2017-2018学年福建省三校永安一中、德化一中、漳平一中高二上学期第二次联考理科数学试题

2017-2018学年福建省三校永安一中、德化一中、漳平一中高二上学期第二次联考理科数学试题

“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 2017-2018 学年第一学期第二次月考 高二数学（理科）试卷 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求） 1.命题“ ，都有 ”的否定是（ ） A. ，使 B. ，都有 C. ，使 D. ，都有 2.函数 ，在定义域内任取一点 ，使得 的概率为 （ ） A. B. C. D. 3.一组数据的平均数是 3.8，方差是 0.96，若将这组数据中的每一个数据都乘以 10 再加 1， 得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A.39 ，96 B. 38 , 96 C. 39 , 9.6 D.38 , 9.6 4.抛物线 的准线方程是（　　） A． B． C． D． 5.为了研究某班学生的脚长 （单位：厘米）和身高 （单位：厘米）的关系，从该班随机 抽取 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直 线方程为 ．已知 ， ， ．该班某学生的脚长为 26， 据此估计其身高为（ ） A.165 B.166 C.170 D.174 6．等差数列 中， ， ，设 ， 表示不超过 的最大整数， ， ，则数列 的前 6 项和 （　） (0,1)x∀ ∈ 1 2x x + > (0,1)x∃ ∉ 1 2x x + ≤ (0,1)x∀ ∉ 1 2x x + < (0,1)x∃ ∈ 1 2x x + ≤ (0,1)x∀ ∈ 1 2x x + < 2( ) 5 6, [0,5]f x x x x= − + ∈ 0x 0)( 0 >xf 5 1 5 3 10 7 5 4 24xy = 16 1=y 16 1−=y 1=x 1−=x x y 10 y x ˆˆ ˆy bx a= + 10 1 225i i x = =∑ 10 1 1600i i y = =∑ ˆ 4b = { }na 2 7 5a = 3 4 4a a+ = [ ]n nb a= [ ]x x [0.2] 0= [3.5] 3= { }nb 6S = A．8 B．9 C．10 D．11 7. 直线 过点 与椭圆 交于 两点， 且 为线段 的中点，则直线 的方程是( ) A. B. C. D. 8．某程序框图如图所示，若 ，则输出 的值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 9.一条线段的长等于 10，两端点 、 分别在 轴和 轴上滑动， 在线段 上，且 ，则点 的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 10.已知命题 ，命题 ，若 是 的必要条件， 则实数 的取值范围( ) A. B. C. D. 11.已知 、 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，若 关于渐近线的对称点 恰落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线 的离心率为（　　） A． B．3 C． D．2 12．已知函数 ，数列 为等比数列， ，且 ，利用课本 中推导等差数列前 项和的公式的方法，则 （　　） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：(本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应位置) 13.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为____________. 14.双曲线 上一点 到右焦点的距离是 9，则点 到左焦点的距离 为 ． 15.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55,89,114,233，…，即 ， ， 此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被 3 整除后的余 l P      4 1-,4 3 13 2 2 =+ yx BA, P AB l 1−= xy 2 1+−= xy 4 72 −= xy 4 52 +−= xy 0.9a = k A B x y M AB 4AM MB=  M 1644 22 =+ yx 1464 22 =+ yx 128 2 2 =+ yx 182 2 2 =+ yx :( 2)( 3 1) 0p x x a− − + < 2: 2q a x a< < + p¬ q¬ a 1[ ,1) (1,2]2  1[ ,2]2 ]1,2 1[ ]2,1[ 1F 2F C 12 2 2 2 =− b y a x 2F 1F 1OF C 3 2 3( ) ( 1) 2f x x= − + { }na 0na > 1009a e= n 1 2 2017(ln ) (ln ) (ln )f a f a f a+ + + = 2017 2 2017 4034 8068 yx,    ≥− ≤−− ≥−+ 0 063 02 yx yx yx yxz += 2 1169 22 =− yx P P ( )1 1F = ( ) ( ) ( )( )1 2 3,F n F n F n n n N ∗= − + − ≥ ∈ 开始 S=0，k=1 S >a? S=S+ 1 k(k + 1) k=k+1 输出 k 结束 是 否 （第 8 题） 数构成一个新数列 ，则 ． 16.在锐角 中，点 在线段 上， ， , ， ，则 的值为 ． 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)已知 , 命题 ， 不等式组 的解集为 ，若 为假， 为真，求实数 的取值范 围. 18. (本题满分 12 分)某购物网站为优化营销策略,对在“双十一”当天在该网站进行网购消 费且消费金额不超过 1000 元的 1000 名网购者(其中有女性 800 名,男性 200 名)进行抽样分 析.根据性别采用分层抽样的方法从这 1000 名网购者中抽取 100 名进行分析,得到女性消费 情况频数分布表和男性消费情况频率分布直方图(消费金额单位:元). 女性消费情况频数分布表 男性消费情况频率分布直方图 （Ⅰ）若消费金额不低于 600 元的网购者为“网购达人”、低于 600 元的网购者为“非网购 达人”，求在抽出的 100 名网购者中男性“网购达人”的人数； （Ⅱ）在抽出的 100 名且消费金额在[800,1000](单位:元)的网购者中任意选出 2 名发放幸 运红包,求选出的 2 名网购者至少有一名为男性的概率. 19. (本题满分 12 分)已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上横坐标为 的点到抛物线焦点的距离是 ． （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）设直线 过点 与抛物线 交于 两点，若 ，求直线 的 方程． 消费金额（元） 人数 (0,200) 5 [200,400) 10 [400,600) 15 [600,800) 47 [800,1000] 3 { }nb 20b = ABC∆ D AC 2AB = 15sin 4ABC∠ = 10BD = 3AD CD= cosC Ra ∈ 2: [1,2], 2 0p x x x a∀ ∈ − − ≥ :q ( 2)(4 ) 0 0 x x x a + − ≤  − < { }| 2x x ≤ − qp ∧ p q∨ a )0(2: 2 >= ppxyC F 2 1 2 3 C l ( )0,6M C BA、 °=∠ 90AFB l 20．(本题满分 12 分)已知 的内角 , , 所对的边分别为 ，且 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 ， 边上的高为 ，求 的最大值． 21. (本题满分 12 分)设 为数列 的前 项和，已知 ，对任意 ，都有 ． (Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ）若数列 的前 项和为 ,且 恒成立，求实数 的最大值． 22.(本题满分 12 分)过椭圆 ： 上一点 向 轴作垂线，垂足为左 焦点 分别为 的右顶点，上顶点，且 ( 为坐标原点)， ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）倾斜角为 的直线交椭圆 于 两点，若四边形 （ 逆时针排 列），求四边形 面积 的最大值． “永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考 2017-2018 学年第一学期第二次月考 高二数学（理科）试卷 参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B D C A D A B D C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ABC∆ A B C , ,a b c tan 21 tan B c A a + = B 2b = AC BD BD nS { }na n 1 2a = *n∈N ( )2 1n nS n a= + { }na 1 2 n n a −    n nT nT m≥ m E ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > P x BAF ,, E OPAB // O 12 +=AF E °45 E DC, ACBD DBCA ,,, ACBD S 13. 9 14. 15 或 3 15. 0 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17.(本题满分 10 分) 解： ， 在 成立 为真时 ................................2 分 可化为 且解集为 为真时 ...............................4 分 为假， 为真 与 一真一假 .........................................5 分 ① 真 假时 ......................7 分 ② 假 真时 ..................9 分 ................................10 分 18. (本题满分 12 分) 解：依题意,抽出的 100 名消费者中男性 20 人，女性 80 人，............................1 分 由男性消费情况频率分布直方图可知消费金额不低于 600 元的网购者所占频率为 ，................................................ ..3 分 男性“网购达人”共有 人................................................5 分 (2)依题意,抽出的 100 名消费者中男性 20 人，女性 80 人，其中消费金额在[800,1 000](单 位:元)的网购者中有女性 3 名,记为 A,B,C;男性 2 名,记为 a,b.从 5 人中任选 2 人的基本事 件有:(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共 10 个, .................8 分 设“选出的 2 名网购者至少有一名为男性”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有:(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)共 7 个..................10 分 7 8 2[1,2], 2 0x x x a∀ ∈ − − ≥ 2 min( 2 )a x x∴ ≤ − [1,2]x∈ 1a∴ ≤ − p∴ 1a ≤ − ( 2)(4 ) 0 0 x x x a + − ≤  − < 2 4x x x a ≤ − ≥  < 或 { }| 2x x ≤ − q∴ 2 4a− < ≤ p q∧ p q∨ ∴ p q p q 1 2 4 a a a ≤ −  ≤ − > 或 2a∴ ≤ − p q 1 2 4 a a > − − < ≤ 1 4a∴− < ≤ ]4,1(]2,( −−−∞∈∴ a (0.00050 0.00075) 200 0.25+ × = ∴ 0.25 20 5× = ∴ .................................... .....12 分 19.(本题满分 12 分) 解：（1）∵抛物线上横坐标为 的点到抛物线焦点的距离与其到准线的距离相等，∴ ……2 分 ∴ 抛物线的方程为： ． …………………………4 分 （2）由题意，直线 ： ，代入 得， ， 设 ，则 ， ………………………… 6 分 ∵ ，∴ ，即 • =0 ………………………… 7 分 可得： …………………………8 分 ∴ ………………………… 9 分 ∴ ， 解得： ． ………………………… 11 分 则直线方程： 即 ………………………… 12 分 法二：当斜率不存在时，设直线 ， , • 不合题意。 …………………………5 分 当斜率存在时，设直线 当 ， 设 7( ) 10P A = 2 1 2 3 22 1 =+ p 2=p xy 42 = l 6+= myx xy 42 = 02442 =−− myy ),(),,( 2211 yxByxA 24,4 2121 −==+ yymyy 90=∠AFB FBFA ⊥ 0)1)(1( 2121 =+−− yyxx 025)(5)1( 2121 2 =++++ yymyym 02520)1(24 22 =+++− mm 2 1±=m 62 1 +±= yx ( )6-xy 2±= 6 x: =l ( )62,6A ( )62-,6B ( )0,1F 0≠ ( )6-xky: =l ( )    = −= xy xky 4 6 2 02442 =−−⇒ kyky 0≠k 09616 2 >+=∆ k ),(),,( 2211 yxByxA 则 …………………………7 分 ∵ ，∴ ，即 • =0 …………………………8 分 可得： …………………………11 分 直线 ..............12 分 20.(本题满分 12 分) 解：（Ⅰ）因为 ，由正弦定理得 ， ………………2 分 即 ， …………………………4 分 因为 ， ， 所以 ， …………………………5 分 又因为 ，所以 …………………………6 分 （Ⅱ）由余弦定理 ，得 ……………………7 分 即 ， …………………………8 分 当且仅当 时取“＝” …………………………9 分 在 中，由 ，得 所以 的最大值为 …………………………12 分 21.(本题满分 12 分) 解：(Ⅰ)因为 ，所以当 时， 两式相减，得 ，即 …………………………1 分 所以当 时， 所以 ，即 …………………………4 分 经检验 时也符合 所以 …………………… 244 2121 −=•=+ yykyy 90=∠AFB FBFA ⊥ 0)1)(1( 2121 =+−− yyxx 014 114 1 21 2 2 2 1 =+     −     − yyyy 2±=∴ k ( )6-x2y: ±=l tan 21 tan B c A a + = sin cos 2sin1 sin cos sin B A C A B A + = sin( ) 2sin sin cos sin A B C A B A + = sin( ) sin 0A B C+ = ≠ sin 0A ≠ 1cos 2B = (0,π)B∈ π 3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 24 a c ac= + − 2 24 2ac a c ac+ = + ≥ 4ac∴ ≤ 2a c= = ABC∆ 1 1sin2 2ac B AC BD= ⋅ 3 3 4 34 4BD ac= ≤ × = BD 3 ( )2 1n nS n a= + 2n ≥ 1 12 n nS na− −= 12 ( 1)n n na n a na −= + − 1( 1) n nn a na −− = 2n ≥ 1 ( 1) n na a n n −= − 1 21 na a n = = 2na n= 1=n 2na n= 2na n= ……5 分 (Ⅱ）因为 所以 ……① 则 ……② ①－②得： 所以 ………………… ………8 分 要使 恒成立，只需 因为 （ ）－（ ）＝ 所以 为递增数 列 …………………………10 分 所以当 时， ，即 所以，实数 的最大值为 …………………………12 分 22.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意可得 ，所以 ， ． 由 ，所以 ，解得 ............2 分 由 得 ， 故椭圆 E 的方程为 . ..............4 分 （Ⅱ）依题意可设直线 ， ． 将直线 CD 的方程代入椭圆 E 得 ， 1 2 1 2 2 n n n a n− −= 1 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n nT −= + + + + 2 3 4 1 1 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2n n nT + −= + + + + 1 2 3 4 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2n n n nT + −= + + + + + − 1 1 1 1 1 1(1 ( ) )1 2 1 3 2 32 2 12 2 2 21 2 n n n n n − + + − − += + − = − − 2 33 2n n nT += − nT m≥ min( )nm T≤ 1n nT T+ − = 1 2 53 2n n + +− 2 33 2n n +− 1 2 1 02n n + + > { }nT 1n = min 1 1( ) 2nT T= = 1 2m ≤ m 1 2 ),( 2 a bcP − ac bkop 2 −= a bk AB −= OPAB // a b ac b −=− 2 cacb 2, == 12 +=+= caAF 2,1 === acb 12 2 2 =+ yx )12(: <<−+= mmxyCD ),(),,( 2211 yxDyxC 02243 22 =−++ mmxx 0824 2 >−=∆ m ， ， ..............6 分 ..............7 分 到直线 CD 的距离 ； ..............8 分 B(0，1)到直线 CD 的距离 ． ..............9 分 所以四边形 面积 ， ..............11 分 所以当 时， 取得最大值 ． ..............12 分 3 4 21 mxx −=+ 3 22 2 21 −= mxx 2 21 33 42 mxxCD −=−= )0,2(A mmd 2 2122 2 1 +=+= mmd 2 2 2 212 2 2 −=−= ACBD 2 21 3)2 21(3 2)(2 1 mddCDS −+=+⋅⋅= 0=m S 3 632 +