2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二4月月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二4月月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二4月月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数（ ）‎ A. 1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：复数运算 ‎2．点M的极坐标为，则它的直角坐标为(　　)‎ A．(，1) B．(－1，) C．(1，) D．(－，－1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直角坐标与极坐标间的关系，可求点M的直角坐标．‎ ‎【详解】‎ 点M的极坐标为，x＝ρcosθ＝2cos＝1，‎ y＝ρsinθ＝2sin＝，∴点M的直角坐标是(1，)．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，考查三角函数求值，属于基础题．‎ ‎3．下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（ ）‎ ‎①因为指数函数是增函数；②所以是增函数；③而是指数函数 A．① B．② C．①② D．③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把三段话写成三段论，大前提：因为指数函数y=ax（a＞1）是增函数，小前提：而y=2x是指数函数，结论：所以y=2x是增函数．得到小前提．‎ ‎【详解】‎ 三段话写成三段论是：‎ 大前提：因为指数函数y=ax（a＞1）是增函数，‎ 小前提：而y=2x是指数函数，‎ 结论：所以y=2x是增函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查演绎推理的基本方法，本题解题的关键是对于所给的命题比较理解，能够用三段论形式表示出来，本题是一个基础题．‎ ‎4．曲线的极坐标方程 化为直角坐标为   ‎ A． B．‎ C．  D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 此题考查极坐标方程的知识 答案 B 点评：通过极坐标的公式就可以直接转化 ‎5．若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把分子展开平方运算，然后利用复数的除法运算化简求值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，∴=．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．‎ ‎6．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）‎ A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除 C．b不能被3整除 D．a不能被3整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除.‎ 考点：反证法.‎ ‎7．以直角坐标系的原点为极点x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．则曲线C1：ρ2－2ρcosθ－1＝0上的点到曲线C2：为参数)上的点的最短距离为(　 　)‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，求圆心到直线的距离d，可得圆上点到直线的最短距离为d﹣r．‎ ‎【详解】‎ 曲线C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣1＝0化为x2+y2﹣2x﹣1＝0，配方为（x﹣1）2+y2＝2．‎ 曲线C2：为参数)，化为x+y﹣4＝0，‎ 圆心到直线的距离d＝．‎ ‎∴圆上的点到直线的最短距离为d﹣r＝，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8．已知极坐标系中,点A,B,若O为极点,则△OAB为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理可得|AB|，再利用勾股定理的逆定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎|AB|= ‎ 可得|AB|2+|OB|2=|OA|2，∴AB⊥OB．‎ 又，∴△ABO为等腰直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9．三角形的面积为，其中，，为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．，（为四面体的高）‎ D．，（，，，分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．‎ ‎【详解】‎ 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，‎ 根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，‎ ‎∴V（S1+S2+S3+S4）r，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），本题是由平面图形面积类比立体图形的体积，属于基础题.‎ ‎10．已知下列命题：‎ ‎①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；‎ ‎②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于；‎ ‎③对分类变量与，的观测值越小，“与有关系”的把握程度越大；‎ ‎④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．则正确命题的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计的初步知识，对选项中的命题真假性判断正误即可．‎ ‎【详解】‎ 对于①，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，故①错误；‎ 对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；‎ 对于③，对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故③错误；‎ 对于④，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故④正确；故正确命题的个数为1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．‎ ‎11．设r>0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆是参数)的位置关系是 (　 　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．视r的大小而定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：通过参数方程求出圆心与半径，求出圆心到直线距离，与半径作比较，从而确定直线与圆的位置关系.‎ 详解：由参数方程可得圆心坐标为，半径为R.‎ 圆心到直线距离，所以直线与圆相切，故选B.‎ 点睛：本题考查直线和圆的位置关系，应用圆心到直线的距离与半径作比较即可.‎ ‎12．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2sinθ，A、B为曲线C的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标中，曲线E：是参数)上一点P，则∠APB的最大值为 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线C和曲线E的方程化为直角坐标方程，当∠APB取最大值时，PA、PB与圆C相切，且PC最短即PC⊥l，利用直角三角形的边角关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由曲线C：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，‎ ‎∴x2+y2＝2y，配方为x2+（y﹣1）2＝1．‎ 曲线E：，消去参数t可得普通方程为3x+4y+6＝0．‎ 当∠APB取最大值时，PA、PB与圆C相切，且PC最短即PC⊥l，‎ 圆心C到直线l的距离为，‎ 此时在Rt△PAC中，，故，‎ 则∠APB的最大值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、圆的切线的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部与虚部相等列式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（1+2i）（a+i）＝（a﹣2）+（2a+1）i的实部与虚部相等，‎ ‎∴a﹣2＝2a+1，即a＝﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，属于简单题．‎ ‎14．观察下列式子：，，，… ，则可以猜想：当时，有 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 结合题意所给的不等式归纳推理可得：‎ 第个不等式为 .‎ 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎15．已知曲线C： (为参数)，与直线： (t为参数)，交于两点，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线C： (t为参数)的普通方程为，表示圆心为，半径的圆．‎ 直线： (t为参数)的普通方程为．‎ ‎∴圆心到直线的距离为，‎ ‎∴．‎ 答案： ‎ ‎16．已知直线l的参数方程为：为参数)，椭圆C的参数方程为：为参数)，若它们总有公共点 ，则a取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点， 对判别式进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ 直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去t化为普通方程为ax﹣y﹣1＝0，且,‎ 椭圆C的参数方程为：（θ为参数），消去参数化为．‎ 联立直线与椭圆，消y整理得，‎ 若它们总有公共点，则，解得且,‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数．‎ ‎（1）若，为纯虚数，求；‎ ‎（2）若，求，的值．‎ ‎【答案】(1) (2)m=0,n=-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为纯虚数，所以．‎ 又，所以，，从而． ‎ 因此． ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 即．又，为实数， ‎ 所以 ‎ 解得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎18．某研究性学习小组对昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系进行研究，下面是3月1日至5日每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数的详细记录：‎ ‎(1)根据3月2日至3月4日的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ 日期 ‎3月1日 ‎3月2日 ‎3月3日 ‎3月4日 ‎3月5日 温差 ‎ ‎10 ‎ ‎11 ‎ ‎13 ‎ ‎12 ‎ ‎8 ‎ 发芽数颗 ‎ ‎23 ‎ ‎25 ‎ ‎30 ‎ ‎26 ‎ ‎16 ‎ ‎(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均小于2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？‎ 参考公式：，．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出温差x和发芽数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a值，即得线性回归方程；（2）分别验证当x＝10及x＝8时的y值，验证|y﹣23|＜2及|y﹣16|＜2可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由数据，求得，， ．‎ ‎ ， ， ．由公式，求得， ‎ ‎ ．‎ 所以y关于x的线性回归方程为．‎ ‎（2）当x＝10时， ，|22﹣23|＜2；‎ 同样，当x＝8时，，|17﹣16|＜2．‎ 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求线性回归方程，并且用线性回归方程来预报y值，从而得到预报值与检验数据的误差，得到线性回归方程是否可靠，属于基础题．‎ ‎19．已知圆的极坐标方程为：ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0. ‎ ‎(1)将极坐标方程化为普通方程； ‎ ‎(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0(2) 最大值为6，最小值为2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式化简即可得到答案；（2）根据圆的标准方程求得圆的参数方程，并代入x+y中，利用辅助角公式和正弦函数图像的性质可得最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由圆的极坐标方程ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0，‎ 可得ρ2－4ρ（ cosθ+sinθ）＋6＝0，‎ 化为直角坐标方程为 x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0．‎ ‎（2）圆的方程即 （x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，表示以（2，2）为圆心，半径等于的圆．‎ 由于点P（x，y）在该圆上，设x＝2+cosθ，y＝2+sinθ，‎ 则x+y＝4+（sinθ+cosθ）＝4+2sin（θ+），‎ 故x+y的最大值为4+2＝6，最小值为4﹣2＝2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与直角坐标方程直角的互化，考查利用圆的参数方程求最值问题，属于基础题．‎ ‎20．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，‎ 其样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时概率.‎ 超过4小时 不超过4小时 总计 男 女 ‎60‎ 总计 ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎【答案】（1）90；（2）0.75；（3）%．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题知，抽样比例为50:1，分层抽样是按照男女生比例来比例来抽样的，所以所抽300名学生中，男生与女生比例为10500:4500，可求出女生人数为；（2）观察频率分布直方图，找出每周平均体育运动不超过4小时的所有小矩形高即为频率/组距，这些小矩形的面积和即为每周平均体育运动不超过4小时的频率，1减去这个频率就是一周体育运动时间超过4小时的频率；（3）根据频率分之直方图计算出这300名学生中每周平均体育运动时间超过4小时以及不超过4小时的人数，列出表格，并代入公式中，得到样本观测值，将该值与表中概率为0.95的值比较，可得出有 ‎%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 试题解析：（1），所以应收集位女生的样本数据．‎ ‎（2）由频率分布直方图得，所以该校学生每周平均体育运动时间超过小时的概率的估计值为．‎ ‎（3）由（2）知，位学生中有人的每周平均体育运动时间超过小时，人的每周平均体育运动时间不超过小时．又因为样本数据中有份是关于男生的，份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ 结合列联表可算得 所以有%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ 考点：分层抽样方法，总体估计，独立性检验.‎ ‎21．证明：若a>0，则.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:用分析法证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,只要证,即只要证，进而展开化简,可得只要证明，故得证.‎ 试题解析:要证 只需证 ‎ 因为，所以不等式两边均大于零 因此只需证，‎ 即证 ‎ 只需证 ‎ 只需证，即证 ‎ 只需证，而显然成立，所以原不等式成立.‎ 点睛: 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．综合法是利用已知条件和某些数学定义，公理，定理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴并取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)若曲线的参数方程为为参数），求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎(2)若曲线的参数方程为为参数），,且曲线与曲线的交点分别为,求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为： ‎ 曲线的普通方程为：.‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问首先应用极坐标与平面直角坐标的转换关系，求得曲线的直角坐标方程，‎ 之后对曲线的参数方程进行消参，求得其普通方程；第二问将曲线的参数方程代入的方程，得到关于的关系式，利用韦达定理求得两个和与两根积的值，之后应用参数的几何意义以及题中所求得的范围，最后借助于对三角函数值域的求解求得结果.‎ 详解：（1）‎ 曲线的直角坐标方程为： ‎ 曲线的普通方程为： ‎ ‎（2）将的参数方程：代入的方程：得：‎ ‎ ‎ 由的几何意义可得：‎ ‎ ‎ 点睛：该题所考查的是有关极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的转化，直线与曲线相交时，有关线段的长度问题与直线的参数方程中参数的几何意义，以及韦达定理的应用，并且借助于三角形函数来完成，要注意关于角的范围是通过判别式大于零所求得的.‎