高中数学选修2-2公开课课件3_2_1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

高中数学选修2-2公开课课件3_2_1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义 运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算 —— 复数的加、减法． 引入 随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数 实部 虚部 1. 复数代数形式的加、减运算法则 . （重点） 2. 复数代数形式的加、减运算律 . （难点） 3. 复数代数形式的加、减运算的几何意义 . 我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？ 探究点 1 复数的加法 1. 复数代数形式的加法 我们规定，复数的加法法则如下： 设 z 1 =a+bi, z 2 =c+di 是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 说明 : （ 1 ）复数的加法运算法则是一种规定 . 当 b=0 ， d=0 时与实数加法法则保持一致 ; （ 2 ）很明显，两个复数的和仍然是一个复数 , 对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形 . 2. 设 z 1 =a 1 +b 1 i, z 2 =a 2 +b 2 i, z 3 =a 3 +b 3 i. （ 1 ）因为 z 1 +z 2 =(a 1 +b 1 i)+(a 2 +b 2 i) =(a 1 +a 2 )+(b 1 +b 2 )i, z 2 +z 1 = (a 2 +b 2 i) + (a 1 +b 1 i) =(a 1 +a 2 )+(b 1 +b 2 )i, 所以 z 1 +z 2 =z 2 +z 1 探究点 2 复数的加法满足交换律、结合律 （ 2 ）因为 (z 1 +z 2 )+z 3 =[(a 1 +b 1 i)+(a 2 +b 2 i)]+(a 3 +b 3 i) =(a 1 +a 2 +a 3 )+(b 1 +b 2 +b 3 )i, z 1 + (z 2 +z 3 )=(a 1 +b 1 i)+[(a 2 +b 2 i)+(a 3 +b 3 i)] =(a 1 +a 2 +a 3 )+(b 1 +b 2 +b 3 )i, 所以 (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) 所以，对任意 z 1 ， z 2 ， z 3 C , 有 z 1 +z 2 =z 2 +z 1 （ z 1 +z 2 ） +z 3 =z 1 + （ z 2 +z 3 ） 探究点 3 复数与复平面内的向量有一一对应关系 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发 讨论复数加法的几何意义吗？ O Z 1 (a,b) Z 2 (c,d) Z x y 设 , 分别与复数 a+bi,c+di 对应 = （ a,b ）， =(c,d) + = （ a+c,b+d ） =(a+c)+(b+d)i 复数的加法可以按照向量的加法来进行 x o y Z 1 (a,b) Z 2 (c,d) Z(a+c,b+d) z 1 + z 2 =OZ 1 +OZ 2 = OZ 符合向量加法的平行四边形法则 . 3. 复数加法运算的几何意义 探究点 4 复数的减法 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 减去复数 c+di 的差，记作 (a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有 c+x=a, d+y=b, 因此 x=a-c, y=b-d, 所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i , 即 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i. 4. 复数的减法 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 说明： 两个复数的差是一个确定的复数 . x o y Z 1 (a,b) Z 2 (c,d) 复数 z 2 － z 1 向量 Z 1 Z 2 符合向量减法的三角形法则 . 探究点 5. 复数减法运算的几何意义 |z 1 -z 2 | 表示什么 ? 表示复平面上两点 Z 1 ,Z 2 的距离 例 1 计算 (5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) = （ 5-2-3 ） + （ -6-1-4 ） i =-11i 例 2 计算 (1 － 3 i ) + ( 2 + 5 i ) + (- 4 +9i ). 解： 原式 = （ 1+2-4 ） + （ -3+5+9 ） i=-1+11i   例 3         A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 其他 C 3.|z 1 |= |z 2 | 平行四边形 OABC 是 . 4.| z 1 + z 2 | = | z 1 - z 2 | 平行四边形 OABC 是 . 5. |z 1 |= |z 2 | ， | z 1 + z 2 | = | z 1 - z 2 | 平行四边形 OABC 是 . 菱形 矩形 正方形 (1)|z － (1+2i)| (2)|z+(5+3i)| 6. 已知复数 z 对应点 A, 说明下列各式所表示的几何意义 . 点 A 到点 (1,2) 的距离 点 A 到点 ( － 5, － 3) 的距离 (3)|z － 1| (4)|z+2i| 点 A 到点 (1,0) 的距离 点 A 到点 (0, － 2) 的距离 7. 计算 （ 1 ）（ 5+4 i ） + （ -3-2 i ） （ 2 ）（ 2- i ） - （ 2+3 i ） +4 i （ 3 ） 5- （ 3+2i ） （ 4 ） 4i- （ 4i-4 ） 答案： (1)2 + 2i (2)0 (3)2 - 2i (4)4 8. 已知复数 m=2 － 3i, 若复数 z 满足等式 |z － m|=1, 则 z 所对应的点的集合是什么图形 ? 解： 以点 (2, － 3) 为圆心 ,1 为半径的圆 . 1. 复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算 . 2. 在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理 . 3. 在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一 . 人类的幸福和欢乐在于奋斗，而最有价值的是为理想而奋斗 .