【数学】2020届一轮复习浙江专版9-4二项式定理学案

【数学】2020届一轮复习浙江专版9-4二项式定理学案

第四节二项式定理 ‎1．二项式定理 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；‎ ‎(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；‎ ‎(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎[小题体验]‎ ‎1．二项式8的展开式中常数项为(　　)‎ A．70　　　　　　　　　 　B．28‎ C．1 120 D．112‎ 解析：选D　∵8展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r·r＝C2rx8－4r，令8－4r＝0，得r＝2，∴二项式8的展开式中的常数项为C22＝112.‎ ‎2．(1－2x)7的展开式中x3的系数为________．‎ 解析：Tr＋1＝C17－r(－2x)r＝C(－2)rxr，‎ 令r＝3.‎ 则x3的系数为C(－2)3＝35×(－8)＝－280.‎ 答案：－280‎ ‎3.8的展开式中的有理项共有________项．‎ 解析：∵Tr＋1＝C()8－rr＝rCx，‎ ‎∴r为4的倍数，‎ 故r＝0,4,8，共3项．‎ 答案：3‎ ‎1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．‎ ‎2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．‎ ‎3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．(2018·宁波质检)二项式9展开式中，x3项的系数为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选C　二项式9展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－rr＝Crx9－2r，‎ 令9－2r＝3，得r＝3，‎ 所以x3项的系数为C3＝－，故选C.‎ ‎2．(2019·嘉兴高三测试)(x＋2)(x＋1)6的展开式中，x3项的系数为________；所有项系数的和为________．‎ 解析：(x＋1)6的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r，从而含x3的项为x·Cx2＋2Cx3＝55x3，故x3项的系数为55；所有项的系数之和为3×(1＋1)6＝192.‎ 答案：55　192‎ ‎[锁定考向]‎ 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．‎ 常见的命题角度有：‎ ‎(1)求展开式中的某一项；‎ ‎(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；‎ ‎(3)由已知条件求n的值或参数的值．　　　 　‎ ‎[题点全练]‎ 角度一：求展开式中的某一项 ‎1．二项式6展开式中的第4项为(　　)‎ A．－1 280x3　　　　　　　 　B．－1 280‎ C．240 D．－240‎ 解析：选A　6展开式中的第4项为T3＋1＝C(4x2)33＝－1 280x3，选A.‎ ‎2．(2019·浙江名校联考)(1＋x－2)(－2)5的展开式中的常数项是(　　)‎ A．5 B．－10‎ C．－32 D．－42‎ 解析：选D　(－2)5的展开式的通项Tr＋1＝C(x)5－r·(－2)r，令＝0，得r＝5；令＋(－2)＝0，得r＝1，所以常数项是C(－2)1＋C(－2)5＝－42.‎ 角度二：求展开式中的项的系数或二项式系数 ‎3．(2019·湖州调研)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　 )‎ A．121 B．－74‎ C．74 D．－121‎ 解析：选D　法一：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8‎ ‎＝＝，‎ ‎(1－x)5中x4的系数为C＝5，－(1－x)9中x4的系数为－C＝－126，得－126＋5＝－121.‎ 法二：由题意得含x3的项的系数是－C－C－C－C＝－10－20－35－56＝－121.‎ ‎4．(2018·天津高考)在5的展开式中，x2的系数为________．‎ 解析：5的展开式的通项为 Tr＋1＝Cx5－r·r·x－＝rCx5－.‎ 令5－＝2，解得r＝2.‎ 故展开式中x2的系数为2C＝.‎ 答案： 角度三：由已知条件求n的值或参数的值 ‎5．(2019·浙江考前冲刺)若二项式(2x＋a)n的展开式中所有项的二项式系数和为32，x3的系数是160，则n＝________，a＝________.‎ 解析：∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项Tr＋1＝C(2x)5－rarx＝C25－rarx5－，当5－＝3时，r＝4，∴C×2×a4＝160，解得a＝±2.‎ 答案：5　±2‎ ‎[通法在握]‎ 求二项展开式中的特定项的方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．‎ ‎(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；‎ ‎(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；‎ ‎(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．‎ 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2019·丽水、衢州、湖州三市质检)若6的展开式中x3的系数为－12，则a＝________；常数项是________．‎ 解析：由于二项展开式的通项Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx6－3r，令6－3r＝3，则r＝1，所以(－a)C＝－6a＝－12，a＝2；令6－3r＝0，则r＝2，所以常数项是(－2)2C＝4×15＝60.‎ 答案：2　60‎ ‎2．(2019·温州十校联考)已知(1＋x＋x2)n(n∈N*)的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________.‎ 解析：(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项即n中没有常数项，不含x－1，x ‎－2项，因为n的通项公式为Tr＋1＝Cxn－4r，所以经验证得n＝5.‎ 答案：5‎ ‎[典例引领]‎ ‎1．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)‎ A．－960　　　　　　　　　 　B．960‎ C．1 120 D．1 680‎ 解析：选C　根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.‎ ‎2．若x9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则的值为________．‎ 解析：令x＝2，得29＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＋a9，‎ 令x＝0，得0＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9，‎ 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝28.‎ 又x9＝[1＋(x－1)]9，其中T8＝C(x－1)7，‎ 所以a7＝C＝36，故＝＝.‎ 答案： ‎[由题悟法]‎ ‎1．赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎2．二项式系数最大项的确定方法 ‎(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；‎ ‎(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．‎ ‎[即时应用]‎ ‎1．已知n 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为(　　 )‎ A．第5项 B．第4项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 解析：选A　∵n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，∴C＝C，得n＝7.又展开式中第r＋1项的系数为Cr，当r＝4时，C(－1)r最大，∴展开式中系数最大的项为第5项．‎ ‎2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中二项式系数最大的项为__________．‎ 解析：依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，‎ 于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，‎ ‎∴2n＝16＝24，解得n＝4.‎ 要使二项式系数C最大，只有k＝2，‎ 故展开式中二项式系数最大的项为 T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3.‎ 答案：150x3‎ ‎[典例引领]‎ 设a∈Z，且0≤a＜13，若512 016＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 　B．1‎ C．11 D．12‎ 解析：选D　由于51＝52－1，‎ ‎(52－1)2 016＝C522 016－C522 015＋…－C521＋1，‎ 又由于13整除52，‎ 所以只需13整除1＋a，‎ ‎0≤a＜13，‎ a∈Z，‎ 所以a＝12.‎ ‎[由题悟法]‎ 利用二项式定理解决整除问题的思路 ‎(1)观察除式与被除式间的关系．‎ ‎(2)将被除式拆成二项式．‎ ‎(3)结合二项式定理得出结论．‎ ‎[即时应用]‎ 求1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数．‎ 解：∵1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910，∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2018·温州模拟)在9的展开式中，常数项是(　　)‎ A．C　　　　　　　　 　B．－C C．8C D．－8C 解析：选D　9展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r(－2x)r＝C(－2)rx，令＝0，解得r＝3.所以常数项是－8C.‎ ‎2．(2019·杭州名校协作体联考)(1－x)4展开式中x2的系数为(　　)‎ A．16 B．12‎ C．8 D．4‎ 解析：选C　(1－x)4展开式的通项公式为Tr＋1＝C4(－1)rxr.所以(1－x)4展开式中x2的系数为C(－1)3＋2C(－1)2＝8.‎ ‎3．(2019·丽水模拟)若7展开式中含x的项的系数为280，则a＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－ D. 解析：选C　该二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r·r＝C(－1)ra－rx7－2r.令7－2r＝1，解得r＝3.所以－Ca－3＝280，解得a－3＝－8，所以a＝－.‎ ‎4．(2019·绿色联盟适应性考试)若(x＋1)6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．‎ 解析：6展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6－rr＝C6－r(－a)rx6－，‎ 令6－＝0，得r＝4；‎ 令6－＝－1，得r＝(舍去)．‎ 所以(x＋1)6的展开式中常数项为 C2(－a)4＝a4＝60，‎ 解得a＝±2.‎ 答案：±2‎ ‎5．(2019·绍兴质检)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a2＋a4＝________.‎ 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35；‎ 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，‎ 所以a0＋a2＋a4＝＝121.‎ 答案：121‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2019·武汉调研)n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项是(　　 )‎ A．－270 B．270‎ C．－90 D．90‎ 解析：选C　在n的展开式中，令x＝1，可得n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，解得n＝5，‎ 故5展开式的通项公式为Tr＋1＝C·35－r·(－1)r·x.‎ 令＝0，得r＝3，故展开式中的常数项为－32C＝－90.‎ ‎2．(2019·金华十校联考)在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是(　　 )‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：选B　由题意得，该二项展开式的通项Tr＋1＝C·(－1)rxr，‎ ‎∴该项的系数ar＝(－1)r·C，‎ ‎∵2a2＋an－5＝0，‎ ‎∴2(－1)2C＋(－1)n－5C＝0，‎ 即2C＋(－1)n－5·C＝0，‎ ‎∴n－5为奇数，‎ ‎∴2C＝C＝C，‎ ‎∴2×＝，‎ ‎∴(n－2)(n－3)(n－4)＝120，解得n＝8.‎ ‎3．(2019·湖州五校高三模拟)已知f(x)＝(x－1)3(x－2)4＝x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a6＝(　　)‎ A．11 B．－11‎ C．24 D．－24‎ 解析：选B　由a6x6＝Cx2(－1)1·Cx4(－2)0＋Cx3·(－1)0·Cx3(－2)1＝－11x6，故a6＝－11.‎ ‎4．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于(　　)‎ A．32 B．－1‎ C．10 D．1‎ 解析：选C　在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.故选C.‎ ‎5．(2019·杭州高级中学月考)已知函数f(x)＝－x3＋2f′(2)x，n＝f′(2)，则二项式n的展开式中的常数项是(　　 )‎ A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：选C　根据题意，f′(x)＝－3x2＋2f′(2)，‎ 令x＝2，得f′(2)＝－12＋2f′(2)，所以n＝f′(2)＝12，‎ 则12的二项展开式为Tr＋1＝Cx12－rr＝C·2r·x12－r，‎ 令12－r＝0，得r＝8，此时为展开式的第9项．‎ ‎6．(2019·杭师大附中模拟)已知(1＋2x)n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n＝________；(1＋2x)n展开式中常数项为________．‎ 解析：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，即C最大，所以n＝6.(1＋2x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝C2rxr.所以常数项为1＋C22＝61.‎ 答案：6　61‎ ‎7．(2019·义乌期末)若(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn, 且a0‎ ‎＋a1＋a2＋…＋an＝126，则n的值为________；a2＝________.‎ 解析：令x＝1，得2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝126，解得n＝6.所以a2＝C＋C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＋15＝35.‎ 答案：6　35‎ ‎8．(2019·湖南东部六校联考)若n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．‎ 解析：令x＝1，得n的展开式中各项系数之和为(3－1)n＝128＝27，故n＝7.则二项式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r·(－x－)r＝(－1)r·37－rCx7－，令7－r＝－3，得r＝6，故展开式中的系数是(－1)6·37－6C＝21.‎ 答案：21‎ ‎9．已知函数f(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n(n≥3)．‎ ‎(1)求展开式中x2的系数；‎ ‎(2)求展开式中系数之和．‎ 解：(1)展开式中x2的系数为C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋…＋C ‎＝…＝C＝＝.‎ ‎(2)展开式中的系数之和为 f(1)＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.‎ ‎10．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求第三项的二项式系数及项的系数；‎ ‎(3)求含x项的系数．‎ 解：(1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．‎ ‎∴2·C＝1＋C，‎ 即n2－9n＋8＝0.‎ ‎∴n＝8或n＝1(舍)．‎ ‎(2)由n＝8知其通项为Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x4－r，r＝0,1，…，8.‎ ‎∴第三项的二项式系数为C＝28.‎ 第三项的系数为2·C＝7.‎ ‎(3)令4－r＝1，得r＝4，‎ ‎∴含x项的系数为4·C＝.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2019·浙江考前冲刺卷)若(x＋1)a的展开式中所有项的系数和为192，则a＝________，展开式中的常数项为________．‎ 解析：(x＋1)a的展开式中所有项的系数和为192，令x＝1，则×(1＋1)a＝192，解得a＝6，因为·(x＋1)6＝(x＋1)6＝(1＋x)6＋(1＋x)6，其中(1＋x)6的展开式中的常数项为Cx＝12，(1＋x)6的展开式中的常数项为Cx2＝15，所以(x＋1)6的展开式中的常数项为12＋15＝27.‎ 答案：6　27‎ ‎2．(2019·浙江考前冲刺卷)若对任意实数x，有x5＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝________，＝________.‎ 解析：x5＝(x－3＋3)5的展开式的通项Tr＋1＝C5(x－3)5－r3r，令5－r＝3，则r＝2，得a3＝C×32＝90.将x＝4代入原等式中，得45＝a0＋a1×(4－3)＋a2×(4－3)2＋a3×(4－3)3＋a4×(4－3)4＋a5×(4－3)5，即45＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5　①，将x＝2代入原等式中，得25＝a0＋a1×(2－3)＋a2×(2－3)2＋a3×(2－3)3＋a4×(2－3)4＋a5×(2－3)5，即25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3＋a5)　②，由①②可得＝＝.‎ 答案：90　 ‎3．已知二项式n，‎ ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解：(1)由题意可得C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，‎ 解得n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，‎ ‎∴T4的系数为C·4·23＝，‎ T5的系数为C·3·24＝70.‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，‎ ‎∴T8的系数为C·7·27＝3 432.‎ ‎(2)由题意可得C＋C＋C＝79，整理得n2＋n－156＝0.‎ 解得n＝12或n＝－13(舍去)．‎ 设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴ 解得9.4≤k≤10.4，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.‎