【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第六章第三节基本不等式学案
第三节基本不等式
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)；(2)＋≥(a，b同号)；
(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，≥.( )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(3)x＞0且y>0是＋≥2的充要条件．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则的最大值为( )
A．9 B．18
C．36 D．81
解析：选A 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．若x<0，则x＋( )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D 因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
4．已知0
0，n>0)过点(1，－2)，则＋的最小值为( )
A．2 B．6
C．12 D．3＋2
解析：选D 因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，
所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，
所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当“＝，即n＝m”时取等号，
所以＋的最小值为3＋2，故选D.
[方法点拨]
1．常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．常数代换法求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．
方法(三) 消元法求最值
4．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得01)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解：(1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，
由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4 160(x>1)．
(2)S(x)＝80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．“a＞b＞0”是“ab＜”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.
2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy( )
A．有最大值为1 B．有最小值为1
C．有最大值为 D．有最小值为
解析：选C 因为x>0，y>0，x＋2y＝2，
所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，
当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．
所以xy有最大值，且最大值为.
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C 因为＋＝，所以a>0，b>0，
由＝＋≥2 ＝2 ，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
4．已知函数f(x)＝(x<－1)，则( )
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4
解析：选A f(x)＝＝－
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2，
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f(x)有最小值4.
5．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.
6．已知lg a＋lg b＝2，则lg(a＋b)的最小值为( )
A．1＋lg 2 B．2
C．1－lg 2 D．2
解析：选A 由lg a＋lg b＝2，可知a>0，b>0，
则lg(ab)＝2，即ab＝100.
所以a＋b≥2＝2＝20，
当且仅当a＝b＝10时取等号，
所以lg(a＋b)≥lg 20＝1＋lg 2.
故lg(a＋b)的最小值为1＋lg 2.
7．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．
解析：y＝＝
＝－＋15≤－2 ＋15＝3，
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3.
答案：3
8．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：∵x＞0，a＞0，
∴f(x)＝4x＋≥2 ＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．
又∵f(x)在x＝3时取得最小值，
∴a＝4×32＝36.
答案：36
9．(2017·山东高考)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
解析：∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，
∴＋＝1，
∵a＞0，b＞0，
∴2a＋b＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，
∴2a＋b的最小值为8.
答案：8
10．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8 ＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
B级——中档题目练通抓牢
1．设a>0，b>0，a＋b＝＋，则3a＋81b的最小值为( )
A．6 B．9
C．18 D．24
解析：选C 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
所以3a＋81b＝3a＋34b≥2
＝2≥2＝2
＝2×32＝18，
当且仅当a＝4b＝2时等号成立，故选C.
2．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，
即30≥15xy，所以xy≤2，
当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．
故xy的最大值为2.
3．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：选D 因为a＞0，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
令f(x)＝x2－4x－2，
则f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
4．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.
又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时取等号，
故函数f(x)的最小值为3.
答案：3
5．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥×(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.
答案：
6．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当＝，即x＝16且y＝4时等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
7．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
∴＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵00，
∴y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
C级——重难题目自主选做
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，
所以x千件商品销售额为0.05×1 000x＝50x万元，依题意得，当0＜x＜80时，L(x)＝50x－x2－10x－250＝－x2＋40x－250.
当x≥80时，L(x)＝50x－51x－＋1 450－250＝1 200－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950.
当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1 200－
≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000.
当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．“a＞b＞0”是“ab＜”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.
2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy( )
A．有最大值为1 B．有最小值为1
C．有最大值为 D．有最小值为
解析：选C 因为x>0，y>0，x＋2y＝2，
所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，
当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．
所以xy有最大值，且最大值为.
3.(2018·深圳三校联考)已知f(x)＝(x∈N*)，则f(x)在定义域上的最小值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选B f(x)＝＝x＋，
∵x∈N*，
∴x＋≥2 ＝2，
当且仅当x＝，即x＝时取等号．
但x∈N*，故x＝5或x＝6时，f(x)取最小值，
当x＝5时，f(x)＝，
当x＝6时，f(x)＝，
故f(x)在定义域上的最小值为.
4．已知函数f(x)＝(x<－1)，则( )
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4
解析：选A f(x)＝＝－
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f(x)的最小值为4.
5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，
即30≥15xy，所以xy≤2，当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．故xy的最大值为2.
6．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017＝4 034，则＋的最小值为________．
解析：由等差数列的前n项和公式，得S2 017＝＝4 034，则a1＋a2 017＝4.由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，所以＋＝＝＋＝≥2＋10＝4，当且仅当a2 009＝3a9时等号成立，故所求最小值为4.
答案：4
7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
8.已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.
答案：1
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
∴＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵00，
∴y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为80，所以c>0，则＋＝＋＝＋＝－＋－＝＋－≥2 －＝1－＝，当且仅当a＝c＝2时等号成立，故选B.
2.(2018·海淀期末)当0
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