2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章　5 第5讲　指数与指数函数

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章　5 第5讲　指数与指数函数

第 5 讲 指数与指数函数 1．根式 (1)根式的概念 ①若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*.式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫做被开方数． ②a 的 n 次方根的表示： xn＝a ⇒ x＝n a，当 n 为奇数且 n∈N*，n>1 时， x＝±n a，当 n 为偶数且 n∈N*时. (2)根式的性质 ①(n a)n＝a(n∈N*，且 n>1)． ②n an＝ a，n 为奇数， |a|＝ a，a≥0， －a，a<0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a m n＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)； ②负分数指数幂：a－m n ＝ 1 a m n ＝ 1 n am (a>0，m，n∈N*，且 n>1)； ③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象及性质 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1) 图象 01 图象特征 在 x 轴上方，过定点(0，1) 当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 减 增 函数值 变化 规律 当 x＝0 时，y＝1 当 x<0 时，y>1； 当 x>0 时，00 时，y>1 4.指数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数 y＝ax，y＝bx，y＝cx， y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示． 作出直线 x＝1，分别与四个图象自上而下交于点 A(1，a)，B(1，b)， C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据 y 轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n an＝(n a)n＝a.( ) (2)(－1) 2 4＝(－1) 1 2＝ －1.( ) (3)函数 y＝a－x 是 R 上的增函数．( ) (4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( ) (5)函数 y＝2x－1 是指数函数．( ) (6)若 am0，且 a≠1)，则 m0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为________． 解析：令 x－2＝0，则 x＝2，f(2)＝3，即 A 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3) [易错纠偏] (1)忽略 n 的范围导致式子n an(a∈R)化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4＝________． 解析：3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4＝(1＋ 2)＋( 2－1)＝2 2. 答案：2 2 2．若函数 f(x)＝(a2－3)·ax 为指数函数，则 a＝________． 解析：由题意知 01 时，a＝2；当 00 且 2 1 x－1≠1. 答案：(0，1)∪(1，＋∞) 指数幂的运算 化简下列各式： (1) 23 5 0 ＋2－2· 21 4 －1 2－(0.01)0.5； (2)5 6a 1 3·b－2· －3a－1 2b－1 ÷(4a 2 3·b－3)1 2(a，b>0)． 【解】 (1)原式＝1＋1 4 × 4 9 1 2－ 1 100 1 2＝1＋1 4 ×2 3 － 1 10 ＝1＋1 6 － 1 10 ＝16 15. (2)原式＝－5 2a－1 6b－3÷(4a 2 3·b－3)1 2 ＝－5 4a－1 6b－3÷ a 1 3b－3 2 ＝－5 4a－1 2 ·b－3 2 ＝－5 4 · 1 ab3 ＝－5 ab 4ab2 . 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来 解答． [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形 式力求统一． 化简下列各式： (1)(0.027) 2 3＋ 27 125 －1 3－ 27 9 0.5 ； (2) 1 4 －1 2· （ 4ab－1）3 （0.1）－1·（a3·b－3） 1 2 . 解：(1)原式＝0.32＋ 125 27 1 3－ 25 9 ＝ 9 100 ＋5 3 －5 3 ＝ 9 100. (2)原式＝2（4ab－1） 3 2 10a 3 2b－3 2 ＝ 16a 3 2b－3 2 10a 3 2b－3 2 ＝8 5. 指数函数的图象及应用 (1)函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( ) (2)函数 f(x)＝|ax＋b|(a>0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则 a＋b 的取值范围是________． (3)若方程|3x－1|＝k 有一解，则 k 的取值范围为________． 【解析】 (1)函数 f(x)＝21－x＝2× 1 2 x ，单调递减且过点(0，2)，选项 A 中的图象符合 要求． (2)因为根据图象得 a>1，f(1 2)＝0，b<0. 所以 a＋b＝0，所以 a＋b＝a－ a>1－ 1＝0. (3)函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单 位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数 图象如图所示． 当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一的 交点，所以方程有一解． 【答案】 (1)A (2)(0，＋∞) (3){0}∪[1，＋∞) 应用指数函数图象的 4 个技巧 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1 a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不 满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平 移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． (4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求 解． 1．函数 y＝xax |x| (a>1)的图象大致是( ) 解析：选 B.y＝ ax，x>0， －ax，x<0， 因为 a>1，依据指数函数的图象特征可知选 B. 2．若函数 y＝21－x＋m 的图象不经过第一象限，则 m 的取值范围为________． 解析：y＝ 1 2 x－1 ＋m， 函数 y＝ 1 2 x－1 的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则 m≤－2. 答案：(－∞，－2] 指数函数的性质及应用(高频考点) 指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题 的形式出现．主要命题角度有： (1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)复合函数的单调性； (4)函数的值域(最值)． 角度一 比较指数式的大小 设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．a0.60.6>0.61.5， 即 b0，所以 1.50.6>1.50＝1，即 c>1. 综上，b－3，此时－30，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是 14，则 a 的值 为( ) A.1 3 B．1 C．3 D.1 3 或 3 【解析】 令 ax＝t，则 y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当 a>1 时，因为 x∈[－1，1]，所以 t∈ 1 a ，a ， 又函数 y＝(t＋1)2－2 在 1 a ，a 上单调递增， 所以 ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3(负值舍去)． 当 01.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 解析：选 B.A 中，因为函数 y＝1.7x 在 R 上是增函数，2.5<3，所以 1.72.5<1.73.B 中，因 为 y＝0.6x 在 R 上是减函数，－1<2，所以 0.6－1>0.62.C 中，因为 0.8－1＝1.25，所以问题转化 为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小．因为 y＝1.25x 在 R 上是增函数，0.1<0.2，所以 1.250.1<1.250.2， 即 0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为 1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以 1.70.3>0.93.1. 4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数 f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足 f(1)＝1 9 ，则 f(x)的 单调递减区间是 ( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：选 B.由 f(1)＝1 9 得 a2＝1 9. 又 a>0，所以 a＝1 3 ，因此 f(x)＝ 1 3 |2x－4| . 因为 g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)． 5．已知函数 y＝f(x)与 y＝F(x)的图象关于 y 轴对称，当函数 y＝f(x)和 y＝F(x)在区间[a， b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数 y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为 函数 y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数 t 的取值范围是( ) A．(0，2] B. 1 2 ，＋∞ C. 1 2 ，2 D. 1 2 ，2 ∪[4，＋∞) 解析：选 C.因为函数 y＝f(x)与 y＝F(x)的图象关于 y 轴对称， 所以 F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|， 因为区间[1，2]为函数 f(x)＝|2x－t|的“不动区间”， 所以函数 f(x)＝|2x－t|和函数 F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同， 因为 y＝2x－t 和函数 y＝2－x－t 的单调性相反， 所以(2x－t)(2－x－t)≤0 在[1，2]上恒成立， 即 1－t(2x＋2－x)＋t2≤0 在[1，2]上恒成立， 即 2－x≤t≤2x 在[1，2]上恒成立， 即1 2 ≤t≤2，故答案为 C. 6．指数函数 y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则 f(0)＋f(－m)＝________． 解析：设 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)，所以 f(0)＝a0＝1. 且 f(m)＝am＝3. 所以 f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋ 1 am ＝4 3. 答案：4 3 7．(2020·杭州中学高三月考)已知 ex＋x3＋x＋1＝0， 1 e3y －27y3－3y＋1＝0，则 ex＋3y 的值 为________． 解析：因为 ex＋x3＋x＋1＝0，1 e3y －27y3－3y＋1＝0 等价于 e－3y＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0， 所以 x＝－3y，即 x＋3y＝0，所以 ex＋3y＝e0＝1. 答案：1 8．若函数 f(x)＝ ax，x>1， （2－3a）x＋1，x≤1 是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析：依题意，a 应满足 00，a≠1，b∈R)． (1)若 f(x)为偶函数，求 b 的值； (2)若 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求 a，b 应满足的条件． 解：(1)因为 f(x)为偶函数， 所以对任意的 x∈R，都有 f(－x)＝f(x)， 即 a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得 b＝0. (2)记 h(x)＝|x＋b|＝ x＋b，x≥－b， －x－b，x<－b. ①当 a>1 时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 即 h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2. ②当 01 且 b≥－2. [综合题组练] 1．已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 解析：选 D.作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为 af(c)>f(b)，结合图象知，00，所以 0<2a<1.所以 f(a) ＝|2a－1|＝1－2a<1，所以 f(c)<1，所以 0f(c)，所以 1－2a>2c－1，所以 2a＋2c<2，故选 D. 2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数 f(x)＝ （1 2 ）x，x＞0 －x2－4x，x≤0 ，则此函数图象上关于原点 对称的点有( ) A．0 对 B．1 对 C．2 对 D．3 对 解析：选 B.作出函数 y＝f(x)图象如图所示： 再作出－y＝f(－x)，即 y＝x2－4x，恰好与函数图象位于 y 轴左侧部分(对数函数的图象) 关于原点对称，记为曲线 C，发现 y＝ 1 2 x 与曲线 C 有且仅有一个交点， 因此满足条件的对称点只有一对，图中的 A、B 就是符合题意的点．故选 B. 3．(2020·杭州模拟)已知函数 y＝ax＋b(a>0，且 a≠1，b>0)的图象经 过点 P(1，3)，如图所示，则 4 a－1 ＋1 b 的最小值为________，此时 a，b 的值分别为________． 解析：由函数 y＝ax＋b(a>0 且 a≠1，b>0)的图象经过点 P(1，3)，得 a＋b＝3，所以a－1 2 ＋ b 2 ＝ 1 ， 又 a>1 ， 则 4 a－1 ＋ 1 b ＝ 4 a－1 ＋1 b a－1 2 ＋b 2 ＝ 2 ＋ 1 2 ＋ 2b a－1 ＋ a－1 2b ≥ 5 2 ＋ 2 2b a－1 ·a－1 2b ＝9 2 ，当且仅当 2b a－1 ＝a－1 2b ，即 a＝7 3 ，b＝2 3 时取等号，所以 4 a－1 ＋1 b 的最小值 为9 2. 答案：9 2 7 3 ，2 3 4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数 f(x)＝e|x|，将函数 f(x)的图象向右平移 3 个单位后， 再向上平移 2 个单位，得到函数 g(x)的图象，函数 h(x)＝ e（x－1）＋2，x≤5， 4e6－x＋2，x>5， 若对于任意 的 x∈[3，λ](λ>3)，都有 h(x)≥g(x)，则实数λ的最大值为________． 解析：依题意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐标系中分别作 出 g(x)，h(x)的图象如图所示，观察可得，要使得 h(x)≥g(x)，则有 4e6－x ＋2≥e(x－3)＋2，故 4≥e2x－9，解得 2x－9≤ln 4，故 x≤ln 2＋9 2 ，实数λ的最 大值为 ln 2＋9 2. 答案：ln 2＋9 2 5．已知函数 f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)在 x∈[－3，0]上的值域； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝0 有解，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝2·4x－2x－1 ＝2(2x)2－2x－1， 令 t＝2x，x∈[－3，0]，则 t∈ 1 8 ，1 . 故 y＝2t2－t－1＝2 t－1 4 2 －9 8 ，t∈ 1 8 ，1 ， 故值域为 －9 8 ，0 . (2)关于 x 的方程 2a(2x)2－2x－1＝0 有解， 设 2x＝m>0， 等价于方程 2am2－m－1＝0 在(0，＋∞)上有解， 记 g(m)＝2am2－m－1， 当 a＝0 时，解为 m＝－1<0，不成立． 当 a<0 时，开口向下，对称轴 m＝ 1 4a<0， 过点(0，－1)，不成立． 当 a>0 时，开口向上，对称轴 m＝ 1 4a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得 a>0. 6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数 f(x)＝ 1 3 x ，x∈[－1，1]，函数 g(x)＝[f(x)]2－2af(x) ＋3 的最小值为 h(a)． (1)求 h(a)； (2)是否存在实数 m，n 同时满足下列条件： ①m>n>3； ②当 h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出 m，n 的值；若不存在， 说明理由． 解：(1)因为 x∈[－1，1]， 所以 f(x)＝ 1 3 x ∈ 1 3 ，3 ， 设 t＝ 1 3 x ∈ 1 3 ，3 . 则 y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2. 当 a<1 3 时，ymin＝h(a)＝φ 1 3 ＝28 9 －2a 3 ； 当1 3 ≤a≤3 时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2； 当 a>3 时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a. 所以 h(a)＝ 28 9 －2a 3 ，a<1 3 ， 3－a2，1 3 ≤a≤3， 12－6a，a>3. (2)假设存在 m，n 满足题意． 因为 m>n>3，h(a)＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又因为 h(a)的定义域为[n，m]， 值域为[n2，m2]， 所以 12－6m＝n2， 12－6n＝m2， 两式相减得 6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即 m＋n＝6，与 m>n>3 矛盾， 所以满足题意的 m，n 不存在．