2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习（教师用书）：第1部分 专题6 突破点16 函数的图象和性质
专题六 函数与导数
建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 函数与导数专题是历年高考的“常青树”，在高考中常以“两小一大”的形式呈现，其中两小题中的一小题难度偏低，另一小题与一大题常在选择题与解答题的压轴题的位置呈现，命题角度多样，形式多变，能充分体现学以致用的考查目的，深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究，本专题将从“函数的图象与性质”“函数与方程”“导数的应用”三大方面着手分析，引领考生高效备考．
突破点16 函数的图象和性质
(对应学生用书第167页)
提炼1
函数的奇偶性
(1)若函数y＝f(x)为奇(偶)函数，则f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))．
(2)奇函数y＝f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
(3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是否关于原点对称；二是若所给函数的解析式较为复杂，应先化简；三是判断f(－x)＝－f(x)，还是f(－x)＝f(x)，有时需用其等价形式f(－x)±f(x)＝0来判断．
(4)奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
提炼2
函数的周期性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(x－a)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以2|a|为周期的周期性函数．
(2)若奇函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以4|a|为周期的周期性函数．
(3)若偶函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以2|a|为周期的周期性函数．
(4)若f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以2|a|为周期的周期性函数．
(5)若y＝f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b(a≠b)对称，则函数y＝f(x)是以2|b－a|为周期的周期性函数.
提炼3
函数的图象
(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．
(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系．
(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
回访1 函数的性质
1．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
D [由题意知当x>时，f＝f，
则当x>0时，f(x＋1)＝f(x)．
又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]
2．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
C [∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即>0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.]
3．(2014·山东高考)函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
C [由题意知解得x>2或0
0，a≠1)的图象如图161，则下列结论成立的是( )
图161
A．a>1，c>1
B．a>1,01
D．00，排除选项B.故选A.
(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]
热点题型2 函数性质的综合应用
题型分析：函数性质的综合应用是高考的热点内容，解决此类问题时，性质的判断是关键，应用是难点.
(1)(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
(2)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于________．
(1)A (2)－ [(1)法一：∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔0，
∴x＝0不满足f(x)>f(2x－1)，故C错误．
令x＝2，此时f(x)＝f(2)＝ln 3－，f(2x－1)＝f(3)＝ln 4－.∵f(2)－f(3)＝ln 3－ln 4－，
其中ln 3f(2x－1)，
故B，D错误．故选A.
(2)根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到
f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f＝0＋＝－.
函数性质的综合应用类型
1．函数单调性与奇偶性的综合．注意奇、偶函数图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系．
2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多为求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
[变式训练2] (1)(2016·东营二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式＜f(1)的解集为( )
【导学号：67722059】
A. B．(0，e)
C. D．(e，＋∞)
(2)(2016·潍坊一模)设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)＝( )
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
(1)C (2)D [(1)∵f(x)为R上的奇函数，则f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，∴＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化为|f(ln x)|＜f(1)，
∴－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上单调递增，∴－1＜ln x＜1，解得＜x＜e，故选C.
(2)因为f＝f，所以f(x)＝f(x＋2)，得f(x)是周期为2的函数．因为当x∈[2,3]时，f(x)＝x，所以当x∈[0,1]时，x＋2∈[2,3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，又f(x)为偶函数，所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，f(x)＝f(－x)＝－x＋2，当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0,1]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋4，所以当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|.
专题限时集训(十六) 函数的图象和性质
[A组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·南昌一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有＜0.则下列结论正确的是( )
A．f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25)
B．f(log25)＜f(20.3)＜f(0.32)
C．f(log25)＜f(0.32)＜f(20.3)
D．f(0.32)＜f(log25)＜f(20.3)
A [∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，
且x1≠x2，都有＜0，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∵0＜0.32＜20.3＜log25，
∴f(0.32)＜f(20.3)＜f(log25)．故选A.]
2．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝log2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的大致图象为( )
B [设F(x)＝f(x)·g(x)＝(2－x2)log2|x|，由F(－x)＝F(x)得F(x)为偶函数，排除A，D，当x＞0且x→0时，F(x)→－∞，排除C，故选B.]
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
【导学号：67722060】
A. B.
C. D.
A [偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，有f(2x－1)＜f⇔f(|2x－1|)＜f，进而转化为不等式|2x－1|＜，解这个不等式即得x的取值范围是.]
4．(2016·青岛一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
A [设g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，
则g(－x)＝g(x)，
即f(－x＋1)＝f(x＋1)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，
∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选A.]
5．(2016·烟台模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图象关于(1,0)点对称，且当x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝ex－1，则f(2 016)＋f(－2 015)＝( )
A．1－e B．e－1
C．－1－e D．e＋1
A [∵y＝f(x－1)的图象关于(1,0)点对称，
∴y＝f(x)的图象关于(0,0)点对称，
∴函数为奇函数．
∵当x≥0时，恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝ex－1，
∴f(2 016)＋f(－2 015)＝f(2 016)－f(2 015)＝f(0)－f(1)＝0－(e－1)＝1－e，故选A.]
二、填空题
6．(2016·宁波联考)已知f(x)＝则f(f(－1))＝________，f(f(x))＝1的解集为________．
{－，4} [f(－1)＝1，f(f(－1))＝f(1)＝.
∵f(f(x))＝1，∴f(x)＝－1(舍去)，f(x)＝2，
∴x＝4，x＝－，
∴f(f(x))＝1的解集为{－，4}．]
7．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
1 [∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为x＝1，
∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)．
∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1，∴m的最小值为1.]
8．(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1,8)，则实数m的值为________．
1 [作出f(x)的图象，如图所示，
可令x1＜x2＜x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x＝－对称，所以x1＋x2＝－1.又1＜x1＋x2＋x3＜8，所以2＜x3＜9.由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log2(9－m)，解得m＝1.]
三、解答题
9．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．
[解] (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a＞0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，3分
故解得6分
(2)由已知可得f(x)＝x＋－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，即1＋2－2·≥k，8分
令t＝，则k≤t2－2t＋1，x∈[－1,1]，则t∈，10分
记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，故h(t)max＝1，所以k的取值范围是(－∞，1].12分
10．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．
[解] (1)f(0)＝a－＝a－1.2分
(2)∵(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.4分
∵y＝2x在R上单调递增且x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，
∴2x1－2x2＜0,2x1＋1＞0,2x2＋1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在R上单调递增.8分
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，
解得a＝1.(或用f(0)＝0去解)10分
∴f(ax)＜f(2)，即为f(x)＜f(2)，
又因为f(x)在R上单调递增，
所以x＜2.12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·莆田二模)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D [∵f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)，
∴f(x＋8)＝f(x)，
∴f(x)的周期为8，
∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，
f(11)＝f(3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1)．
又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.]
2．(2016·济南模拟)函数f(x)＝ln的图象大致是( )
A [易知f(x)的定义域关于原点对称，因为f(－x)＝ln＝ln＝f(x)，所以函数是偶函数，排除B和D；当x∈时，0＜x－sin x＜x＋sin x,0＜＜1，ln＜0，排除C，故选A.]
3．(2016·开封模拟)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
【导学号：67722061】
A．1 B.
C. D.
D [f＝3×－b＝－b，
当－b≥1，即b≤时，f＝2－b，
即＝4＝22，得到－b＝2，即b＝；
当－b＜1，即b＞时，f＝－3b－b＝－4b，
即－4b＝4，得到b＝＜，舍去．
综上，b＝，故选D.]
4．(2016·成都模拟)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A．16 B．18
C．25 D.
B [当m＝2时，f(x)＝(n－8)x＋1在区间上单调递减，则n－8＜0⇒n＜8，于是mn＜16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下且过点(0,1)，要使f(x)在区间上单调递减，需－≤，即2n＋m≤18，又n≥0，则mn≤m＝－m2＋9m.而g(m)＝－m2＋9m在[0,2)上为增函数，∴m∈[0,2)时，g(m)＜g(2)＝16，∴mn＜16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．
当m＞2时，f(x)的图象开口向上且过点(0,1)，要使f(x)在区间上单调递减，需－≥2，即2m＋n≤12，而2m＋n≥2，∴mn≤18，当且仅当即时，取“＝”，此时满足m＞2.故(mn)max＝18.故选B.]
二、填空题
5．(2016·合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
－ [函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a
＝－.]
6．(2016·泉州二模)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
(1,2] [当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)．当x＞2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a＞1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2.]
三、解答题
7．已知奇函数f(x)的定义域为[－1,1]，当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x.
(1)求函数f(x)在[0,1]上的值域；
(2)若x∈(0,1]，y＝f2(x)－f(x)＋1的最小值为－2，求实数λ的值．
[解] (1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)，所以f(－x)＝－－x＝－2x.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以当x∈(0,1]时，f(x)＝－f(－x)＝2x，
所以f(x)∈(1,2]．
又f(0)＝0，所以当x∈[0,1]时函数f(x)的值域为(1,2]∪{0}.4分
(2)由(1)知当x∈(0,1]时，f(x)∈(1,2]，
所以f(x)∈，
令t＝f(x)，则＜t≤1，
g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1＝2＋1－.8分
①当≤，即λ≤1时，
g(t)＞g无最小值．
②当＜≤1即1＜λ≤2时，g(t)min＝g＝1－＝－2.
解得λ＝±2舍去．
③当＞1，即λ＞2时，g(t)min＝g(1)＝－2，解得λ＝4.
综上所述，λ＝4.12分
8．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋1)＝f(x－1)成立，已知当x∈[1,2]时，f(x)＝logax.
(1)求x∈[－1,1]时，函数f(x)的表达式；
(2)求x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时，函数f(x)的表达式；
(3)若函数f(x)的最大值为，在区间[－1,3]上，解关于x的不等式f(x)＞.
[解] (1)因为f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)＝
3分
(2)当x∈[2k－1,2k]时，f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)，
同理，当x∈(2k,2k＋1]时，
f(x)＝f(x－2k)＝loga(2－x＋2k)，
所以f(x)＝6分
(3)由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间[－1,1]，
当a＞1时，由函数f(x)的最大值为，知f(0)＝f(x)max＝loga2＝，即a＝4.
当0＜a＜1时，则当x＝±1时，
函数f(x)取最大值为，
即loga(2－1)＝，舍去．
综上所述a＝4.9分
当x∈[－1,1]时，若x∈[－1,0]，
则log4(2＋x)＞，所以－2＜x≤0；
若x∈(0,1]，则log4(2－x)＞，
所以0＜x＜2－，
所以此时满足不等式的解集为(－2,2－)．
因为函数是以2为周期的周期函数，
所以在区间[1,3]上，f(x)＞的解集为(，4－)，
综上所得不等式的解集为(－2,2－)∪(，4－).12分
