湖南省邵阳市2014年中考数学试卷

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湖南省邵阳市2014年中考数学试卷

湖南省邵阳市2014年中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2014•邵阳)介于( )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1和0之间 B.‎ ‎0和1之间 C.‎ ‎1和2之间 D.‎ ‎2和3之间 ‎ ‎ 考点:‎ 估算无理数的大小 分析:‎ 根据,可得答案.‎ 解答:‎ 解:∵2,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查了无理数比较大小,比较算术平方根的大小是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2014•邵阳)下列计算正确的是( )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2x﹣x=x B.‎ a3•a2=a6‎ C.‎ ‎(a﹣b)2=a2﹣b2‎ D.‎ ‎(a+b)(a﹣b)=a2+b2‎ ‎ ‎ 考点:‎ 完全平方公式;合并同类项;同底数幂的乘法;平方差公式有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ A、原式合并同类项得到结果,即可作出判断;‎ B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;‎ C、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可作出判断;‎ D、原式利用平方差公式计算得到结果,即可作出判断.‎ 解答:‎ 解:A、原式=x,正确;‎ B、原式=x5,错误;‎ C、原式=a2﹣2ab+b2,错误;‎ D、原式=a2﹣b2,‎ 故选A 点评:‎ 此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2014•邵阳)如图的罐头的俯视图大致是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ 考点:‎ 简单几何体的三视图 分析:‎ 俯视图即为从上往下所看到的图形,据此求解.‎ 解答:‎ 解:从上往下看易得俯视图为圆.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了三视图的知识,俯视图即从上往下所看到的图形.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2014•邵阳)如图是小芹6月1日﹣7日每天的自主学习时间统计图,则小芹这七天平均每天的自主学习时间是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1小时 B.‎ ‎1.5小时 C.‎ ‎2小时 D.‎ ‎3小时 ‎ ‎ 考点:‎ 算术平均数;折线统计图 分析:‎ 根据算术平均数的概念求解即可.‎ 解答:‎ 解:由图可得,这7天每天的学习时间为:2,1,1,1,1,1.5,3,‎ 则平均数为:=1.5.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了算术平均数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2014•邵阳)如图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.‎ ‎45°‎ B.‎ ‎54°‎ C.‎ ‎40°‎ D.‎ ‎50°‎ ‎ ‎ 考点:‎ 平行线的性质;三角形内角和定理 分析:‎ 根据三角形的内角和定理求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAD,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ADE=∠BAD.‎ 解答:‎ 解:∵∠B=46°,∠C=54°,‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°,‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°,‎ ‎∵DE∥AB,[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎∴∠ADE=∠BAD=40°.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,熟记性质与概念是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2014•邵阳)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ 考点:‎ 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组 分析:‎ 先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.‎ 解答:‎ 解:,解得,‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2014•邵阳)地球的表面积约为511000000km2,用科学记数法表示正确的是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5.11×1010km2‎ B.‎ ‎5.11×108km2‎ C.‎ ‎51.1×107km2‎ D.‎ ‎0.511×109km2‎ ‎ ‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于511000000有9位,所以可以确定n=9﹣1=8.‎ 解答:‎ 解:511 000 000=5.11×108.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2014•邵阳)如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.已知∠A=30°,则∠C的大小是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.‎ ‎30°‎ B.‎ ‎45°‎ C.‎ ‎60°‎ D.‎ ‎40°‎ ‎ ‎ 考点:‎ 切线的性质 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB,则∠ABO=90°,利用∠A=30°得到∠AOB=60°,再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC,由于∠C=∠OBC,所以∠C=AOB=30°.‎ 解答:‎ 解:连结OB,如图,‎ ‎∵AB与⊙O相切,‎ ‎∴OB⊥AB,‎ ‎∴∠ABO=90°,‎ ‎∵∠A=30°,‎ ‎∴∠AOB=60°,‎ ‎∵∠AOB=∠C+∠OBC,‎ 而∠C=∠OBC,‎ ‎∴∠C=AOB=30°.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2014•邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.‎ 甲种方案所用铁丝最长 B.‎ 乙种方案所用铁丝最长 ‎ ‎ C.‎ 丙种方案所用铁丝最长 D.‎ 三种方案所用铁丝一样长 ‎ ‎ 考点:‎ 生活中的平移现象 分析:‎ 分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度,进而得出答案.‎ 解答:‎ 解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b,‎ 乙所用铁丝的长度为:2a+2b,‎ 丙所用铁丝的长度为:2a+2b,‎ 故三种方案所用铁丝一样长.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 此题主要考查了生活中的平移现象,得出各图形中铁丝的长是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2014•邵阳)已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点,则a与b的大小关系是( )‎ ‎ ‎ A.‎ a>b B.‎ a=b C.‎ a<b D.‎ 以上都不对 ‎ ‎ 考点:‎ 一次函数图象上点的坐标特征 分析:‎ 根据一次函数的增减性,k<0,y随x的增大而减小解答.‎ 解答:‎ 解:∵k=﹣2<0,‎ ‎∴y随x的增大而减小,‎ ‎∵1<2,‎ ‎∴a>b.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数的增减性求解更简便.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共8个小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2014•邵阳)已知∠α=13°,则∠α的余角大小是 77° .‎ ‎ ‎ 考点:‎ 余角和补角.‎ 分析:‎ 根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:∵∠α=13°,‎ ‎∴∠α的余角=90°﹣13°=77°.‎ 故答案为:77°.‎ 点评:‎ 本题考查了余角的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2014•邵阳)将多项式m2n﹣2mn+n因式分解的结果是 n(m﹣1)2 .‎ ‎ ‎ 考点:‎ 提公因式法与公式法的综合运用 分析:‎ 先提取公因式n,再根据完全平方公式进行二次分解.‎ 解答:‎ 解:m2n﹣2mn+n,‎ ‎=n(m2﹣2m+1),‎ ‎=n(m﹣1)2.‎ 故答案为:n(m﹣1)2.‎ 点评:‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2014•邵阳)若反比例函数的图象经过点(﹣1,2),则k的值是 ﹣2 .‎ ‎ ‎ 考点:‎ 待定系数法求反比例函数解析式 分析:‎ 因为(﹣1,2)在函数图象上,k=xy,从而可确定k的值.‎ 解答:‎ 解:∵图象经过点(﹣1,2),‎ ‎∴k=xy=﹣1×2=﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ 点评:‎ 本题考查待定系数法求反比例函数解析式,关键知道反比例函数式的形式,从而得解.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2014•邵阳)如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: △ABP∽△AED .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 相似三角形的判定;平行四边形的性质 专题:‎ 开放型.‎ 分析:‎ 可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED.‎ 解答:‎ 解:∵BP∥DF,‎ ‎∴△ABP∽△AED.‎ 故答案为△ABP∽△AED.‎ 点评:‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2014•邵阳)有一个能自由转动的转盘如图,盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 几何概率 分析:‎ 求出白色扇形在整个转盘中所占的比例即可解答.‎ 解答:‎ 解:∵每个扇形大小相同,因此阴影面积与空白的面积相等,‎ ‎∴落在白色扇形部分的概率为:=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 此题主要考查了几何概率,用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2014•邵阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′,则点A′的坐标是 (﹣4,3) .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 坐标与图形变化-旋转 分析:‎ 过点A作AB⊥x轴于B,过点A′作A′B′⊥x轴于B′,根据旋转的性质可得OA=OA′,利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′,然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等,根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB,A′B′=OB,然后写出点A′的坐标即可.‎ 解答:‎ 解:如图,过点A作AB⊥x轴于B,过点A′作A′B′⊥x轴于B′,‎ ‎∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′,‎ ‎∴OA=OA′,∠AOA′=90°,‎ ‎∵∠A′OB′+∠AOB=90°,∠AOB+∠OAB=90°,‎ ‎∴∠OAB=∠A′OB′,‎ 在△AOB和△OA′B′中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOB≌△OA′B′(AAS),‎ ‎∴OB′=AB=4,A′B′=OB=3,‎ ‎∴点A′的坐标为(﹣4,3).‎ 故答案为:(﹣4,3).‎ 点评:‎ 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2014•邵阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AC于点E.∠A=30°,AB=8,则DE的长度是 2 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 三角形中位线定理;含30度角的直角三角形.‎ 分析:‎ 根据D为AB的中点可求出AD的长,再根据在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度.‎ 解答:‎ 解:∵D为AB的中点,AB=8,‎ ‎∴AD=4,‎ ‎∵DE⊥AC于点E,∠A=30°,‎ ‎∴DE=AD=2,‎ 故答案为:2.‎ 点评:‎ 本题考查了直角三角形的性质:直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2014•邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E点,…,依此类推,这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 规律型:图形的变化类;数轴 专题:‎ 规律型.‎ 分析:‎ 根据数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),分别求出点所对应的数,进而求出点到原点的距离;然后对奇数项、偶数项分别探究,找出其中的规律(相邻两数都相差3),写出表达式;然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式,就可解决问题.‎ 解答:‎ 解:由题意可得:‎ 移动1次后该点对应的数为0+1=1,到原点的距离为1;‎ 移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2,到原点的距离为2;‎ 移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4,到原点的距离为4;‎ 移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5,到原点的距离为5;‎ 移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7,到原点的距离为7;‎ 移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8,到原点的距离为8;‎ ‎…‎ ‎∴移动(2n﹣1)次后该点到原点的距离为3n﹣2;‎ 移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1.‎ ‎①当3n﹣2≥41时,‎ 解得:n≥‎ ‎∵n是正整数,‎ ‎∴n最小值为15,此时移动了29次.‎ ‎②当3n﹣1≥41时,‎ 解得:n≥14.‎ ‎∵n是正整数,‎ ‎∴n最小值为14,此时移动了28次.‎ 纵上所述:至少移动28次后该点到原点的距离不小于41.‎ 故答案为:28.‎ 点评:‎ 本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量,考查了数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加),考查了一列数的规律探究.对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎19.(8分)(2014•邵阳)计算:()﹣2﹣+2sin30°.‎ ‎ ‎ 考点:‎ 实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值 分析:‎ 本题涉及负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.‎ 解答:‎ 解:原式=4﹣2+1‎ ‎=3.‎ 点评:‎ 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2014•邵阳)先化简,再求值:(﹣)•(x﹣1),其中x=2.‎ ‎ ‎ 考点:‎ 分式的化简求值 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.‎ 解答:‎ 解:原式=•(x﹣1)=,‎ 当x=2时,原式=.‎ 点评:‎ 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2014•邵阳)如图,已知点A、F、E、C在同一直线上,AB∥CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE.‎ ‎(1)从图中任找两组全等三角形;‎ ‎(2)从(1)中任选一组进行证明.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 全等三角形的判定 分析:‎ ‎(1)根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF,△AFD≌△CEB;‎ ‎(2)根据AB∥CD可得∠1=∠2,根据AF=CE可得AE=FC,然后再证明△ABE≌△CDF即可.‎ 解答:‎ 解:(1)△ABE≌△CDF,△AFD≌△CEB;‎ ‎(2)∵AB∥CD,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵AF=CE,‎ ‎∴AF+EF=CE+EF,‎ 即AE=FC,‎ 在△ABE和△CDF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△CDF(AAS).‎ 点评:‎ 此题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.‎ 注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.‎ ‎ ‎ 四、应用题(共3个小题,每小题8分,共24分)‎ ‎22.(8分)(2014•邵阳)网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查,得到了如图所示的两个不完全统计图.‎ ‎ ‎ 请根据图中的信息,解决下列问题:‎ ‎(1)求条形统计图中a的值;‎ ‎(2)求扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角;‎ ‎(3)据报道,目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万,请估计其中12﹣23岁的人数.‎ ‎ ‎ 考点:‎ 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图 专题:‎ 图表型.‎ 分析:‎ ‎(1)用30~35岁的人数除以所占的百分比求出被调查的人数,然后列式计算即可得解;‎ ‎(2)用360°乘以18~23岁的人数所占的百分比计算即可得解;‎ ‎(3)用网瘾总人数乘以12~23岁的人数所占的百分比计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:(1)被调查的人数=330÷22%=1500人,‎ a=1500﹣450﹣420﹣330=1500﹣1200=300人;‎ ‎(2)360°××100%=108°;‎ ‎(3)∵12﹣35岁网瘾人数约为2000万,‎ ‎∴12~23岁的人数约为2000万×=400万.‎ 点评:‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2014•邵阳)小武新家装修,在装修客厅时,购进彩色地砖和单色地砖共100块,共花费5600元.已知彩色地砖的单价是80元/块,单色地砖的单价是40元/块.‎ ‎(1)两种型号的地砖各采购了多少块?‎ ‎(2)如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块,且采购地砖的费用不超过3200元,那么彩色地砖最多能采购多少块?‎ ‎ ‎ 考点:‎ 二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用 分析:‎ ‎(1)设彩色地砖采购x块,单色地砖采购y块,根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可;‎ ‎(2)设购进彩色地砖a块,则单色地砖购进(60﹣a)块,根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式,求出其解即可.‎ 解答:‎ 解:(1)设彩色地砖采购x块,单色地砖采购y块,由题意,得 ‎,‎ 解得:.‎ 答:彩色地砖采购40块,单色地砖采购60块;‎ ‎(2)设购进彩色地砖a块,则单色地砖购进(60﹣a)块,由题意,得 ‎80a+40(60﹣a)≤3200,‎ 解得:a≤20.‎ ‎∴彩色地砖最多能采购20块.‎ 点评:‎ 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,列一元一次不等式解实际问题的运用,解答时认真分析单价×数量=‎ 总价的关系建立方程及不等式是关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(8分)(2014•邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 分析:‎ 过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里,再解Rt△CBD中,得出BC=≈50,然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间.‎ 解答:‎ 解:如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.‎ 在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=80海里,‎ ‎∴CD=AC=40海里.‎ 在Rt△CBD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=90°﹣37°=53°,‎ ‎∴BC=≈=50(海里),‎ ‎∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为:50÷40=(小时).‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ 五、综合题(共2小题,25题8分,26题10分,共18分)‎ ‎25.(8分)(2014•邵阳)准备一张矩形纸片,按如图操作:‎ 将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.‎ ‎(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;‎ ‎(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 翻折变换(折叠问题);平行四边形的判定;菱形的性质 分析:‎ ‎(1)根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF,DE∥BF,根据平行四边形判定推出即可.‎ ‎(2)求出∠ABE=30°,根据直角三角形性质求出AE、BE,再根据菱形的面积计算即可求出答案.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∴∠ABD=∠CDB,‎ ‎∴∠EBD=∠FDB,‎ ‎∴EB∥DF,‎ ‎∵ED∥BF,‎ ‎∴四边形BFDE为平行四边形.‎ ‎(2)解:∵四边形BFDE为菱形,‎ ‎∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD=BC,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ABE=30°,‎ ‎∵∠A=90°,AB=2,‎ ‎∴AE==,BF=BE=2AE=,‎ ‎∴菱形BFDE的面积为:×2=.‎ 点评:‎ 本题考查了平行四边形的判定,菱形的性质,矩形的性质,含30度角的直角三角形性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)(2014•邵阳)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.‎ ‎(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;‎ ‎(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,﹣1),求∠ACB的大小;‎ ‎(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点:‎ 二次函数综合题 分析:‎ ‎(1)已知m,n的值,即已知抛物线解析式,求解y=0时的解即可.此时y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n),所以也可直接求出方程的解,再代入m,n的值,推荐此方式,因为后问用到的可能性比较大.‎ ‎(2)求∠ACB,我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断,所以利用条件易得﹣1=mn,进而可以用m来表示A、B点的坐标,又C已知,则易得AB、BC、AC边长.讨论即可.‎ ‎(3)△ABC是等腰三角形,即有三种情形,AB=AC,AB=BC,AC=BC.由(2)我们可以用n表示出其三边长,则分别考虑列方程求解n即可.‎ 解答:‎ 解:(1)∵y=x2﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n),‎ ‎∴x=m或x=n时,y都为0,‎ ‎∵m>n,且点A位于点B的右侧,‎ ‎∴A(m,0),B(n,0).‎ ‎∵m=2,n=1,‎ ‎∴A(2,0),B(1,0).‎ ‎(2)∵抛物线y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)过C(0,﹣1),‎ ‎∴﹣1=mn,‎ ‎∴n=﹣,‎ ‎∵B(n,0),‎ ‎∴B(﹣,0).‎ ‎∵AO=m,BO=﹣,CO=1‎ ‎∴AC==,‎ ‎ BC==,‎ ‎ AB=AO+BO=m﹣,‎ ‎∵(m﹣)2=()2+()2,‎ ‎∴AB2=AC2+BC2,‎ ‎∴∠ACB=90°.‎ ‎(3)∵A(m,0),B(n,0),C(0,mn),且m=2,‎ ‎∴A(2,0),B(n,0),C(0,2n).‎ ‎∴AO=2,BO=|n|,CO=|2n|,‎ ‎∴AC==,‎ ‎ BC==|n|,‎ ‎ AB=xA﹣xB=2﹣n.‎ ‎①当AC=BC时,=|n|,解得n=2(A、B两点重合,舍去)或n=﹣2;‎ ‎②当AC=AB时,=2﹣n,解得n=0(B、C两点重合,舍去)或n=﹣;‎ ‎③当BC=AB时,|n|=2﹣n,‎ 当n>0时,n=2﹣n,解得n=,‎ 当n<0时,﹣n=2﹣n,解得n=﹣.‎ 综上所述,n=﹣2,﹣,﹣,时,△ABC是等腰三角形.‎ 点评:‎ 本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识,总体难度适中,是一道非常值得学生加强联系的题目.‎ ‎ ‎
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