上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com 复旦大学附属中学2018学年第二学期 高一年级数学期末考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，将答案填在答题纸上）‎ ‎1.计算__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查分离常数法求极限，难度较易.‎ ‎2.实数2和8的等比中项是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所求的等比中项为： .‎ ‎3.函数，的反函数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.‎ ‎【详解】因为，所以，则反函数为：且.‎ ‎【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.‎ ‎4.等差数列中，，，则 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 则，‎ 所以，故答案为8.‎ ‎5.用列举法表示集合__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将的表示形式求解出来，然后根据范围求出的可取值.‎ ‎【详解】因为，所以，又因为，所以，此时或，则可得集合：.‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.‎ ‎6.在中，角的对边分别为，若面积，则角__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.‎ ‎【详解】因为，所以，则，则有：.‎ ‎【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.‎ 利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.‎ ‎7.已有无穷等比数列的各项的和为1，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据无穷等比数列的各项和表达式，将用公比表示，根据的范围求解的范围.‎ ‎【详解】因为且，又，且，则.‎ ‎【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题.‎ ‎8.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.‎ ‎【详解】因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；‎ 取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.‎ ‎【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：‎ ‎，.‎ ‎9.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当 排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得 ‎，则．‎ 考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用．‎ ‎【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．‎ ‎10.设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由在区间上具有单调性，‎ 且知，函数的对称中心为，‎ 由知函数的对称轴为直线，‎ 设函数的最小正周期为，‎ 所以，，‎ 即，所以，‎ 解得，故答案为.‎ 考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.‎ ‎11.由正整数组成的数列，分别为递增的等差数列、等比数列，，记，若存在正整数（）满足，，则__________．‎ ‎【答案】262‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合判断.‎ ‎【详解】设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以且；又时显然不成立，所以，则，即；‎ 因，，所以；因为，所以 ；‎ 由可知：，则，；又，‎ 所以，则有 根据可解得符合条件的解有： 或；当时，，解得不符，当时，解得，符合条件；则.‎ ‎【点睛】本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足.‎ ‎12.已知无穷等比数列满足：对任意的，，则数列公比的取值集合为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件先得到：的表示，然后再根据是等比数列讨论公比的情况.‎ ‎【详解】因为，所以，即；取连续的有限项构成数列，不妨令，则，且，则此时必为整数；‎ 当时，，不符合；‎ 当时，，符合，‎ 此时公比 ；‎ 当时， ，不符合；‎ 当时，，不符合；‎ 故：公比.‎ ‎【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.‎ 二、选择题：本大题共有4题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎13.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( )‎ A. f(x)在（，）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称 C. f(x)的最小正周期为 D. f(x)的最大值为2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解:,是周期为的奇函数, 对于A,在上是递减的,错误; 对于B,是奇函数, 图象关于原点对称,正确; 对于C,是周期为,错误; 对于D,的最大值为1,错误; 所以B选项是正确的.‎ ‎14.若等差数列的前10项之和大于其前21项之和，则的值（）‎ A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得到不等式，化简后可判断的情况.‎ ‎【详解】据题意：，则，所以，即，则：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的应用，难度较易.等差数列前项和之间的关系可以转化为与的关系.‎ ‎15.已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、的极限，下面判断正确的是（）‎ A. 数列的极限不存在，的极限存在 B. 数列的极限存在，的极限不存在 C. 数列、的极限均存在，但极限值不相等 D. 数列、的极限均存在，且极限值相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考虑与的极限，然后作比较.‎ ‎【详解】因为，‎ 又 ，所以数列、的极限均存在，且极限值相等，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解 的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.‎ ‎16.已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：‎ ‎①若数列为递增数列，则对一切，‎ ‎②若对一切，，则数列为递增数列 ‎③若存在，使得，则存在，使得 ‎④若存在，使得，则存在，使得 其中正确命题的个数为（）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析.‎ ‎【详解】①取，，则，故①错；‎ ‎②对一切，，则，又因为是上单调递增函数，所以，若递减，设，且 ‎，‎ 且，所以，则 ‎，则 ‎，与题设矛盾，所以递增，故②正确；‎ ‎③取 ，则，，令，所以，但是，故③错误；‎ ‎④因为，所以，‎ 所以，‎ 则，‎ 则，则存在，使得，故④正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题函数性质与数列的综合，难度较难.分析存在性问题时，如果比较难分析，也可以从反面去举例子说明命题不成立，这也是一种常规思路.‎ 三、解答题：（本大题共有5题，满分76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等比数列的前项和为，，，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出，然后考虑的的最小值.‎ ‎【详解】（1）因为，所以或，又，则，所以；（2）因为，则，当为偶数时有不符合；所以为奇数，且，，所以且为奇数，故.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项及其前项和的应用，难度一般.‎ 对于公比为负数的等比数列，分析前项和所满足的不等式时，注意分类讨论，因此的奇偶会影响的正负.‎ ‎18.已知函数 ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）在锐角中，若角，求的值域.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角、辅助角公式化简，然后利用单调区间公式求解单调区间；（2）根据条件求解出的范围，然后再求解的值域.‎ ‎【详解】（1），‎ 令，解得：，‎ 所以单调减区间为：，；‎ ‎（2）由锐角三角形可知： ，所以，则 ，‎ 又，所以，，则.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.‎ ‎19.已知数列满足：，，.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）记（），用数学归纳法证明：，‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）定义法证明：；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.‎ ‎【详解】由可知：，‎ 则有，即，所以为等差数列，且首相为，公差，所以，故；‎ ‎（2） ，当时，成立；‎ 假设当时，不等式成立则：；‎ 当时，，‎ 因为 ‎ ‎ ，‎ 所以，‎ 则，故时不等式成立，‎ 综上可知：.‎ ‎【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3‎ ‎）证明命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.‎ ‎20.设函数，其中，.‎ ‎（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；‎ ‎（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；‎ ‎（3）设，，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对称轴对应三角函数最值以及计算的值；（2）根据条件列出等式求解和的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.‎ ‎【详解】（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知： ，可得，则，又因为，所以，则，‎ 故有：，当为奇数时，令，‎ 所以 ，当为偶数时，令，所以 ‎，当时，‎ ‎，又因，所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：‎ 因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，，，，，‎ 则，令，‎ 则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.‎ ‎21.已知无穷数列，是公差分别为、的等差数列，记（），其中表示不超过的最大整数，即.‎ ‎（1）直接写出数列，的前4项，使得数列的前4项为：2，3，4，5；‎ ‎（2）若，求数列的前项的和；‎ ‎（3）求证：数列为等差数列的必要非充分条件是.‎ ‎【答案】（1）前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；（2）；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义，选择，的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑，的前项的规律，然后根据计算的运算规律计算；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.‎ ‎【详解】（1）由的前4项为：2，3，4，5，选、的前项为正整数：的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；‎ ‎（2）将的前项列举出：；将的前项列举出：；‎ 则；‎ ‎（3）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将前项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必要性：设，，当为等差数列时，因为，所以 ，又因为，所以有：‎ ‎，且，所以；，，‎ 不妨令，则有如下不等式：‎ ‎；‎ 当时，令，则当时，‎ ‎，此时无解；‎ 当时，令，则当时，‎ ‎，此时无解；‎ 所以必有：，故：必要性满足；‎ 综上：数列为等差数列的必要非充分条件是 ‎【点睛】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.‎