:3:8:: cba ，且 32 bac ，则此三角形的周长为
_____．
20、点 P（-2，2）沿 x轴的正方向平移 4个单位得到点 P / 的坐标为__________.
三、解答题
21、如图：△ABC 中，∠B=90，点 D、E在 BC 上，且 AB=BD =DE =EC，求证：△
ADE ∽ △CDA
CEDB
A
22、如图，一油桶高 1m，桶内有油，一根木棒长 1.2m，从桶盖的小口处斜插入
桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒量得棒上未浸油部分长 0.48m.
求桶内油面的高度。
23、已知,如图，EF 是平行四边形 ABCD 外的 一条直线，
AA
/
,BB
/
,CC
/
,DD
/
都垂直于 EF，A
/
B
/
C
/
D
/
为垂足，求证：AA
/
+CC
/
=BB
/
+DD
/
C
D
EB
F
A
D
/C/A/B/
C
D
B
A
FE
24、如图（1）、( 2 )，在两个全等的直角三角形中，∠C=∠C / =90 0 ，AC=6，
BC=8，AB=10,分别在两个三角形中画出如图所示的正方形 DEFG 和正方形 C / MNP。
通过计算比较一下，哪个正方形的边长大些？
C
/
(2)
P
B/NA/
M
(1)
C
D G
BFEA
总结自己存在的问题，分析原因，制定弥补方案。
答案：
§24.1 相似的图形
【一显身手】
1、略；2、（1）~（a），（2）~（d），(3)~（g）；3、相似、相似、不一定相似、
相似、不一定相似、相似。
§24.2 相似的图形性质（1）成比例线段
【自主探究训练】
1、不成比例；2、成比例。方法提示：按照大小排列后计算是否成比例。
补充练习：
（3） x=9；2、所添的数可以是：2 3；
2
3
；
3
3
【过关题目】
4、m=12；2、x=9 或-9；x=9；3、a= 6； b= 9； c=21；4、
7
5
；
5、
3
1;
4
1;
6
1
zyx
§24.2 相似的图形性质（2）相似图形的性质
【一显身手】
1、C；2、D；3、10；4、68°；5、
2
9
；6、x=27；y=24；ａ=85°7、c
黄金分割练习 1、
2
15 a；2、距离一边 12.4 米或者 7.6 米
§24.3.1 相似三角形
【一显身手】：1、略；2、其他两边都是 14 米；3、全等；4 ；24；5、D；6、C
§24.3.2 相似三角形的判定（1）
【挑战自我】：
1、错、对、对、错、错；2、∠ADC=∠ACB 或者∠ACD=∠B；3、∠ADC=∠AEB 或
者∠ACD=∠B 或者∠BDC=∠BEC（2.3 题还可添加公共角两边对应成比例）
§24.3.2 相似三角形的判定（2）
自主练习：
7、△ABC∽△CBD∽△ACD(证明略)
8、ED=2.4
3、解：因为 BM:MC=3:4 可设比例系数为 x，则 BM=3x，MC=4x；
所以在平行四边形 ABCD 中 AD=BC=7x；
因为：在平行四边形 ABCD 中 AD∥BC
所以：∠DBC=∠ADB; ∠DAM=∠AMB;
所以：△AFD∽△MFB
所以：BF:FD=BM:AD=3x：7x=
7
3 设 BF=3a 则 FD=7a
所以：BF:BD=3a:10a=3:10
4、提示：先证明△ADB∽△AEC,得出 AE:AD=AC:AB 然后根据公共角∠A，运用两
边对应成比例及夹角相等来证明结论。
【挑战自我】
1、方案 1：另两边长分别为 2.5；3
方案 2：另两边长分别为 1.6；2.4
方案 3：另两边长分别为 3
4
；
3
5
2.令一个三角形三边分别是 4、5、x；另一三角形 y、4、5然后，令他们相似。
根据对应边成比例，求得 x=25/4;y=16/5,检验能构成三角形，故符合条件。
§24.3.3 相似三角形的性质
【一显身手】
1、BC=20、 =18、 =30；2、54；3、8，10；4、D；
5、C；6、相似比：甲：乙=5：2，面积比：甲：乙=25：4
7、9 ㎝
§24.3.4 相似三角形的应用
二、（2）10m；三、略
四、（1）提示：证明△BGD∽△BCE,(2)提示：由ＢＤ·ＢＣ＝ＢＧ·ＢＥ及 AD
是斜边的中线，也是高线，可得出 BA= 2 BD，而ＢＤ·ＢＣ=2DB 2 =BA 2 故：
BA 2 =BG·BC 可得到△BAG∽△BEA 从而正的垂直关系。
【一显身手】
1、A;2、D；3、B；4、AB=(5+
2
23
)m
【深度探究】
五、
AB
1
+
CD
1
=
EF
1
(提示：由△DEF∽△DAB 可得
AB
EF
=
BD
DF
，由△BEF
∽△BDC 可得：
CD
EF
=
BD
BF
，而
BD
DF
+
BD
BF
=1，所以
AB
EF
+
CD
EF
=1 即
AB
1
+
CD
1
=
EF
1
)
拓展：EF=EG(提示：
AB
EF
=
BD
DF
=
AC
GC
=
AB
EG
,所以 EF=EG）
面积相等的三角形：△ABD与△ABC;△CDA与△CDB;△AEC与△BED;△GEC与△EFD;
△AEG 与△BEF
二、相似三角形略，结论：
OB
1
+
B O
1
=
OF
1
提示：过 A′作 A′M∥B B′交 CD 于点 M则构成梯形 MA′CA,图形便于上题基本
相同，也可以用其他方法。
§24．4 中位线
【一显身手】1、26；2、8；3、26；4、4；5、2；6、2（连结梯形对角线中点的
线段等于上下低差的一半）
【拓展训练】
1、提示：连结对角线，运用中位线定理；
等腰梯形——菱形 菱形——矩形
矩形——菱形 正方形——正方形
2、略；3、2a
§24．5 画相似图形
【一显身手】
4、 D；2、D；3、18；4、略
【拓展训练】
提示：
如图：先在△ABC 的边 BC 上作正方形 DEFG，（过 AB 上任取一点 G作 GD⊥BC 于点
D，然后，以 GD 为边作正方形）然后连结并延长 BF 交 AC 于点 I，过点 I作 IJ
⊥BC 于点 J，然后，以 IJ 为边作正方形 KIJH 为所求。
需要进一步探讨的是：每一条边上都可以作出一个正方形，但是哪一个正方形面
积最大呢？可以发现其边长等于所在底边与底边上的高的积除以二者的和，这
样，要使边长大，可以是二者的和最小的即可，这样，经过计算实验（也可以推
理论证）知，三边中其长度居于中间的边上的正方形面积最大。（注意思考探究
等腰三角形）
§24、6．1 用坐标确定位置
本节略（请小组内自行讨论确立答案）
§24.6.2 图形的变换与坐标
【一显身手】
5、（1）A（2,2），B（0,4），C（4,1），（2）A（3,1），B（1,3），C（5,0），（3）
A（1,0），B（-1,2），C（3,-1）
6、y=-x+1;y=-x-1;y=x-1;y=x-1
A 1 (-2,3),B 1 (-7,4),C 1 (-8,5);A 2 (8,3),B 2 (13,4),C 2 (14,5)
对称轴：x=3
图形的相似单元自我检测
一、D B C D C C B A A C A
二、19：13；14、30M；15、2400;16、28；17、4 ㎝；18、42、
19、18；20（2，2）
三、21、提示：计算公共角的两边成比例。
22、0.6m
23、提示：作平行四边形的对角线，过交点作垂线，利用梯形的中位线。
24、（1）的边长为
37
120
；（2)的边长为
7
24
，故（2）的边长长些。
提示：可以利用正方形的边长与所在直角三角形的一边之比加上边长与该边上高
长之比的和等于 1这一结论来计算。（可以利用三角形的性质来证明，可类比§
24.3.4 相似三角形的应用中关于小孔成像的结论证明方法。同时也是§24．5 画
相似图形中拓展训练的特例。
第 25 章 解直角三角形
25.1 锐角三角函数（1）
学习目标
1、正弦、余弦、正切、余切的定义。
2、正弦、余弦、正切、余切的应用。
学习重难点
重点：正弦、余弦、正切、余切的定义。
难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。
导学流程
A、情境导入
我们学过的直角三角形的知识有勾股定理，还有上节课的拓展提高中提到的直角
三角形的边角关系，那么直角三角形的边角关系究竟是怎样的，这就是本节课我
们所研究的问题。
B、明确目标
由直角三角形相似的知识探究出在直角三角形中，对边与斜边、斜边与斜边、斜
边与对边的比值是唯一确定的，从而引出锐角三角函数的定义。
C、自主学习
自学课本 88—89 页，弄懂锐角三角函数的定义，搞清直角三角形的边角关系，
能够根据直角三角形的两边求出某一锐角的三角函数值，时间为 12 分钟。
D、合作交流
同桌之间讨论 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0,cotA＞0 的原因和关系式
AA 22 cossin ＝1，tanA·cotA＝1 的推导过程。
E、展示反馈
合作交流后，由一名同学展示答案，其他同学认真听完后，还有其他方法的继续
补充。
F、精讲点拨
知识点一：锐角三角函数的定义的理解
在 Rt△ABC 中，对于锐角 A有 sinA＝
斜边
的对边A
，cosA＝
斜边
的邻边A
，
tanA＝
的邻边
的对边
A
A
，cotA＝
的对边
的邻边
A
A
．
sinA、cosA、tanA、cotA 分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为
锐角∠A的三角函数．
注：（1）锐角 A的三角函数的定义是在直角三角形中相对其锐角定义的，其本质
是两条线段长度之比，没有单位，它们只与∠A的大小有关，而与三角形的边长
无关。
（2）对于每一个锐角 A的确定值，它的正弦、余弦、正切和余切都有唯一确定
的值和它对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦、正切和余切值，都有唯一
的锐角与之对应。
（3）sinA、cosA、 tanA 和 cotA 是整体符号，如不能把 sinA 看作 sin.A，离
开了∠A的 sin 没有意义。
（4）任意锐角的正弦、余弦、正切和余切的值都是正实数，并且 0＜sinA＜1，
0＜cosA＜1，tanA＞0,cotA＞0。
（5）因为 sinA=
c
a
（c为斜边,a 为直角边），所以 0＜sinA＜1；因为 cosA=
c
b
（c
为斜边,b 为直角边），所以 0＜cosA＜1。因为 sinA=
c
a
，cosA=
c
b
，所以
sin 2 A+cos 2 A= 1)()( 2
2
2
22
2
2
2
2
22
c
c
c
ba
c
b
c
a
c
b
c
a
。
知识点二：锐角三角函数的定义的应用
利用锐角三角函数的定义解题时，一定要结合图形来理解，做到“脑中有‘图’，
心中有‘式’”，决不能死记硬背。如图所示：在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，sinA=
c
a
，
cosA=
c
b
，tanA=
b
a
，cotA=
a
b
；sinB=
c
b
，cosB=
c
a
，tanB=
a
b
，cotB=
b
a
。
B
a
C b
c
A
G、课堂小结
H.达标检测
8、在直角三角形 ABC 中，∠C=90 ，sinA=
5
3
，求 cosA 的值。
J、拓展提高
已知∠A为锐角，sinA=
3
1
，求∠A的其他三角函数值。
锐角三角函数（2）
学习目标
掌握特殊锐角三角函数值。
学习重难点
重点: 掌握特殊锐角三角函数值。
难点：理解并掌握特殊锐角三角函数值的应用方法。
余切
余弦
正切
直角三角形的边
角关系
正弦
锐角三角函数
导学流程
A、情境导入
复习锐角三角函数的概念，拿出一副三角板，你能求出各个锐角的三角函数值
吗？
B、明确目标
自己求出 30 ，45 ，60 的三角函数值，熟记并应用，熟练应用在一个直角三角
形中，30 所对的直角边等于斜边的一半。
C、自主学习
自学课本 90-91 页，熟记并应用 30 ，45 ，60 的三角函数值，时间 7分钟。
D、合作交流
同桌之间讨论“在一个直角三角形中，30 所对的直角边等于斜边的一半”，的不
同证明方法。
E、展示反馈
同桌之间互相提问 30 ，45 ，60 的三角函数值，达到不出错误为止；由一名同
学展示“在一个直角三角形中，30 所对的直角边等于斜边的一半”的证明过程。
F、精讲点拨
（1）对于特殊角的三角函数值，可结合下图中的数据和各函数的定义来加以计
算，从而记住结果：
（2）通过 30 ，45 ，60 的三角函数值，我们可以得到如下规律：
在 0 ～90 之间，一个锐角 A的正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而增
大（或减小）。
在 0 ～90 之间，一个锐角 A的余弦值（余切值）随角度的增大（或减小）而减
小（或增大）。
G、课堂小结
通过表格的形式，熟记特殊锐角的三角函数值，并能熟练应用。
H、达标检测
1.计算：
(1)Sin60 -cos45 (2) cos60 +tan60
1
1
1
13
2 3
2
1
(3)sin30 +cos30 (4)sin45 -cos30
(5)tan60 -tan30
2.在△ABC 中，∠A=30°，tanB= 3 ，ＡＣ＝２ 3 ，求ＡＢ.
Ｉ拓展提高
１. 如图，在△ABC 中，Ｄ是ＡＢ的中点，ＤＣ⊥ＡＣ，且 tan∠ＢＣＤ＝
3
1
，
求 SinＡ、cosＡ、tanＡ的值.
锐角三角函数（3）
学习目标
掌握用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的方法。
学习重难点
重点:用计算器求任意一个锐角的三角函数值以及用计算器通过一个锐角的三角
函数值来求出这个锐角的度数。
难点：由角的度数求出它的相应函数值以及由函数值确定角的度数时的按键顺序
的掌握，同时应注意有“度、分、秒”的使用方法。
导学流程
A、情境导入
这节课我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对
应的锐角．
B、明确目标
掌握用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的方法。
C、自主学习
自学课本 91-93 页，记住用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角
的步骤，时间 10 分钟。
B
E
DA
C
D、合作交流
同桌之间讨论求一个锐角余切值的理论根据和操作方法，以及已知一个锐角的余
切值求这个锐角的操作方法。
E、展示反馈
同桌之间互相检查课本中例题的操作过程是否准确，相互指出错误加以改正。
F、精讲点拨
1、求已知锐角的三角函数值
例 2 求 sin63°52′41″的值．（精确到 0．0001）
解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(SETUP) 显示 ．
再按下列顺序依次按键：
显示结果为 0．897859012．
所以 sin63°52′41″≈0．8979．
例 3 求 cot70°45′的值．（精确到 0．0001）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示 ），按下列顺序依次按键：
显示结果为 0．3492156334．
所以 cot70°45′≈0．3492．
2、由锐角三角函数值求锐角
例 5 已知 cotx＝0．1950，求锐角 x．（精确到 1′）
分析 根据
x
x
cot
1tan ，可以求出 tanx 的值，然后根据课本中的例 4 的方法
就可以求出锐角 x的值．
G、课堂小结
用 sin、 cos、tan 键
H、达标检测
用 sin 1 、cos 1 、tan 1 和 键
H、巩固练习
1.用计算器求下列各式的值
（1）sin67°38′24″;(2)tan63°27′;(3)cos18°59′27″.
2.根据下列条件求∠A的度数（用度分秒来表示）：
（1）cos∠A=0.6753;(2)tan∠A=87.54;(3) sin∠A=0.4553.
Ｉ拓展提高
SHIFT MODE 3
D
sin 63 o’” 52 o’”o’” 41 =
tan
D
1 70 o’” 45 o’” =
锐角
锐角三角函数值
SHIFT
一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长 4米，梯子位于地面上的一端离墙壁 2.5 米，
求梯子与地面所成的锐角。
25.2 解直角三角形（1）
学习目标
1. 理解解直角三角形的概念，理解俯角、仰角的概念。
2. 能够解直角三角形。
学习重难点
重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用
难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之
间的关系，从而解决问题．
导学流程
A、情境导入
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等
量关系呢？
B、明确目标
知道什么是解直角三角形，解直角三角形的工具是什么以及怎样应用？
C、自主学习
自学课本 94-96 页，理解解直角三角形的概念，仰角俯角的概念，并能简单的应
用直角三角形的边角关系解决实际问题，时间为 15 分钟。
D、合作交流
看完课本后，自己做完课后练习题，同桌之间相互检查，做错的地方相互讨论指
正。
E、展示反馈
由小组中的一名同学，回答练习题答案，其他同学根据自己的答案指出异同点。
F、精讲点拨
解直角三角形的理论根据：
(1)边角之间关系 sinA=
c
a
cosA=
c
b
tanA=
b
a
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
直角三角形的概念：
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过
程，叫做解直角三角形．
做题步骤：一定要逻辑合理。
例如例 2 如图 25．3．2，东西两炮台 A、B相距 2000 米，同时发现入侵敌舰
C，炮台 A测得敌舰 C在它的南偏东 40°的方向，炮台 B测得敌舰 C在它的正南
方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到 1米）
解 在 Rt△ABC 中，
∵ ∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
AB
BC
＝tan∠CAB，
∴ BC＝AB·tan∠CAB
＝2000×tan50°≈2384（米）．
∵
AC
AB
＝cos50°，
∴ AC＝
50cos
2000
50cos
AB
≈3111（米）．
答： 敌舰与 A、B两炮台的距离分别约为 3111 米和 2384 米．
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1） 已知两条边；
（2） 已知一条边和一个锐角．
即：除直角外的 5个元素（3条边和 2个锐角）只要知道其中的 2个元素（至少
有一个元素是边），就可以求出其余的 3个元素。
G、课堂小结
1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，
就可以求出另三个元素．
2、解决问题要结合图形。
3、将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学
知识解决实际问题．
H、达标检测
1、如图所示，站在离旗杆 BE 底部 10 米处的 D 点，目测旗杆的顶部，视线 AB
与水平线的夹角∠BAC 为 34°，并已知目高 AD 为 1 米．算出旗杆的实际高度.
（精确到 1米）
2、海中有一个小岛 A,该岛四周 10 海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始
在 A 岛南偏西 55°的 B 处,往东行驶 20 海里后到达该岛的南偏西 25°的 C 处.
之后,货轮继续向东航行， 船有无触礁的危险？要解决这个问题,我们可以将其
数学化,如图:
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?
3.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的 40°减至 35°,已知原
楼梯的长度为 4m,调整后的楼梯多占多长一段地面?(结果精确到 0.01m).
I、拓展提高
在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，sinB=
5
3
,D 是 BC 上一点，DE⊥AB 于 E，CD=DE,AC+CD
=9,求 BE、CE 的长。
解直角三角形（2）
学习目标
1、理解坡度、坡角的概念
2、继续巩固解直角三角形的知识，提高学生的应用能力。。
学习重难点
重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用
A
B C D
北
东
A
B
CD
┌
A
B
C
┌
难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之
间的关系，从而解决问题．
导学流程
A、情境导入
分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，回顾仰角
与俯角等概念。在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜
程度，何为倾斜程度呢？
B、明确目标
使学生养成“先画图，再求解”的习惯；灵活运用坡度、坡角在实际问题情境下
的应用，以及熟练应用直角三角形的边角关系。
C、自主学习
自学课本 97-98 页，理解坡度、坡角的概念，并能熟练应用于实际问题中，时间
为 10 分钟。
D、合作交流
看完课本后，对于课本中的例 4，有不懂的地方，同桌之间交流，再解决不了得
地方小组讨论解决，然后自己做完课后练习题，同桌之间相互检查，做错的地方
相互讨论指正。
E、展示反馈
由小组中的一名同学，回答练习题答案，其他同学根据自己的答案指出异同点。
F、精讲点拨
内容总结
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的
比值。
坡角与坡度之间的关系是：i＝
l
h
=tan a。
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
方法归纳
在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，
再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
G、课堂小结
坡度、坡角的的概念，坡度与坡角的关系，以及它们在实际问题中的实际应
用。
H、达标检测
1、如图，有一斜坡 AB 长 40m，坡顶离地面的高度为 20m,求此斜坡的倾斜角.
2.如图,水库大坝的截面是梯形 ABCD,坝顶 AD=6m,坡长 CD=8m.坡底 BC=30m,∠
ADC=135°.
(1)求坡角∠ABC 的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
A
B C
D
I、 拓展提高
3.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的 1:2 改成 1:2.5,
已知原背水坡长 BD=13.4 米, 求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后
的背水坡的坡角 ； (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到 0.01)
25.3 测量
一、学习目标
1、复习巩固相似三角形的知识。
2、掌握测量方法。
二、教学重点难点
3、重点：掌握测量方法。
4、难点：理解并掌握测量方法。
三、导学流程
A、情境导入
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道
2.0
1:2.5 1:2
B
C
A
D
E F
操场旗杆有多高？你有哪些可行的方法？
B、明确目标
能够根据所学的旧知识，总结出测量方法，写出具体的测量过程和计算过程，画
出相应的几何图形。
C、自主学习
带着情境导入中的问题，看课本 86-87 页，看完后自己总结出测量方法，方法尽
可能全，画出相应的几何图形，写出测量过程和计算过程，时间为 7分钟。
D、合作交流
将自己预习的结果，和同桌交流，特别是测量方法是否全面，几何图形画的是否
准确，测量步骤是否合理，计算过程是否准确，相互指出错误，彼此改正。如果
同桌意见不统一，可进行小组交流，将争执点拿到小组内讨论，组织出自己认为
较准确的答案。
E、展示反馈
由各个小组推荐一名成员回答问题结果，全班同学认真听完后，找出自己比较认
同的结果。
F、精讲点拨
根据所学的知识可利用相似三角形的知识来解决这个问题．
方法一：站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长
度，再根据你的身高，便可以利用△ABC∽△A′B′C′计算出旗杆 BC 的高度．如
图
这种方法可以理解为在同一时刻物高和影长成比例。
方法二：如果就你一个人，又遇上阴天，还是利用相似三角形的知识．如图
如图 25．1．2 所示，站在离旗杆 BE 底部 10 米处的 D点，目测旗杆的顶部，视
线 AB 与水平线的夹角∠BAC 为 34°，并已知目高 AD 为 1.5 米．现在若按 1∶500
的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上 B′C′的
长度，再乘以 500，得到 BC 的长，再加上 AD 的长，便可以算出旗杆的实际高度．这
种方法的关键是利用比例尺=
实际距离
图上距离
。
我们利用图 25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问
题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所
满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究
的内容
G、课堂小结
H、达标检测
1.某建筑物在地面的影长为 36 米，同时高为 1.2 米的侧杆影长为 2米，那么该
建筑物的高为-----米。
2.垂直于地面的竹竿的影长为 12 米，其顶端到期影子顶端的距离为 13 米，如果
此时测得某小树的影长为 6米，则树高---------米。
3、如图，小明在地面上放置了一个平面镜 E来测量铁塔 AB 的高度，镜子与铁塔
的距离 EB=20 米，镜子于小明的距离 ED=2 米，小明刚好从镜中看到铁塔的顶端
A。已知小明眼睛的高度 CD=1.5 米，则铁塔 AB 的高度是---------。
4． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面 1米，阵风吹来，红莲被风吹到
一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2米，问这里水深多少？
测量
利用太阳光
利用比例尺
C
D E
A
B
5．在一棵树的 10 米高 B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池
塘 A处．另一只爬到树顶 D后直接跃到 A处，距离以直线计算，如果两只猴子所
经过的距离相等，求这棵树的高度．
J、拓展提高
6.在河的两岸有对应的 A、B两点，请你利用相似三角形的知识设计一个方案测
量并求出 AB 的距离。并说明理由。
单元测试题
一、耐心填一填：
1.在△ABC中,如果∠C=90°,∠A=45°,那么tanA+sinB=________; △ABC 为
____对称图形(填“轴”或“中心”).
2.某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°, 此时飞机与该
地面控制点之间的距离是______米.
3.在△ABC中,∠C为直角,若3AC= 3 BC,则∠A的度数是_____,cosB的值是___.
4.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿AD对折,点C落在C′处, 则
BC′与BC之间的数量关系是_______.
C'
D CB
A
a E
D
CB
A
D
C
BA
5.sin60°·cos30°+sin245°=_________.
6.如图,矩形ABCD(AD>AB)中AB=a,∠BDA=θ,作AE交BD于E,且AE=AB,试用a与θ
表示:AD=______,BE=_______.
7.求值:
1
2
sin60°×
2
2
cos45°=__________.
8.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=
5
13
,则sinB=________.
9.如果∠A是锐角,cosA=0.618,那么sin(90°-A)的值为________.
10.若tanα+cotα=3, α为锐角,则tan
2
α+cot
2
α=_______.
二、精心选一选：
11.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BC=3,AC=4,设∠BCD=α,则 tanα
的值为( )
A.
3
4
; B.
4
3
; C.
3
5
; D.
4
5
12.若α是锐角,sinα=cos50°,则α的值为( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
13.令a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,则它们之间的大小关系是( )
A.c500,不改变方向,输水线路不穿过居民区.
23.圆半径为9.7>9,没有危险
24.v=23.09,超过 22 米限制.
第 26 章 随机事件的概率导学案
26、1、1 什么是概率
学习目标：
知识与技能目标： 1．能在简单的问题中预测事件的概率．
D
CBB
E
A
2．知道所求具体问题概率的意思．
过程与方法目标： 通过活动，感受数学与现实生活的联系;提高用数学知识来
决问题的能力.
情感与态度目标： 通过对概率问题的探索，使学生体会概率在现实生活中的广
泛应用，使学生更好地认识世界，并形成自己的看法，促进
形成正确的世界观及辩证唯物主义的观点
学习重点难点：
学习重点：对概率定义的理解和简单事件的概率的计算。
学习难点：用概率对事件进行认识。
导学流程：
情景导入：
问题：
（1）如果天气预报说：“明日降水的概率是 80%，那么你会带雨具吗？”
（2）有两个工厂生产同一型号足球，甲厂产品的次品率为 0.001，乙厂产
品的次品率是 0.01．若两厂的产品在价格等其他方面的条件都相同，你愿意
买哪个厂的产品？
自主学习：一、自学课本 106 页至 108 页内容，大约用五分钟时间，完成以下学
习任务：
（1）掌握概率的定义，
（2）学习课本中表 26.1.1，并把表格补充完整。
（3）如何从频率的角度解释某一具体的概率值？
（4）除实验外我们还可以用什么方法求概率？
合作交流：在自学的基础上，跟同桌交流书中所有问题的答案，答案不统一的，
前后桌的同学再讨论后统一答案。
精讲点拨：（ 1 ） P(关注的结果)=
个数所有机会均等的结果的
关注的结果个数
( 2 ) 实验频率跟理论概率是统一的。
练习达标：（分层练习）
A组
1．掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：
P（掷得点数是 6） =________ ；
P（掷得点数小于 7）= _________ ；
P（掷得点数为 5或 3）= _________ ；
P（掷得点数大于 6）= ___________ .
2．甲产品合格率为 98 ,乙产品的合格率为 80 ，你认为买哪一种产品更可靠？
3.阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动
的中奖率为百分之百？为什么？
4.从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张·
P（抽到红心） = ________ P（抽到黑桃） = _______
P（抽到红心 3）= ________ P 抽到 5）= __________
5.有 5 张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有 1，2，2，3，4·现将
它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则：
P（摸到 1号卡片）= _______ P（摸到 2号卡片）= ________
P（摸到 3号卡片）= _______ P（摸到 4号卡片）= ________
6. 任意翻一下日历，翻出 1月 6日的概率为________.翻出 4月 31 日的概率为
________.
B 组
1. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购
买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会·如果转盘停止后，指针正好对
准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券（转
盘被等分成 20 个扇形）·甲顾客购物 120 元，他获得购物券的概率是多少？他得
到 100 元、50 元、20 元购物券的概率分别是多少？
2．中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏,游
戏设置了如图所示的翻奖牌，如果只能在 9个数字中选中一个翻牌，试求以下事
件的概率（1）得到书籍；（2）得到奖励；（3）什么奖励也没有
C组
1. 用 4 个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
（1）使摸到白球的概率为
2
1
，摸到红球的概率为
2
1
（2）使摸到白球的概率为
2
1
，摸到红球和黄球的概率都是
4
1
.
你能用 8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？
课堂小结: 1、概率的概念 2、怎样预测简单事件的概率 （由学生小结）
达标测评：
（1）班级里有 15 个女同学，27 个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一
1 2 3
4 5 6
7 8 9
奖牌正面
一架显
微镜
一套丛
书
谢谢参
与
一张唱
片
两张球
票
一本小
说
一个随
身听
一副球
拍
一套文
具
奖牌反面
张小纸条上，放入一个盒中搅匀．
①如果班长闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么每个同学被抽中的可能
性是多少？男同学被抽中的可能性是多少？女同学被抽中的可能性是多少？
②如果班长已经抽出了 6张纸条──2个女同学、4个男同学，他把这 6 张
纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第 7张纸条，那么这时余下
的每个同学被抽中的可能性是多少？男同学被抽中的可能性是多少？女同学被
抽中的可能性是多少？
（2）在分别写有 1～20 的 20 张小卡片中，随机地抽出 1张卡片，试求以
下事件的概率．
①该卡片上的数字是 5的倍数； ②该卡片上的数字不是 5的倍数；
③该卡片上的数字是素数； ④该卡片上的数字不是素数．
（3）抛掷一枚普通的硬币三次，有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面，
再掷出一个反面的机会是一样大吗？
拓展提高：1、李琳的妈妈在李琳上学时总是叮咛她：“注意，别被来往的车辆碰
着”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有 300 万人口，每天的交通事故只有几十
件，事件发生的可能性太小，概率为 0。”你认为她的想法对不对？
2、甲、乙两人进行掷骰子游戏，甲的骰子六个面有两个面是红色，其余面
是黄、蓝、白、黑；乙的骰子六个面中，分别是红、黄、蓝、白、黑、紫，规则
是各自掷自己的骰子，红色向上的得 2 分，其他各色向上都是 1 分，共进行 10
次，得分高的胜，你认为这个规则公平吗？
布置作业:课本第 115 页习题 2、3、4
26、1、2 在复杂情况下列举所有机会均等的结果
学习目标：
知识与能力目标：能在复杂情况下，用画树状图法或列表法预测事件的概率。
过程与方法目标：通过预测概率解决实际问题，知道概率与我们的实际生活紧密
相关。
情感与态度目标：通过对实际问题中概率的探索，学会用辩证唯物主义的观点认
识客观世界。
学习重点难点：
重点：用树状图法、列表法预测事件的概率。
难点：用概率分析事件。
导学流程：
情境导入：
1、什么是概率？
（表示一个事件发生的可能性大小的数）
2、你是如何计算一类事件发生的概率。
（要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；要清楚所有机会均等的结果；
这两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率。）
3、一副象棋，正面朝下，任意取其中一只，取到“马”的概率是多少？
[Ｐ（取到“马” ）=
1
8
]
探究学习：画树状图预测概率
一、自主学习：自学课本 111—113 页内容，大约用 5分钟时间，解决课本上与
例 4有关的问题，会用树状图预测概率，从而比较事件发生概率的大小。
二、合作探究：在自主学习的基础上，前后桌四个人一组交流问题的答案，讨论
有不同看法的问题，再跟老师交流。
三、精讲点拨：教师征集小组合作中不能解决的问题，之后强调：
①利用树状图,可以比较方便地求出某些比较复杂事件发生的概率.从上而下每
一条路径就是一种可能的结果，总频数就是最后一行的频数,就是前面每次出现
的频数之积(2×4=8).
②例 4 中“先两个正面再一个反面”是有先后顺序的，不同于“两个正面一个
反面”。
③问题 2思考部分告诉我们画树状图时要画出一样粗细的“树枝”，否则预测的
概率就不正确了。
探究学习：用列表法预测概率
一、自主学习：自学课本 113 页—114 页问题 3，大约用 3 分钟时间，然后四个
人一组交流。
二、精讲点拨：老师点拨：用画树状图预测概率比较麻烦时，可以用列表法预测
概率。
课堂小结：（学生小结后教师概括）初中阶段预测事件的概率的两种方法：
1、画树状图预测概率 2、列表法预测概率
达标测评
1、同时投掷两枚正四面体骰子，下列事件出现的概率相等吗？
（1）所得点数之差的绝对值恰为偶数；
（2）所得点数之差的绝对值恰为奇数；
（3）所得点数之差的绝对值恰为质数。
2、在九九乘法表的运算结果中随意抽取一个，将下列事件出现的概率从小到大
排序：（1）恰为偶数；（2）恰为奇数；（3）小于 10；（4）大于 100；（5）末尾是
0；（6）3的倍数。
3、在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的 3个小球，其中一个红色球、
两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后再放回，第二次再从袋中摸出一
个，那么两次都摸到黄色球的概率是 _____.(要求画树状图解答)
4、在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的 3个小球，其中一个红色球、
两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出
一个，那么两次都摸到黄色球的概率是 _____.(要求画树状图解答)
5、有两副手套，形状、大小，完全相同，只有颜色不同。黑暗中，任意抽出两
只配成一双的概率是多少？
拓展提高：
1、已知函数 y = x – 5,令 x =
2
1
，1，
2
3
，2，
2
5
，3，
2
7
，4，
2
9
，5 可得到
函数图像上的十个点。在这十个点中随即取两个点 P（x 1,y 1）,Q（x 2 ,y 2 ），则
P,Q 两点在同一反比例函数图像上的概率是（ ）
A
9
1
B
45
4
C
45
7
D
5
2
2、一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相
同），其中红球有 2个，黄球有 1个，从中任意摸出 1球是红球的概率是
2
1
。
（1）、试求袋中绿球的个数；
（2）、第 1 次从袋中任意摸出 1 球（不放回），第 2次再任意摸出一球，请你用
树状图或列表的方法，求两次都摸到红球的概率。
布置作业：课本 115 页习题 2，3，7
26、2、1 用替代物做模拟实验
学习目标：
知识与技能目标
1、学会应用替代物进行模拟实验的方法
2、理解用替代物模拟实验的思想
过程与方法目标
1、通过实际例子的考查，明白用替代物做模拟实验的条件和方法；
2、通过练习，加深对模拟实验的认识。
情感与态度目标
1、通过学习模拟实验，感受数学中的转化思想；
2、通过动手操作实验，提高学习的主动性和灵活性。
学习重点与难点：
重点：体会用替代物模拟实验的实际意义和实验方法；
难点：怎么样选择替代物、如何展开实验探索。
导学流程
情境导入
一、教师引导学生回顾预测概率的方法。
二、提出问题：在前面的实验中，我们都有现在的实物作为实验工具，但是如果
用实物进行实验有困难，或者有时手边恰好没有相应的实物怎么办？例如：
（1）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，没有硬币，怎么办？
（2）在“抛一枚均匀骰子”的实验中，没有骰子，怎么办？
（3）抽屉里有尺码相同的 3 双袜子和两双黑袜子放在一起，在夜晚不开灯
的情况下，随意拿出 2只，估计它们恰好是一双的可能性多大？如果手边没有袜
子应该怎么办？
自主学习：学生带着问题自学课本 117 页—119 页内容，思考课本中提到的有关
问题，大约用 5分钟时间。
合作交流一：
对于问题 1，给学生充分思考和讨论的时间，然后让学生充分发表其思考和讨论
的结果，再填充表 26、2、1.
学生积极思考，分组交流合作完成后，教师归纳学生的答案并进行总结。
精讲点拨一：
（1）在“抛掷一枚均匀硬币”的实验中，如果没有硬币，可以用扑克牌，“黑桃”
代表“正面”，“红桃”代表“反面”，等等。
（2）在“投掷一颗均匀骰子”的实验中，如果没有骰子，可以用六个不同颜色
的球各自代表“1” “2” “3” “4” “5” “6”，等等。
（3）抽屉里有尺码相同的三双黑袜子和一双白袜子，混在一起，在夜晚不开灯
的情况下，你随意拿出 2只，要用实验估计它们恰好是一双的概率，可以用“新
版 1元的硬币”代表“黑袜子”， “旧版 1元的硬币”代表“白袜子”，等等。
由此可见，用替代物模拟实验所要找的替代物与原来要求的工具要有相同的
性质或属性，从而才不会影响实验结果。
合作交流二：课本 118 页“思考”部分，在学生认真独立思考后，小组讨论完成。
教师鼓励学生积极思考，并对小组讨论得到的答案进行肯定评价，再归纳总结。
精讲点拨二：
（1）摸出了 2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果.
（2）如果不小心把颜色弄错了，用 2个黑球和 6个白球进行试验，结果一样，
只是摸出一双白袜子和摸出一双黑袜子的概率调换了.
用替代物做模拟实验时要注意实验在相同条件下进行。
课堂小结：引导学生回顾怎么用替代物做模拟实验。
达标测评：
1、你认为下面的替代物合理吗？不合理说明理由并提出一个新的合理的替代方
法。
（1） 抽屉中有大小相同的 2副白手套和 1副黑手套，在黑暗中摸出 2只为一副
的可能性有多大？
替代物和方法：
把 2双白袜子和 1双黑袜子放到一个不透明的袋子中，闭上眼睛摸出 2只。
（2） 用一枚硬币抛掷后正面朝上的机会来代替从一个不透明的袋子中的 2 个
红球、2个黑球中摸出一个红球的机会。
2、一只箱子里共有 3个球，其中 2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。
(1)、从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）、从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两
次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图。
拓展提高：
1、不透明的袋子中，装有红.黄.蓝三种颜色的小球若干个（出颜色外，其余都
相同），其中，红球两个（分别标有 1.2 号），蓝球一个。若从中任意摸出一个球，
它是蓝球的概率为
4
1
。
（1） 球袋中黄球的个数；
（2） 第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图
或列表格的方法求两次，摸到不同颜色的球的概率。
2、（2008 年 嘉兴）A、B、C、D四张卡片上分别写有-2， 3 ，
7
5
， 四个实数，
从中任取两张卡片。
（1）、请列举出所有可能的结果（用 A、B、C、D表示）；
（2）、求取到的两个数都是无理数的概率。
布置作业：课本第 123 页习题 26、2 的第 1、3、4题
26、2、2 用计算器模拟实验
学习目标：
知识与技能目标
1、学会应用计算器进行模拟实验的方法
2、理解用计算器模拟实验的思想
过程与方法目标
3、通过实际例子的考查，明白用计算器做模拟实验的条件和方法；
4、通过练习，加深对模拟实验的认识。
情感与态度目标
5、通过学习模拟实验，感受数学中的转化思想；
6、通过动手操作实验，提高学习的主动性和灵活性。
7、通过合作探究，培养合作学习意识。
学习重点与难点：
重点：体会用计算器模拟实验的实际意义和实验方法；
难点：灵活的应用计算器做模拟实验解决实际问题。
导学流程：
情境导入
1、引导学生回忆：用替代物模拟实验要满足什么条件？
2、在我们用实验来估计机会的过程中，有的实验可能找不到相应的实物模拟，
如彩票。当我们看着满大街各种彩票火热售卖中的时候，可曾想过要试试手
气？我们一起学习计算器模拟实验来探索彩票中的数学问题。
探究学习问题 2 ：用计算器做模拟实验
1、小组讨论：有哪些工具可以用来模拟实验？通过比较得出用计算器产生随机
数比较便捷。
2、自主学习：自学课本 119 页到 121 页的问题 2 的“思考”部分，大约用 5 分
钟时间。
3、合作交流：在自主学习的基础上，小组共同完成课本 120 页表 26、2、2。
精讲点拨：教师对学生的答案进行肯定并总结：利用计算器帮助我们产生随机数
时，关键在与确定所需要的数的范围，如果我们需要在 1—300 的范围产生随机
数，那么只需将课本例子中的第一步（3）的 35 改为 300 即可
探究学习问题 3：
1、自主学习：学生独立完成课本 121 页到 122 页的问题 3，大约用 5分钟时间。
2、合作交流：在自主学习的基础上，小组合作交流完成表 26、2、3 及相应的填
空题，学生分组合作完成，教师鼓励学生作答。
3、精讲点拨：该实验平均每 9次有 3次双方不分胜负，经过 18 次实验，估计这
个概率是
3
1
，这个估计值与树状图分析得到的概率值相等。
课堂小结：引导学生回顾怎么用计算器做模拟实验。
达标测评：
1 、 在一副洗好的 52 张扑克牌中（没有大小王），闭上眼睛，随机地抽出一
张牌，求下面这些事件的概率．
（1） 它是 10；
（2） 它是方块 10；
（3） 它是红桃；
（4） 它是黑色的（黑桃或梅花）．
2、盒子里装有 2个红球和 2个黑球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀再摸出
第二个球，求下列事件发生的概率： 取出的恰是（1） 两个黑球；（2） 两个
红球；（3） 一红一黑；（4） 一红一白．
拓展提高：
1、 垃圾可分为： 有机垃圾、无机垃圾与有害垃圾共三类．为了有效地保护
环境，要将日常生活中产生的垃圾进行分类投放．这天，小明把垃圾分装在三个
袋中，可他在投放时有些粗心，每袋垃圾都放错了位置．请你列出小明投放垃圾
的所有可能情况．
2、 下列问题中，所分成的一些事件发生的机会均等吗？若不均等，请你设法
将它们重新分类，变成发生机会均等的事件．
（1） 抛掷两枚普通硬币时，分成“没有正面”、“有一个正面”和“有两个正
面”这三个事件；
（2） 投掷两枚普通正四面体骰子时，分成“两数之积为奇数”和“两数之积为
偶数”这两个事件．
布置作业：课本第 123 页习题 26、2 第 2、5 题
单元过关检测
一、选择
1、下列事件中，必然事件是（ ）
A、抛掷一个均匀的骰子，出现 6点向上
B、两直线被第三条直线所截，同位角相等
C、366 人中至少有 2人的生日相同
D、实数的绝对值是非负数
2、随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ）
A、 1 B、
2
1
C、
3
1
D、
4
1
3、在 0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的
概率为（ ）
A、
4
1
B、
6
1
C、
2
1
D、
4
3
4、在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋
中装有 4个红球且摸到红球的概率为
3
1
，那么口袋中球的总数为（ ）个。
A、12 B、9 C、6 D、3
5、将三粒均匀的分别标有 1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的
数字分别为 a,b,c,则 a,b,c,正好是直角三角形三边长的概率是（ ）
A、
216
1
B、
72
1
C、
36
1
D、
12
1
6、三人站成一排，通过实验可得，甲站在中间的概率是（ ）
A、
6
1
B、
3
1
C、
2
1
D、
4
1
二、填空、
1、在掷骰子的实验中，掷出“6”点的概率是______；掷出 6 点以下的概率是
_______；两种概率的和是____________。
2、从均匀装有 5个白球，10 个红球，15 个黑球的袋子中，任意取出一个球，估
计取出的球是白球的概率是________。
3、将从 1到 9这九个数字分别写在九张纸上，将这九张纸洗均匀后从中任意抽
出一张，估计它是偶数的概率是_________。
4、准备 50 张小卡片，上面分别写好 1 到 50，然后将卡片放在袋里搅匀，每次
从袋中抽出一张卡片，然后放回搅匀再抽，研究恰好是 12 的倍数的机会。若用
计算器模拟实验，则要在_________到_________范围内产生随机数，若产生的随
机数是__________,则代表“抽出的是 12 的倍数”，否则就不是。
三、解答题
1、十字路口有红、黄、绿三种信号灯，一人骑自行车连续通过两个十字路口，
问：
(1 )、两次都遇上红灯的概率是多少？
（2）、一次遇上红灯，一次遇上绿灯的概率是多少？
参考答案
26.1.1
达标练习
A组
1、
6
1
；1；
3
1
；0 2、甲 3、不能。4、
4
1
；
4
1
；
52
1
；
13
1
5、
5
1
；
5
2
；
5
1
；
5
1
。 6、
365
1
；0
B 组
1、
2、
9
2
；
9
8
；
9
1
C 组
1、（1）2个白球 2个红球；
（2）2个白球 1个红球 1个黄球。
4个白球 4个红球；4个白球 2个红球 2个黄球。
达标测评：
（1）①
1 9 5, ,
42 14 14
②
1 23 13, ,
36 36 36
（2）①
1
5
②
4
5
③
2
5
④
3
5
（3）是。
拓展提高
1、李琳的想法不对；
2、不公平，红色向上概率对于甲骰子
3
1
，而其他色向上的概率是
1
6
。
2、一个密码锁有三个拨盘，每个拨盘上有 0到 9的十个数，开锁时要在每个拨
盘上拨出一个数字，若遇到特定的 3位数重合就能开锁，问任意一个 3位数字正
巧把锁打开的可能性有多大？
26.1.2
达标测评
1、事件（1）、（2）出现的概率相等，事件（3）出现的概率最小。
2、概率从小到大排序为：事件（4），事件（5），事件（3），事件（2），事件（6），
事件（1）。
3、
9
4
4、
3
1
5、
3
1
拓展提高
1、B
2、(1)x=1. (2)
6
1
26.2.1
达标测评
1、（1）不合理(2 )合理 2（1）
3
2
(2 )
3
1
拓展提高
1、（1）1(2 )
6
5
2、（1）A、B；A、C；A、D；B、C；B、D；C、D。(2 )
6
1
26.2.2
达标测评
1、（1）
26
5
(2 )
52
1
（3）
4
1
（4）
2
1
2、（1）
4
1
(2 )
4
1
（3）
2
1
（4）0
拓展提高
1、考虑到垃圾不能放入相应的垃圾箱，且已投放的垃圾不可能再次投放，可知
只有以下两种情况：
有机垃圾箱放无机垃圾，无机垃圾箱放有害垃圾，有害垃圾箱放有机垃圾；有机
垃圾箱放有害垃圾，无机垃圾箱放有机垃圾，有害垃圾箱放无机垃圾。
2（1）两个正面，两个反面，一正一反。
（2）两数之和为奇数，两数之和为偶数。
单元测试题：
一、1、D 2、D 3、B 4、 A 5、B 6、B
二、1、
6
1
，
6
5
， 1
2、
6
1
3、
9
4
4、1 50 12 24 36 48
三、1（1）
9
1
（2）
9
2
2、
729
1
九年级上学期数学教学计划
九年级时间非常紧张，既要完成新课的教学任务，又要考虑到在九年级下册
时对初中阶段整个数学知识进行全面、系统的复习。所以在制定九年级的教学计
划时，一定要注意时间的安排，同时把握好教学进度。
一、学情分析
九（2）班是由原八（2）班直接升级而成的班级。通过对上期末检测分析，发现本班
学生成绩较为均衡，但是高分并不是很高，低分人数不过，但是处于中间层次的学生人数居
多。一方面，平时对数学比较感兴趣的学生基础题还可以，但是在解题思路和技巧方面还是
存在问题，几个比较优秀的学生解题熟练度还可以，一份试卷基本上一个小时能做完。另一
方面是出于中层的学生知识点都能理解，但是平时做少了，不够熟练，考试的时候出现一些
不必要的错误，一方面是平时成绩比较突出的学生基本上掌握了学习的数学的方
法和技巧，对学习数学兴趣浓厚。另一方面是相当部分学生因为各种原因，数学
已经落后很远，基本丧失了学习数学的兴趣。从上个学期期末测试就可以看出来，
优秀率达到了 25%，但及格率下降到 70%，特别是不及格的学生中，大部分学生
的成绩在 70 分以下。
二、指导思想
坚持贯彻党的十八大教育方针，以《初中数学新课程标准》为准绳，继续深
入开展新课程教学改革。以提高学生中考成绩为出发点，注重培养学生的基础知
识和基本技能，提高学生解题答题的能力。同时通过本学期的课堂教学，完成九
年级上册数学教学任务。并根据实际情况，适当完成九年级下册新授教学内容。
三、教学目标
知识技能目标：掌握二次根式的概念、性质及计算；会解一元二次方程；理
解旋转的基本性质；掌握圆及与圆有关的概念、性质；理解概率在生活中的应用。
过程方法目标：培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力，发展学生合情推理
能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力，提高知识综合应用能力。态度情感目
标：进一步感受数学与日常生活密不可分的联系，同时对学生进行辩证唯物主义
世界观教育。
四、教材分析
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法
解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方
程的思路及具体方法。本章的难点是解一元二次方程。
第二十二章 本章主要是掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数的一般式，顶点
式和交点式的表达形式，能熟练掌握求二次函数解析式的基本方法，能应用二次函数解决实
际问题。本章重点是理解二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想解决与函数相关的实
际问题。本章的难点是二次函数图像和性质的理解和运用，数形结合的思想以及如何建立二
次函数模型。
第二十三章 旋转：本章主要是探索和理解旋转的性质，能够按要求作出简
单平面图形旋转后的图形。本章的重点是中心对称的概念、性质与作图。本章的
难点是辨认中心对称图形，按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
第二十四章 圆：理解圆及有关概念，掌握弧、弦、圆心角的关系，探索点
与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，探索圆周角与圆心角的关系，直径所
对圆周角的特点，切线与过切点的半径之间的关系，正多边形与圆的关系。
第二十五章 概率初步：理解概率的意义及其在生活中的广泛应用。本章的
重点是理解概率的意义和应用，掌握概率的计算方法。本章的难点是会用列举法
求随机事件的概率。
五、本学期提高质量的措施
1、认真学习钻研新课标，掌握教材。
2、认真备课，争取充分掌握学生动态。
3、认真上好每一堂课。
4、落实每一堂课后辅助，查漏补缺。
5、积极与其它老师沟通，加强教研教改，提高教学水平。
6、复习阶段多让学生动脑、动手，通过各种习题、综合试题和模拟试题的训练，
使学生逐步熟悉各知识点，并能熟练运用。
7、教学过程中尽量采取多鼓励、多引导、少批评的教育方法。
8、教学速度以适应大多数学生为主，尽量兼顾后进生，注重整体推进。
9、新课教学中涉及到旧知识时，对其作相应的复习回顾。
10、复习阶段多让学生动脑、动手，通过各种习题、综合试题和模拟试题的训练，
使学生逐步熟悉各知识点，并能熟练运用。
六、课时安排
章节 课时 教学起止时间
第 21 章 一元二次方程 13 第 1 周～第 3周
第 22 章 二次函数 15 第 4 周～第 6周
第 23 章 旋转 8 第七周～第九周
期中复习 第十周
第 24 章 圆 11 第十一周～第十五周
第 25 章 概率初步 10 第十六周～第十八周
期末总复习 第十九周～期末结束
九年级上数学教学计划
【学情分析】
通过对上期末检测分析，发现本班学生存在很严重的两极分化。一方面是平时成绩比较
突出的学生基本上掌握了学习的数学的方法和技巧，对学习数学兴趣浓厚。另一方面是相当
部分学生因为各种原因，数学已经落后很远，基本丧失了学习数学的兴趣。从上个学期期末
测试就可以看出来，优秀率达到了 25%，但及格率下降到 54%，特别是不及格的学生中，
大部分学生的成绩在 50 分以下。
【指导思想】
坚决贯彻党的教育方针，以《初中数学新课程标准》为准绳，以我校“三维互助导学案”
为依托，继续深入全面开展新课程教学改革。以提高学生中考成绩为出发点，注重培养学生
的基础知识和基本技能，提高学生解题答题的能力。同时通过本学期的课堂教学，完成九年
级上册数学教学任务。并根据实际情况，适当完成九年级下册新授教学内容。
【教学目标】
知识技能目标：理解二次函数的概念性质，掌握二次函数的解析式及求法；会解一元二
次方程；理解旋转的基本性质；掌握圆及与圆有关的概念、性质；理解概率在生活中的应用。
过程方法目标：培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力，发展学生合情推理能力、逻辑
推理能力和推理认证表达能力，提高知识综合应用能力。态度情感目标：进一步感受数学与
日常生活密不可分的联系，同时对学生进行辩证唯物主义世界观教育。
【教材分析】
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次
方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
本章的难点是解一元二次方程。
第二十二章 二次函数：理解二次函数的概念性质，掌握二次函数的解析式及求法，运用二
次函数解决实际问题，学会运用数形结合的思想解题，突出函数的应用。
第二十三章 旋转：本章主要是探索和理解旋转的性质，能够按要求作出简单平面图形旋转
后的图形。本章的重点是中心对称的概念、性质与作图。本章的难点是辨认中心对称图形，
按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
第二十四章 圆：理解圆及有关概念，掌握弧、弦、圆心角的关系，探索点与圆、直线与圆、
圆与圆之间的位置关系，探索圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特点，切线与过切
点的半径之间的关系，正多边形与圆的关系。
第二十五章 概率初步：理解概率的意义及其在生活中的广泛应用。本章的重点是理解
概率的意义和应用，掌握概率的计算方法。本章的难点是会用列举法求随机事件的概率。
【本学期提高质量的措施】
1、认真学习钻研新课标，掌握教材。
2、认真备课，上好每一堂课,争取充分掌握学生动态,并落实每一堂课后辅助，查漏补缺。
3、积极与其它老师沟通，加强教研教改，提高教学水平。
4、教学中坚持教学上要分层，管理上要分类，分层检查，不搞一刀切。
5、复习阶段多让学生动脑、动手，通过各种习题、综合试题训练，使学生逐步熟悉各知识
点，并能熟练运用。
6、教学过程中尽量采取多鼓励、多引导、少批评的教育方法。
7、教学速度以适应大多数学生为主，尽量兼顾后进生，注重整体推进。
8、新课教学中涉及到旧知识时，对其作相应的复习回顾。
【教学进度】
周 次 时 间 教学内容
第一周
8月 25 日----8月 31 日
21.2.4 一元二次方程根与系数之间的关系
第二周
9月 1 日----9 月 7 日
21.3 实际问题与一元二次方程、单元复习
第三周
9月 8 日----9 月 14 日
22.1.1 二次函数、二次函数 y＝ax2 的图象、二次函
数 khxay 2
的图象（一）
第四周
9月 15 日----9月 21 日 二次函数 khxay 2
的图象（二）、（三）、（四）
第五周
9月 22 日----9月 28 日
22.1.4 二次函数
2y ax bx c 的图象、22.1.5 用待
定系数法求二次函数的解析式
第六周
9月 29 日----10 月 5 日
22.2.1 用函数的观点看一元二次方程、 实际问题与
二次函数（1）、（2）、（3）
第七周
10 月 6 日----10 月 12 日
单元复习、23.1 图形的旋转
第八周
10 月 13 日----10 月 19 日
23.2 中心对称图、23.3 图案设计
第九周
10 月 20 日----10 月 26 日
单元复习 期中复习
第十周
10 月 27 日----11 月 2 日
期中复习 期中考试
第十一周
11 月 3 日----11 月 9 日
24.1 圆的有关性质
第十二周
11 月 10 日----11 月 16 日
24.2.1 点和圆的位置关系、24.2.2 直线和圆的位置关
系
第十三周
11 月 17 日----11 月 23 日
24.2.3 圆和圆的位置关系、24.3 正多边形和园
第十四周
11 月 24 日----11 月 30 日
24.4 弧长和扇形面积、单元复习
第十五周
12 月 1 日----12 月 7 日
25.1 随机事件与概率、25.2 用列举法求概率
第十六周
12 月 8 日----12 月 14 日
25.2 用列举法求概率、25.3 用频率估计概率、单元复
习
第十七周 12 月 15 日----12 月 21 日
26.1 反比例函数的意义、26.2 反比例函数的图象和性
质
第十八周
12 月 22 日----12 月 28 日
26.3 实际问题与反比例函数、单元复习
第十九周
12 月 29 日----1 月 4 日
期末复习 预计期末考试
第二十周 1月 5 日----1 月 11 日 期末考试
新人教版九年级上数学教学计划
九年级时间非常紧张，既要完成新课的教学任务，又要考虑到在九年级下册
时对初中阶段整个数学知识进行全面、系统的复习。所以在制定九年级的教学计
划时，一定要注意时间的安排，同时把握好教学进度。
【学情分析】
通过对上期末检测分析，发现本班学生存在很严重的两极分化。一方面
是平时成绩比较突出的学生基本上掌握了学习的数学的方法和技巧，对学习数学
兴趣浓厚。另一方面是相当部分学生因为各种原因，数学已经落后很远，基本丧
失了学习数学的兴趣。从上个学期期末测试就可以看出来，优秀率达到了 25%，
但及格率下降到 60%，特别是不及格的学生中，大部分学生的成绩在 50 分以下。
【指导思想】
坚决贯彻党的教育方针，以《初中数学新课程标准》为准绳，继续深入
开展新课程教学改革。以提高学生中考成绩为出发点，注重培养学生的基础知识
和基本技能，提高学生解题答题的能力。同时通过本学期的课堂教学，完成九年
级上册数学教学任务。并根据实际情况，适当完成九年级下册新授教学内容。
【教学目标】
知识技能目标：理解二次函数的概念性质，掌握二次函数的解析式及求
法；会解一元二次方程；理解旋转的基本性质；掌握圆及与圆有关的概念、性质；
理解概率在生活中的应用。过程方法目标：培养学生的观察、探究、推理、归纳
的能力，发展学生合情推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力，提高知识
综合应用能力。态度情感目标：进一步感受数学与日常生活密不可分的联系，同
时对学生进行辩证唯物主义世界观教育。
【教材分析】
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法
解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方
程的思路及具体方法。本章的难点是解一元二次方程。
第二十二章 二次函数：理解二次函数的概念性质，掌握二次函数的解析式
及求法，运用二次函数解决实际问题，学会运用数形结合的思想解题，突出函数
的应用。
第二十三章 旋转：本章主要是探索和理解旋转的性质，能够按要求作出简
单平面图形旋转后的图形。本章的重点是中心对称的概念、性质与作图。本章的
难点是辨认中心对称图形，按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
第二十四章 圆：理解圆及有关概念，掌握弧、弦、圆心角的关系，探索点
与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，探索圆周角与圆心角的关系，直径所
对圆周角的特点，切线与过切点的半径之间的关系，正多边形与圆的关系。
第二十五章 概率初步：理解概率的意义及其在生活中的广泛应用。本章的
重点是理解概率的意义和应用，掌握概率的计算方法。本章的难点是会用列举法
求随机事件的概率。
【本学期提高质量的措施】
1、认真学习钻研新课标，掌握教材。
2、认真备课，争取充分掌握学生动态。
3、认真上好每一堂课。
4、落实每一堂课后辅助，查漏补缺。
5、积极与其它老师沟通，加强教研教改，提高教学水平。
6、复习阶段多让学生动脑、动手，通过各种习题、综合试题和模拟试题的
训练，使学生逐步熟悉各知识点，并能熟练运用。
7、教学过程中尽量采取多鼓励、多引导、少批评的教育方法。
8、教学速度以适应大多数学生为主，尽量兼顾后进生，注重整体推进。
9、新课教学中涉及到旧知识时，对其作相应的复习回顾。
10、复习阶段多让学生动脑、动手，通过各种习题、综合试题和模拟试题的
训练，使学生逐步熟悉各知识点，并能熟练运用。
教学进度计划：
人教版九年级上册数学教案 教者:郑伟
教学时数：61 课时 周计划数 5课时
教学内容 时数 周次 日期 备注
第二十一章 一元二次方程 11 1---4 9.01-9.20
一元二次方程 1 1 9.01
解一元二次方程 5 1--2 9.2-9.6
实际问题与一元二次方程 3 3 9.7-9.13
小结复习 2 4 9.14-9.20
第二十二章 二次函数 13 4---7 9.21-10.11
二次函数图像和性质 8 4---5 9.21-9.27
二次函数与一元一次方程 2 6 9.28-10.4
实际问题与二次函数 2 6 9.28-10.4
小结复习 2 7 10.5-10.11
第二十三章 旋转 8 7---9 10.5-10.25
图形的旋转 2 7 10.5-10.11
中心对称 3 8 10.12-10.18
课题学习 图案设计 1 9 10.19-10.25
小结复习 2 9 10.19-10.25
第二十四章 圆 17 9---13 10.19-11.22
期中考试复习 2 9 10.19-10.25
圆的有关性质 5 10 10.26-11.1
点和圆、直线和圆的位置关系 4 11 11.2-11.8
正多边形和圆 2 12 11.9-11.15
弧长和扇形面积 2 12 11.9-11.15
小结复习 2 13 1.16-11.22
第二十五章 概率初步 12 13---16 11.16-12.13
随机事件与概率 5 13---14 11.16-11.29
用列举法球概率 2 15 11.30-12.6
用频率估计概率 2 15 11.30-12.6
期末复习 3 16 12.7-12.13
九年级数学 第一 学期教学进度表
周次 日期 课时 教学内容 备注
1 8.25---8.29 5 21.1 一元一次方程 21.2 解一元一次方程
2 9.1---9.5 5 21.2 解一元一次方程 21.3 实际问题与方程
3 9.9---9.12 4 21 章复习回顾 章节测试
4 9.15---9.19 5 22.1 二次函数的图像和性质
5 9.22---9.26 5 22.1二次函数图像性质22.2函数与方程的关系
6 9.28---9.30 3 22.3 实际问题与二次函数
7 10.1---10.7 休息
8 10.8---10.11 4 22 章二次函数复习 测试
9 10.13----10.17 5 23.1 图形的旋转 23.2 中心对称
10 10.20---10.24 5 期中考试
11 10.27---10.31 5 23.2 中心对称 23章本章复习 测试
12 11.3---11.7 5 24.1 圆的有关性质
13 11.10---11.14 5 24.2 点和圆 直线和圆的位置关系
14 11.17---11.21 5 24.3 正多边形和圆
15 11.24---11.28 5 24.4 弧长和扇形面积 24 章本章复习 测试
16 12.1---12.5 5 25.1 随机事件与概率 25.2 用列举法就概率
17 12.8---12.12 5 25.3 用频率估计概率 25 章本章复习 测试
18 12.15---12.19 5 复习
19 12.22---12.26 5 复习
20 12.29---1.2 4 复习
21 1.5---1.9 休息 期末考试
22
九年级数学上学期教学计划
一、指导思想
坚持贯彻党的教育方针，以《初中数学新课程标准》为准绳，继续深入开展新课程教学
改革。以提高学生中考数学成绩为出发点，注重培养学生的基础知识和基本技能，提高学生
解题答题的能力。同时通过本学期的课堂教学，完成九年级上册数学教学任务。并根据实际
情况，适当完成九年级下册新授教学内容。
二、教材分析
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元
二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方
法。本章的难点是解一元二次方程。
第二十二章《二次函数》的重点是：理解二次函数的概念、性质，掌握二次函数的
解析式及求法，运用二次函数解决实际问题，学会运用数形结合思想解题，突出函数的应用。
、
第二十三章 旋转：本章主要是探索和理解旋转的性质，能够按要求作出简单平面图形旋转
后的图形。本章的重点是中心对称的概念、性质与作图。本章的难点是辨认中心对称图形，
按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
第二十四章 圆：理解圆及有关概念，掌握弧、弦、圆心角的关系，探索点与圆、直线
与圆、圆与圆之间的位置关系，探索圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特点，切线
与过切点的半径之间的关系，正多边形与圆的关系……。
第二十五章 概率初步：理解概率的意义及其在生活中的广泛应用。本章的重点是理解
概率的意义和应用，掌握概率的计算方法。本章的难点是会用列举法求随机事件的概率。
三、学情分析
本学年我担任九（一、二）的数学教学任务，从八年级下学期期末考试的成绩总体来看，
出现了两极分化，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进
生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，学生学习的主动性
较差，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。学生的逻辑推理、思维
能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，部分学生学习积极
性不高，不少数学生对数学处于一种放弃的心态，作业抄袭现象严重，学生完成作业的质量
大打折扣。
四、教学目标
教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和
解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算， 逐步学会观察分析、
综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反
过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学 生具有良好的学习习惯，实事求是的
态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。
知识技能目标：掌握掌握二次函数图像及性质及会用函数观点解一元二次方程即不等
式。3 利用二次函数解决实际问题；会解一元二次方程；理解旋转的基本性质；掌握圆及与
圆有关的概念、性质；理解概率在生活中的应用。
过程方法目标：培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力，发展学生合情推理能力、
逻辑推理能力和推理认证表达能力，提高知识综合应用能力。
态度情感目标：进一步感受数学与日常生活密不可分的联系，同时对学生进行辩证唯物
主义世界观教育。
五、教学措施
1、精心备课，设置好每个教学情境，激发学生学习兴趣和欲望。深入浅出，帮助学生
理解各个知识点，突出重点，讲透难点。
2、加强对学生课后的辅导，尤其是中等生和后进生的基础知识的辅导，提高他们的解
题作答能力和正确率。
3、精心组织单元测试，认真分析试卷中暴露出来的问题，并对其中大多数学生存在的
问题集中进行分析与讲解，力求透彻。对于少部分学生存在的问题进行小组辅导，突破难点。
4、做好学生的思想教育工作，促进学生学习的积极性，从而提高学生的学习成绩。
除了以上计划外，我还将预计开展培优和补差工作，教学中注重数学理论与社会实践的
联系，鼓励学生多观察、多思考实际生活中蕴藏的数学问题，逐步培养学生运用书本知识解
决实际问题的能力。
六、具体安排
本学期教学进度表
周次 时间 教学内容 备注
第一周 9月 1日—9 月 6 日
第二十一章 一元一次方程 21.1
21.2
第二周 9月 7日—9 月 13 日 21.2 21.3
第三周 9月 14 日—9 月 20 日 复习、单元测试
第四周 9月 21 日—9 月 27 日
第二十二章 二次函数 22.1 2
2.2
第五周 9月 28 日—10 月 4 日 22.2 10 月 1 日—7 日放假
第六周 10 月 5日—10 月 11 日 22.3
第七周 10月 12日—10 月 18日 复习、单元测试
第八周 10月 19日—10 月 25日
第二十三章 旋转 23.1
23.2
第九周 10 月 26 日—11 月 1日 23.3 课题学习 数学活动
第十周 11 月 2日—11 月 8 日 期中复习、质量检测
第十一周 11 月 9日—11 月 15 日 第二十四章 圆 24.1
第十二周 11月 16日—11 月 22日 24.2
第十三周 11月 23日—11 月 29日 圆 24.3 24.4 数学活动 小结
第十四周 11 月 30 日—12 月 6日
第二十五章 概率初步 25.1
25.2
第十五周 12 月 7日—12 月 13 日 概率 25.3 25.4
第十六周 12月 14日—12 月 20日 上册复习
第十七周 12月 21日—12 月 27日 九年级（下）第二十六章
第十八周 12 月 28 日—1 月 3 日 第二十六章 1 月 1 日—3 日放假
第十九周 1月 4日—1 月 10 日 期末复习
第二十周 1月 11 日—17 日 考试
