华师版九年级上册数学同步课件-第24章-24解直角三角形及其简单应用

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第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 B A C c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____. 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中 ∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° a c b c a b 探究：比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线 与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂 足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m， AB＝54.5m. 0954.0 5.54 2.5sin  AB BCA 所以∠A≈5°28′ 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直 中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ A BC A BC 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用1 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与 地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子， 问： （1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多 少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ 例1 对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地 面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC ＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数 由于 4.0 6 4.2cos  AB ACa 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子 与地面所成的角大约是66°. 由50°＜66°＜75°可知， 这时使用这个梯子是安全的． A B C α 在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ sin sin 6 sin 75BCA BC AB A AB       cos cos 6 cos 75ACA AC AB A AB       90 90 90 75 15 .        A B B A     A B C α 6 =75° 已知一边和一锐角解直角三角形2 例2 在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ 2 2 2 2 2 2 26 2.4 5.5AB AC BC BC AB AC        2.4cos cos 0.4 66 6 ACA A A AB        90 90 90 66 24        A B B A     A B C α 6 2.4 由 ， 得 问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°， 斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． 问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端 与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到 墙面的最大高度约是5.8 m. AB BCA sin 75sin6sin  AABBC 所以 BC≈6×0.97≈5.8（m）. 由计算器求得 sin 75°≈0.97. A B C . 事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素． A Ba b c C 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程． 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ,解 这个直角三角形. 6,2  BCAC 解： 3 2 6tan  AC BCA 60 A  30609090  AB 222  ACAB A BC 2 6 , , , . 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线 ，解这个直角三角形.4 3AD  D A BC 6 4 3 解： 6 3cos 24 3 ACCAD AD     30CAD   因为AD平分∠BAC 60 , 30CAB B      12, 6 3AB BC   3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定理,得 2 2 2 230 20 10 13    c a b 30 3tan 1.5 20 2 aA b     56.3A   90 90 56.3 33.7B A         A B Cb=20 a=30 c ， ， ， . 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14. A B C b a c=14 解： sin bB c  sin 14 sin 72 13.3b c B    90 72 18A      cos aB c  cos 14 cos 72 4.33   a c B  ， ， ， ， . 4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾 斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时， 即梯子的长至少3.5米. C A B （2）两锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90°. （3）边角之间的关系： c aAA    斜边 的对边sin c bBB    斜边 的对边sin c bAA    斜边 的邻边cos c aBB    斜边 的邻边cos b a A AA     的邻边 的对边tan a b B BB     的邻边 的对边tan （1）三边之间的关系： 222 cba  （勾股定理）. A Ba b c C ★在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1．数形结合思想. ★方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果 示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造 出直角三角形. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. ★解题思想与方法小结