高考理科数学专题复习练习5.3平面向量的数量积

高考理科数学专题复习练习5.3平面向量的数量积

第五章平面向量 ‎5.3平面向量的数量积 专题1‎ 平面向量数量积的运算 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学二模,平面向量数量积的运算,填空题,理15)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,则a,b的夹角的大小为　　　　. ‎ 解析:设a,b的夹角为θ,‎ 则a·b=2×1×cosθ=2cosθ,‎ 不等式|a+xb|≥|a+b|即为(a+xb)2≥(a+b)2,‎ 即a2+2xa·b+x2b2≥a2+2a·b+b2,‎ 即有4+4xcosθ+x2≥4+4cosθ+1,‎ 即x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0,‎ 由对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,‎ 则有Δ≤0,即为16cos2θ+4(1+4cosθ)≤0,‎ 即有(2cosθ+1)2≤0,‎ 则有2cosθ+1=0,‎ 即cosθ=-,‎ 由0≤θ≤π,可得θ=.‎ 故答案为.‎ 答案:‎ ‎■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,平面向量数量积的运算,选择题,理3)已知平面向量a与b的夹角为,且|b|=1,|a+2b|=2,则|a|=(　　)‎ A.1 B. C.3 D.2‎ 解析:由已知,|a+2b|2=12,即a2+4a·b+4b2=12,所以|a|2+4|a|×+4=12,所以|a|=2.‎ 故选D.‎ 答案:D ‎■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,平面向量数量积的运算,选择题,理4)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=(　　)‎ A. B.2 C.3 D.4‎ 解析:因为向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,‎ 所以4a2-4a·b+b2=10,即|b|2-2|b|-6=0,‎ 解得|b|=3或|b|=-(舍).‎ 故选C.‎ 答案:C ‎5.4平面向量的应用 专题1‎ 平面向量在几何中的应用 ‎■(2015河南省六市高考数学二模,平面向量在几何中的应用,填空题,理13)在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,若,则=　　　　. ‎ 解析:如图所示.‎ 在直角三角形ABC中,∵∠ACB=90°,AB=2,AC=1,‎ ‎∴CB=.‎ ‎∵=0,‎ ‎∴=()·‎ ‎==0+|||cos∠ABC=|2=×()2=.故答案为.‎ 答案:‎ ‎■(2015甘肃省兰州一中三模,平面向量在几何中的应用,填空题,理14)△ABC外接圆的圆心为O,且),则cos∠BAC=　　　　. ‎ 解析:设BC边中点为M,则=2,由题设,‎ ‎∴A,O,M共线,且AO=4OM,而∠BOM=2∠BAM,∴∠BOM=∠BAC,‎ 即cos∠BAC=.‎ 故答案为.‎ 答案:‎ ‎■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,平面向量在几何中的应用,选择题,理9)已知向量a=(m,1-n),b=(1,2),其中m>0,n>0,若a∥b,则的最小值是(　　)‎ A.2 B.3+2 C.4 D.3+‎ 解析:∵向量a=(m,1-n),b=(1,2),‎ ‎∴若a∥b,则2m-(1-n)=0,‎ 即2m+n=1,∴(2m+n)=3+≥3+2=3+2,‎ 当且仅当,即n=m,即m=1-,n=-1时取等号.‎ 故最小值为3+2,故选B.‎ 答案:B ‎■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,平面向量在几何中的应用,解答题,理17)已知向量a=,b=(cos x,-1).‎ ‎(1)当a∥b时,求2cos2x-sin 2x的值;‎ ‎(2)求f(x)=(a+b)·b在上的最大值.‎ 解:(1)当a∥b时,-sinx=cosx,‎ ‎∴tanx==-,‎ ‎∴2cos2x-sin2x=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎(2)f(x)=(a+b)·b ‎=a·b+b2=sinxcosx-+cos2x+1‎ ‎=sin2x-+1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=sin,‎ ‎∵x∈,∴2x+,‎ ‎∴sin,‎ ‎∴当sin时,f(x)=(a+b)·b取最大值.‎