高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系

一、选择题 ‎1．正方体的六个面中相互平行的平面有(　　)‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎[答案]　B ‎2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不相交 ‎[答案]　B ‎[解析]　由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．‎ ‎3．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有(　　)‎ A．l∥α B．l⊂α C．l与α相交 D．以上都有可能 ‎[答案]　C ‎[解析]　如图所示，l∩α＝M.‎ ‎4．给出以下结论：‎ ‎(1)直线a∥平面α，直线b⊂α，则a∥b.‎ ‎(2)若a⊂α，b⊄α，则a、b无公共点．‎ ‎(3)若a⊄α，则a∥α或a与α相交．‎ ‎(4)若a∩α＝A，则a⊄α.‎ 正确的个数为(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D ．4个 ‎[答案]　B ‎[解析]　其中(3)，(4)正确．‎ ‎5．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎[答案]　D ‎[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D‎1C1∥平面AC，有A1B1∥D‎1C1；取BB1和CC1的中点M，N，则MN∥B‎1C1，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面，故选D.‎ ‎6．平面α∥平面β，直线a∥α，则(　　)‎ A．a∥β B．a在面β上 C．a与β相交 D．a∥β或a⊂β ‎[答案]　D ‎[解析]　如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；‎ 如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D.‎ ‎7．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么(　　)‎ A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交 ‎[答案]　D ‎[解析]　如下图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线．这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.‎ ‎8．已知m、n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，则l(　　)‎ A．与m、n都相交 B．与m、n中至少一条相交 C．与m、n都不相交 D．与m、n中只有一条相交 ‎[答案]　C ‎[解析]　m∥平面α，则m与平面α没有公共点，∴m与l无公共点，同理由n∥β知n与l无公共点，故l与m、n都没有公共点．‎ 二、填空题 ‎9．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________．‎ ‎[答案]　平行或在平面内 ‎10．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是________．‎ ‎[答案]　平行或相交 ‎[解析]　可根据题意作图判断，如图(1)(2)所示，分别为两个平面平行、相交的情形．‎ ‎11．下列命题正确的有________．‎ ‎①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；‎ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；‎ ‎③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；‎ ‎④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；‎ ‎⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；‎ ‎⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.‎ ‎[答案]　①⑤‎ ‎[解析]　①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．‎ ‎12．以下结论中，正确的结论序号为________．‎ ‎①过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行；‎ ‎②过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行；‎ ‎③过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行；‎ ‎④过直线l外一点P，有且只有一个平面与l平行；‎ ‎⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；‎ ‎⑥l∥α，A∈α，过A与l平行的直线l1必在α内．‎ ‎[答案]　②③⑥‎ ‎[解析]　①错，②对，见图一，过P有无数条直线都与α平行，这无数条直线都在平面β内，有且只有一个β∥α；‎ ‎③对，④错，见图二，想一想打开的书页，一支笔与书脊平行；‎ ‎⑤错，可以在其中一个平面内；⑥对，假设l1不在α内，直线l与点A确定一个平面β，与α相交得交线l′，∵a∥α，∴a∥l′，又l∥l1，∴l1∥l′，这与l1∩l′＝A矛盾，故l1⊂α.‎ 三、解答题 ‎13．完成下列作图 ‎(1)在图中画出两个平行平面；(2)在图中画出两个相交平面；‎ ‎(3)在图中画出三个平行平面；(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交；‎ ‎(5)在图中分别画出三个两两相交的平面．‎ ‎[解析]　‎ ‎[规律总结]　两个相交平面的画法：‎ ‎①先画两个平行四边形的相交两边，如图(1)．‎ ‎②再画出表示两个平面交线的线段，如图(2)．‎ ‎③过图(1)中线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中表示交线的线段，如图(3)．‎ ‎④画出图(3)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线，可以用虚线，也可以不画)．‎ ‎14．如右图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，试判断 ‎(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系？‎ ‎(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系？‎ ‎(3)AM所在的直线与平面CDD‎1C1的位置关系？‎ ‎(4)CN所在的直线与平面CDD‎1C1的位置关系？‎ ‎[解析]　(1)AM所在的直线与平面ABCD相交．‎ ‎(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．‎ ‎(3)AM所在的直线与平面CDD‎1C1平行．‎ ‎(4)CN所在的直线与平面CDD‎1C1相交．‎ ‎15．如下图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．‎ ‎[解析]　a∥b，a∥β.证明如下：‎ 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，‎ 由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，‎ ‎∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．‎ 又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.‎ ‎∵α∥β，∴α与β无公共点，‎ 又a⊂α，‎ ‎∴a与β无公共点，∴a∥β.‎ ‎16．如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．‎ ‎[解析]　平面ABC与平面β的交线与l相交．‎ 证明：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，‎ ‎∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，‎ 则P∈AB，P∈l.‎ 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，‎ ‎∴P∈平面ABC，P∈β.‎ ‎∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C是不同的两点，‎ ‎∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．‎ 即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，‎ ‎∴平面ABC与平面β的交线与l相交．‎