命题角度4-2 空间几何体体积与距离问题(第01期)-2018年高考数学(文)备考之百强校大题狂练系列

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命题角度4-2 空间几何体体积与距离问题(第01期)-2018年高考数学(文)备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学(文)大题狂练 命题角度2:空间几何体体积与距离问题 ‎1.如图, 是边长为的正方形, 平面, 平面, .‎ ‎(Ⅰ)求证: ;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)先证明,结合,根据线面垂直的判定定理可得平面,从而可得结论;(Ⅱ)先根据勾股定理求底面三角形的三边的长,进而根据其特性求底面三角形的面积,再根据棱锥的体积公式求解即可.‎ ‎(Ⅱ)设,连接, .‎ 由(Ⅰ)知, 平面,‎ 所以平面.‎ 因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和,‎ 所以.‎ 因为正方形的边长为, ,‎ 所以, .‎ 取的中点,连接,则 .‎ 所以等腰三角形的面积为 .‎ 所以 ‎ ‎ .‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎2. 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, , ,平面底面, 为的中点, 是棱上的点, , .‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若三棱锥的体积是四棱锥体积的,设,试确定的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)由平面平面,且平面平面, 可证得平面,进而平面平面;‎ ‎(Ⅱ)(Ⅱ)由, 为的中点,可得.由平面平面,可得平面.设,梯形面积为,则S△ABQ= , ,利用即可求得.‎ ‎(Ⅱ)∵, 为的中点,∴,‎ ‎∵平面平面,且平面平面,‎ ‎∴平面.‎ 设,梯形面积为,则三角形的面积为,‎ ‎.‎ 又设到平面的距离为,则,‎ 根据题意,∴,‎ 故,‎ 为中点,所以.‎ ‎3.如图所示,菱形与正三角形所在平面互相垂直, 平面,且, .‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)若,求几何体的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)3.‎ ‎【解析】试题分析:(1)过点作于,连接,可证四边形为平行四边形,可得,根据线面平行的判定定理即可证明平面;(2)若,利用分割法,将几何体分成两个棱锥,结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.‎ ‎∴平面.‎ 又∵平面, ,∴.‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴.‎ ‎∵平面 , 平面,∴平面.‎ ‎(2)连接,由题意得为正三角形,∴.‎ ‎∵平面⊥平面,平面,平面平面,‎ 平面.∵,平面 , 平面,∴平面,‎ 同理,由可证平面,‎ ‎∵, 平面, 平面,‎ ‎∴平面∥平面,∴到平面的距离等于的长.‎ ‎∵为四棱锥的高,‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎4.如图所示的几何体中,四边形为菱形, , , , ,平面平面, , 为的中点, 为平面内任一点.‎ ‎(1)在平面内,过点是否存在直线使?如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法;‎ ‎(2)过, , 三点的平面将几何体截去三棱锥,求剩余几何体的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在;‎ ‎(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.‎ ‎(2)连接, ,则平面将几何体分成两部分:‎ 三棱锥与几何体(如图所示).‎ 因为平面平面,且交线为,‎ 又,所以平面.‎ 故为几何体的高.‎ 又四边形为菱形, , , ,‎ 所以 ,‎ 所以 .‎ 又,所以平面,‎ 所以 ,‎ 所以几何体的体积 .‎ ‎5. 在三棱柱中, , , 为的中点.‎ ‎(1)证明: 平面;‎ ‎(2)若,点在平面的射影在上,且侧面的面积为,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)连接交于点,连接.利用中点可得,所以平面.(2)取中点,连接,过点作于,连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面,所以,所以平面,所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高,由此可计算得三棱锥的体积.‎ 试题解析:‎ ‎(1)证明:连接交于点,连接.‎ 则为的中点,又为的中点,所以,且平面, 平面,则平面.‎ ‎(2)解:取的中点,连接,过点作于点,连接.‎ 因为点在平面的射影在上,且,‎ 所以平面,∴, ,∴平面,‎ 则.‎ 设,在中, , ,‎ ‎∴, , ,‎ 由,可得.‎ 则 ‎ ‎ .‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎6.如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形, ,且与均为正三角形, 为的重心.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】【试题分析】(1)可直接运用线面平行的判定定理推证;(2)借助三棱锥可换底的特征,运用三棱锥的体积公式建立方程求解:‎ 解:(1)连接并延长交于,连接.由梯形且,知,又为的重心, ,在中, ,故.又平面平面平面.‎ ‎,得,‎ 所以三棱锥的体积为.又.在中,‎ ‎,故点到平面的距离为.‎ ‎7.如图,在四棱锥中, , , , 平面.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)若为线段的中点,且过三点的平面与线段交于点,确定点的位置,说明理由;并求三棱锥的高.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理进行证明;(2)利用三角形的中位线证明线线平行,进而通过四点共面确定点的位置,再利用等体积法进行求解.‎ 因为平面, 为的中点,所以到平面的距离.‎ 又,所以.‎ 由题意可知,在直角三角形中, , ,‎ 在直角三角形中, , ,所以.‎ 设三棱锥的高为, ,解得: ,‎ 故三棱锥的高为.‎ ‎8.如图,边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直, , , 且.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)过作平面,垂足为,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)因为,通过证明平面,可证得平面.‎ ‎(2)利用等体积法可求体积.‎ 试题解析:(1)证明:∵, ,∴,∴四边形为平行四边形,∴,‎ ‎∵平面平面,且平面平面,‎ ‎,∴平面,∴平面,‎ ‎∵平面,∴.‎ 在正方形中, 平面,‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎(2)解:取的中点,连接,则,连接,过作于,‎ ‎∵平面,∴,∴平面,∴,∴平面,∴与重合.‎ 在中, , , ,由,得,∴.‎ 过作,垂足为,易证平面,交于,则,‎ 且.‎ ‎∴.‎ ‎9.如图,在各棱长为的直四棱柱中,底面为棱形, 为棱上一点,且 ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)平面将四棱柱分成上、下两部分,求这两部分的体积之比. ‎ ‎(棱台的体积公式为,其中分别为上、下底面面积, 为棱台的高)‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用直线垂直平面的判定及面面垂直的判定定理,分析出平面 又平面平面平面(2)平面分割出一个三棱台,先求其体积,再用总的体积减去此三棱台体积,即可得到下面部分的体积.‎ 试题解析:(1)证明: 底面为菱形, ‎ 在直四棱柱中, 底面 平面 又平面平面平面 ‎(2)解:连接,过作交于,则 则平面与侧面相交的线段为 故平面将四棱柱分成上、下两部分中的上部分由三棱台组成,‎ 取的中点,连接 底面为菱形, ‎ 为正三角形,即也为正三角形, ‎ 又底面 平面 ‎ ‎ 又四棱柱的体积为 ‎ ‎10. 如图,四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面平面, 分别为的中点, 为的中点,过作平面分别与交于点.‎ ‎(Ⅰ)当为中点时,求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)当时,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)要证明面面垂直,即证明线面垂直,根据条件可知,根据条件易证明,那么,所以平面,就证明了面面垂直;(Ⅱ)根据等体积转化.‎ 试题解析:‎ 解:(Ⅰ)为中点,所以四边形为矩形,所以当时, 为中点, 所以 ‎ 因为平面⊥平面, ,所以 ‎ 因为在面上,所以 所以⊥面 所以面⊥面 ‎ ‎∵为中点 ∴ ∴‎ 又∵平面∩平面 ∴,‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ 如图,在梯形中, ,‎ ‎ ∴, ‎ 所以三棱锥的体积.‎
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