湖南省怀化市2019届高三下学期期末考试博览联考数学（理）试题

湖南省怀化市2019届高三下学期期末考试博览联考数学（理）试题

怀化市2018-2019年高三期中博览联考理科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.）‎ ‎1.已知集合，， 若AB=A，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，又因为即，所以，解之得，故选C.‎ 考点：1.集合的表示；2.集合的运算.‎ ‎2.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ B. “”是“”必要不充分条件 C. 命题“，使”的否定是：“均有”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】解：．命题“若，则”的否命题为：“若，则”，则错误．‎ ‎．由，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故错误．‎ ‎．命题“使得”的否定是：“均有”，故错误．‎ ‎．命题“若，则”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若，则”的逆否命题为真命题，故正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．‎ ‎3.设，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. ，，则 B. ，，，则 C. ，，，，则 D. ，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：在A 中，a∥或a⊂；在B中，a与b平行或异面；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的性质定理得a∥．‎ 详解：由a，b是空间中不同直线，，是不同的平面，知：‎ 在A 中，a∥b，b⊂，则a∥或a⊂，故A错误；‎ 在B中，a⊂，b⊂，∥，则a与b平行或异面，故B错误；‎ 在C中，a⊂，b⊂，∥，b∥β，则与相交或平行，故C错误；‎ 在D中，∥，a⊂，则由面面平行的性质定理得a∥，故D正确．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查线面位置关系的判断，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，‎ 设首项为，结合等差数列前n项和公式有：‎ ‎，‎ 解得：，则.‎ 即第八个孩子分得斤数为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.实数满足不等式组的取值范围是（ ）‎ A. [一1，1） B. [一1，2） C. （-1，2） D. [一1，1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：这是一道线性规划题，先画出可行域，如下：‎ 表示的是到阴影部分上的点的斜率，故由图可知斜率的范围是[一1，1），则的取值范围是[一1，1）.‎ 考点：线性规划问题.‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由几何体的三视图可知，此几何体为半径为2的球体的，所以.‎ 考点：几何体的三视图及球的体积公式.‎ ‎7.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入已知条件求得表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.‎ ‎8.已知，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 可知的周期为 ‎，‎ 故选 ‎9.设函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恒成立问题，利用分离参数法得到m＜，转为求函数在的最小值，从而可求得m的取值范围．‎ 详解】由题意，f（x）＜﹣m+4，可得m（x2﹣x+1）＜5．‎ ‎∵当x∈[1，3]时，x2﹣x+1∈[1，7]，‎ ‎∴不等式f（x）＜﹣m+4等价于m＜．‎ ‎∵当x＝3时，的最小值为，‎ ‎∴若要不等式m＜恒成立，‎ 则必须m＜，‎ 因此，实数m的取值范围为（﹣∞，），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题的解法，经常利用分离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题．‎ ‎10.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 A. 9 B. 10‎ C. 11 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由题意可知：，‎ 三点共线，则：，据此有：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 综上可得：的最小值是12.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即 ‎，，得，当时，取最大值，故选A.‎ ‎12.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函数的极值，从而结合图像完成任务.‎ 详解：，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时，，，从而可以确定函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.‎ 点睛：解决该题的关键是明确函数图像的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.）‎ ‎13.已知向量，若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求出，然后求.‎ ‎【详解】向量，若，则 ‎ ‎ ‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了向量的模的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知函数在点 处的切线方程为，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 详解】‎ ‎，‎ ‎，，‎ 则 ‎15.观察下列的数表：‎ ‎2‎ ‎4 6‎ ‎8 10 12 14‎ ‎16 18 20 22 24 26 28 30‎ ‎…… ……‎ 设2018是该数表第行第列的数，则__________．‎ ‎【答案】4980‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表中第行共有个数字，此行数字构成以为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.‎ ‎【详解】解：表中第行共有个数字，此行数字构成以为首项，以2为公差的等差数列．排完第行，共用去个数字，‎ ‎2018是该表的第1009个数字，‎ 由，‎ 所以2018应排在第10行，此时前9行用去了个数字，‎ 由可知排在第10行的第498个位置，‎ 即，‎ 故答案为：4980‎ ‎【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．‎ ‎16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起 ‎，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，连结交于点，设重合于点，正方形的边长为，则该四棱锥的侧面积是底面积的倍，，解得，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，则，，，解得，外接球的体积，故答案为.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在中，角，，的对边分别是，，，若，，成等差数列.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，由正弦定理边化角整理可得，据此可知，.‎ ‎（2）由题意结合余弦定理整理计算可得，结合三角形的面积公式可得.‎ ‎【详解】（1）∵，，成等差数列,‎ ‎∴，‎ 由正弦定理，，，为外接圆的半径，‎ 代入上式得：，‎ 即.‎ 又，∴，‎ 即.‎ 而，∴，由，得.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，又，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎18.已知向量，，函数 ‎（1）求的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.‎ ‎【答案】（1）,；（2）时，最小，时，最大，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用数量积的坐标运算与辅助角公式可求得，从而可求的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（2）根据可求得结合正弦函数的图象可求的最大值和最小值。‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎ ,‎ 最小正周期为 ,‎ 由 ‎ ‎ 函数的增区间为.‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，即时，最小， ‎ 当，即时，最大，‎ ‎【点睛】本题考查数量积的坐标运算与辅助角公式，考查三角函数中的恒等变换应用与二倍角公式，以及三角函数的性质，属于中档题．‎ ‎19.设正项数列的前项和满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问首先将代入题中所给的式子，结合与的关系，求得，再类比着写出一个式子，两式相减求得，结合数列的项的符号，得到，从而得到数列是等差数列，应用等差数列的通项公式写出结果；第二问利用裂项相消法对数列求和，结合式子写出其范围.‎ 详解：（1）①时，由，得，‎ ‎②时，由已知，得，∴，‎ 两式作差，得，‎ 又因为是正项数列，所以.‎ ‎∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 又因为数列是递增数列，当时最小，，‎ ‎∴.‎ 点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解以及裂项相消法求和，在解题的过程中，需要对题中所给的式子，类比着往前写或者往后写一个，两式相减，结合题中的条件，得到相邻两项的差为同一个常数，从而得到该数列是等差数列，之后借助于等差数列的通项公式求得结果，对于第二问应用裂项相消法求和之后，结合式子的特征以及n的范围，求得其值域.‎ ‎20.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面 ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若M为中点，求证：平面；‎ ‎（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不存在这样的点P.‎ ‎【解析】‎ 分析：（I）由，根据面面垂直的性质得到平面，从而可证明；（II）由于，建立空间直角坐标系，利用的方向向量与平面 的法向量数量积为零可得平面 ；（III）由（II）可知平面的法向量，设 ‎，利用空间向量夹角余弦公式列方程可求得，从而可得结论.‎ 详解：证明：（I）在直三棱柱中，‎ ‎∵平面 ∴ ‎ ‎∵平面平面，且平面平面 ‎∴平面 ‎ ‎∴ ‎ ‎（II）在直三棱柱中，‎ ‎∵平面，∴‎ 又，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，‎ ‎，，，，‎ ‎ ‎ 设平面的法向量 ‎∵ ∴ 令 则 ‎∵为的中点，∴‎ ‎∵ ∴ ‎ 又平面，∴平面 ‎ ‎（III）由（II）可知平面的法向量 设 则 若直线DP与平面所成的角为，‎ 则 ‎ 解得 ‎ 故不存在这样的点P，使得直线DP与平面所成的角为 点睛：本题主要考查利用空间向量的证明与求值，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21.如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元.‎ ‎（1）将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域；‎ ‎（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？‎ ‎【答案】（1），定义域为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题由圆柱与圆锥体积公式得，得即可；（2）由圆柱与圆锥的侧面积公式得容器总造价为，求导求最值即可 ‎【详解】（1）因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，‎ 圆锥的体积为，圆柱的体积为.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 因此.‎ 所以，定义域为.‎ ‎（2）圆锥的侧面积，‎ 圆柱的侧面积，底面积.‎ 容器总造价为.‎ 令，则.令，得.‎ 当时，，在上为单调减函数；‎ 当时，，在上为单调增函数.‎ 因此，当且仅当时，有最小值，即有最小值，为元.‎ 所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱圆锥的表面积和体积公式，考查利用导数求函数最值，方程思想的运用，是中档题 ‎22.已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设是的两个零点，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.‎ 详解：（1），‎ 当时，，则在上单调递增．‎ 当时，令，得，则的单调递增区间为，‎ 令，得，则的单调递减区间为．‎ ‎（2）证明：由得，设，则．‎ 由，得；由，得．‎ 故的最小值．‎ 当时，，当时，，‎ 不妨设，则，‎ 等价于，且上单调递增，‎ 要证：，只需证，‎ ‎，‎ 只需证，即，‎ 即证；‎ 设，‎ 则，‎ 令，则，，‎ 在上单调递减，即在上单调递减，‎ ‎，在上单调递增，‎ ‎，‎ 从而得证．‎ 点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.‎ ‎ ‎