数学卷·2018届山东省临沂市临沭一中高二下学期开学数学试卷(文科) (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届山东省临沂市临沭一中高二下学期开学数学试卷(文科) (解析版)

‎2016-2017学年山东省临沂市临沭一中高二(下)开学数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.命题:“∀x∈[0,+∞),x3+2x≥0”的否定是(  )‎ A.∀x∈(﹣∞,0),x3+2x<0 B.∃x∈[0,+∞),x3+2x<0‎ C.∀x∈(﹣∞,0),x3+2x≥0 D.∃x∈[0,+∞),x3+2x≥0‎ ‎2.设z=+i,则|z|=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎3.函数f(x)=2x﹣lnx的单调递减区间为(  )‎ A. B. C. D.(0,+∞)‎ ‎4.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(  )‎ A.97 B.98 C.99 D.100‎ ‎5.在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的为(  )‎ A.模型①的相关指数为0.976 B.模型②的相关指数为0.776‎ C.模型③的相关指数为0.076 D.模型④的相关指数为0.351‎ ‎6.若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是(  )‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ ‎7.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积(  )‎ A.3 B. C. D.3‎ ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),则此双曲线方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(  )‎ A.34 B.55 C.78 D.89‎ ‎10.设函数f(x)=x﹣lnx(x>0),则函数f(x)(  )‎ A.在区间(0,1)内有零点,在区间(1,+∞)内无零点 B.在区间(0,1)内有零点,在区间(1,+∞)内有零点 C.在区间(0,3),(3,+∞)均无零点 D.在区间(0,3),(3,+∞)均有零点 ‎11.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查,得到以下数据:‎ 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 ‎22‎ ‎10‎ ‎32‎ 课外阅读量一般 ‎8‎ ‎20‎ ‎28‎ 总计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 由以上数据,计算得到K2的观测值k≈9.643,根据临界值表,以下说法正确的是(  )‎ A.在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”‎ B.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 ‎12.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有(  )‎ A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎13.曲线y=ex+2在P(0,3)处的切线方程是  .‎ ‎14.回归方程=2.5+0.31在样本(4,1.2)处的残差为  .‎ ‎15.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,将其变换后得到线性方程z=0.3x+4,则c,k的值分别是  和  .‎ ‎16.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.(10分)如图,在△ABC中,AC=10,,BC=6,D是边BC延长线上的一点,∠ADB=30°,求AD的长.‎ ‎18.(12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:‎ 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性一般 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?‎ ‎(2)试运用独立性检验的思想方法点拨:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.(参考下表)‎ p(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.789‎ ‎10.828‎ ‎19.(12分)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎20.(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)画出散点图;‎ ‎(2)求回归直线方程;‎ ‎(3)试预测广告费支出为10百万元时,销售额多大?‎ 参考公式:b==.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.‎ ‎22.(12分)已知椭圆两焦点,并且经过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若过点A(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N(M在A、N之间),试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山东省临沂市临沭一中高二(下)开学数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.命题:“∀x∈[0,+∞),x3+2x≥0”的否定是(  )‎ A.∀x∈(﹣∞,0),x3+2x<0 B.∃x∈[0,+∞),x3+2x<0‎ C.∀x∈(﹣∞,0),x3+2x≥0 D.∃x∈[0,+∞),x3+2x≥0‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】由全称命题的否定的规则可得.‎ ‎【解答】解:∵命题:“∀x∈[0,+∞),x3+2x≥0”为全称命题,‎ 故其否定为特称命题,排除A和C,‎ 再由否定的规则可得:“∃x∈[0,+∞),x3+2x<0”‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查全称命题的否定,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.设z=+i,则|z|=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】先求z,再利用求模的公式求出|z|.‎ ‎【解答】解:z=+i=+i=.‎ 故|z|==.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的运算,属于容易题.‎ ‎ ‎ ‎3.函数f(x)=2x﹣lnx的单调递减区间为(  )‎ A. B. C. D.(0,+∞)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】求出f′(x),在定义域内解不等式f′(x)>0即得单调增区间.‎ ‎【解答】解:f(x))=2x﹣lnx的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=2﹣=,‎ 令f′(x)<0,解得x<,‎ 所以函数f(x)=2x﹣lnx的单调减区间是(0,).‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查运用导数研究函数的单调性,注意考函数虑定义域.‎ ‎ ‎ ‎4.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(  )‎ A.97 B.98 C.99 D.100‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】根据已知可得a5=3,进而求出公差,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}前9项的和为27,‎ ‎∴9a5=27,a5=3,‎ 又∵a10=8,‎ ‎∴d=1,‎ ‎∴a100=a5+95d=98,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是数列的性质,熟练掌握等差数列的性质,是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的为(  )‎ A.模型①的相关指数为0.976 B.模型②的相关指数为0.776‎ C.模型③的相关指数为0.076 D.模型④的相关指数为0.351‎ ‎【考点】相关系数.‎ ‎【分析】相关指数R2的值越大,模型拟合的效果越好,可得答案.‎ ‎【解答】解:根据相关指数R2的值越大,模型拟合的效果越好,‎ 比较A、B、C、D选项,A的相关指数最大,∴模型①拟合的效果最好.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了回归分析思想,在两个变量的回归分析中,相关指数R2的值越大,模型拟合的效果越好.‎ ‎ ‎ ‎6.若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是(  )‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ ‎∵A(0,﹣3),C(0,2),‎ ‎∴|OA|>|OC|,‎ 联立,解得B(3,﹣1).‎ ‎∵,‎ ‎∴x2+y2的最大值是10.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积(  )‎ A.3 B. C. D.3‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】根据条件进行化简,结合三角形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵c2=(a﹣b)2+6,‎ ‎∴c2=a2﹣2ab+b2+6,‎ 即a2+b2﹣c2=2ab﹣6,‎ ‎∵C=,‎ ‎∴cos===,‎ 解得ab=6,‎ 则三角形的面积S=absinC==,‎ 故选:C ‎【点评】本题主要考查三角形的面积的计算,根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),则此双曲线方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意知c==,点(1,2)在y=x上,由此能求出双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:∵双曲线的左右焦点分别为F1,F2,‎ 以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),‎ ‎∴由题意知c==,‎ ‎∴a2+b2=5,①‎ 又点(1,2)在y=x上,∴,②‎ 由①②解得a=1,b=2,‎ ‎∴双曲线的方程为=1.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线简单性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(  )‎ A.34 B.55 C.78 D.89‎ ‎【考点】程序框图;程序框图的三种基本逻辑结构的应用.‎ ‎【分析】写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出z的值.‎ ‎【解答】解:第一次循环得z=2,x=1,y=2;‎ 第二次循环得z=3,x=2,y=3;‎ 第三次循环得z=5,x=3,y=5;‎ 第四次循环得z=8,x=5,y=8;‎ 第五次循环得z=13,x=8,y=13;‎ 第六次循环得z=21,x=13,y=21;‎ 第七次循环得z=34,x=21,y=34;‎ 第八次循环得z=55,x=34,y=55;退出循环,输出55,‎ 故选B ‎【点评】本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果找规律,属于一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.设函数f(x)=x﹣lnx(x>0),则函数f(x)(  )‎ A.在区间(0,1)内有零点,在区间(1,+∞)内无零点 B.在区间(0,1)内有零点,在区间(1,+∞)内有零点 C.在区间(0,3),(3,+∞)均无零点 D.在区间(0,3),(3,+∞)均有零点 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】求出函数的导数,判断函数的极值以及单调性,然后利用零点判定定理推出选项.‎ ‎【解答】解:函数,‎ 则f′(x)=,令=0可得x=3,显然x∈(0,3)时,f′(x)<0,函数是减函数,‎ x∈(3,+∞)f′(x)>0,函数是增函数.‎ 并且f(1)=,f(3)=1﹣ln3<0,‎ 函数在在区间(0,3),(3,+∞)均有零点.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】‎ 本题考查函数的导数的应用,函数的零点判定定理的应用,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎ ‎ ‎11.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查,得到以下数据:‎ 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 ‎22‎ ‎10‎ ‎32‎ 课外阅读量一般 ‎8‎ ‎20‎ ‎28‎ 总计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 由以上数据,计算得到K2的观测值k≈9.643,根据临界值表,以下说法正确的是(  )‎ A.在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”‎ B.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】根据所给的观测值,同临界值表中的临界值进行比较,根据P(k≈9.643>7.879)=0.005,可得结论.‎ ‎【解答】解:∵k≈9.643>7.879,‎ P(k≈9.643>7.879)=0.005‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查独立性检验的应用,本题解题的关键是正确理解临界值对应的概率的意义.‎ ‎ ‎ ‎12.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有(  )‎ A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 ‎【考点】进行简单的合情推理.‎ ‎【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格,根据题干中的内容推出文成绩得A,B,C的学生各最多只有1个,继而推得学生的人数.‎ ‎【解答】解:用ABC分别表示优秀、及格和不及格,显然语文成绩得A的学生最多只有1个,‎ 语文成绩得B得也最多只有一个,‎ 得C最多只有一个,‎ 因此学生最多只有3人,‎ 显然(AC)(BB)(CA)满足条件,‎ 故学生最多有3个.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了合情推理,关键是找到语句中的关键词,培养了推理论证的能力.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎13.曲线y=ex+2在P(0,3)处的切线方程是 x﹣y+3=0 .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】欲求在点(0,3)处的切线的方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.‎ ‎【解答】解:∵y=ex+2,‎ ‎∴y′=ex,‎ ‎∴曲线y=ex+2在点(0,3)处的切线的斜率为:k=e0=1,‎ ‎∴曲线y=ex+2在点(0,3)处的切线的方程为:y=x+3,‎ 故答案为x﹣y+3=0.‎ ‎【点评】小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.回归方程=2.5+0.31在样本(4,1.2)处的残差为 ﹣9.11 .‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】由题意,预报值=10.31,从而可得残差.‎ ‎【解答】解:由题意,预报值=10.31,‎ 故残差为1.2﹣10.31=﹣9.11.‎ 故答案为:﹣9.11.‎ ‎【点评】本题考查了残差的定义应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,将其变换后得到线性方程z=0.3x+4,则c,k的值分别是 e4 和 0.3 .‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】我们根据对数的运算性质:loga(MN)=logaM+logaN,logaNn=nlogaN,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵y=cekx,‎ ‎∴两边取对数,可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx,‎ 令z=lny,可得z=lnc+kx,‎ ‎∵z=0.3x+4,‎ ‎∴lnc=4,k=0.3‎ ‎∴c=e4.‎ 故答案为:e4,0.3.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是线性回归方程,其中熟练掌握对数的运算性质,是解答此类问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为  .‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.‎ ‎【解答】解:因为:(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC ‎⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c ‎⇒2a﹣b2=c2﹣bc,‎ 又因为:a=2,‎ 所以:,‎ ‎△ABC面积,‎ 而b2+c2﹣a2=bc ‎⇒b2+c2﹣bc=a2‎ ‎⇒b2+c2﹣bc=4‎ ‎⇒bc≤4‎ 所以:,即△ABC面积的最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.(10分)(2016秋•临淄区校级期末)如图,在△ABC中,AC=10,,BC=6,D是边BC延长线上的一点,∠ADB=30°,求AD的长.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】利用余弦定理,求出∠ACB=60°,∠ACD=120°,在△ACD中,AC=10,∠ADB=30°,∠ACD=120°,利用正弦定理可得结论.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,AB=10,AC=14,BC=6,‎ 由余弦定理得,‎ 所以∠ACB=60°,∠ACD=120°,‎ 在△ACD中,AC=10,∠ADB=30°,∠ACD=120°,…8分 由正弦定理得,‎ 所以…12分.‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2007•潍坊二模)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:‎ 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性一般 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?‎ ‎(2)试运用独立性检验的思想方法点拨:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.(参考下表)‎ p(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.789‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验.‎ ‎【分析】(1)是一古典概型问题,把基本事件的总数与满足要求的个数找出来,代入古典概率的计算公式即可.‎ ‎(2)是独立性检验的应用,由题中的数据,计算出k2与临界值比较即可得出结论 ‎【解答】解:(1)积极参加班级工作的学生有24人,总人数为50人,概率为;‎ 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人,概率为.‎ ‎(2)k2==≈11.5,‎ ‎∵K2>6.635,‎ ‎∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系.‎ ‎【点评】本题把独立性检验,概率的求法,列联表等知识联系在一起,是道综合性题,难度不大,符合新课标对于本部分的要求,希望通过本题把相关知识掌握好.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016春•东城区期末)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;‎ ‎(2)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和.‎ ‎【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得 d===3.‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=3n(n=1,2,…).‎ ‎∴数列{an}的通项公式为:an=3n;‎ 设等比数列{bn﹣an}的公比为q,由题意得:‎ q3===8,解得q=2.‎ ‎∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1.‎ 从而bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为:bn=3n+2n﹣1;‎ ‎(2)由(1)知bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).‎ 数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式,考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2015春•文昌校级期末)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)画出散点图;‎ ‎(2)求回归直线方程;‎ ‎(3)试预测广告费支出为10百万元时,销售额多大?‎ 参考公式:b==‎ ‎.‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】(1)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中,得到散点图,‎ ‎(2)根据所给的数据先做出数据的平均数,即样本中心点,根据最小二乘法做出线性回归方程的系数,写出线性回归方程.‎ ‎(3)把所给的广告费支出为10百万元时,代入线性回归方程,做出对应的销售额,这是一个预报值,与真实值之间有一个误差.‎ ‎【解答】解:(1)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中,得到散点图,如图 ‎(2)==5, ==50,‎ xiyi=1390, xi2=145,‎ ‎∴b=7,a=15,‎ ‎∴线性回归方程为y=7x+15.‎ ‎(3)当x=10时,y=85.‎ 即当广告费支出为10百万元时,销售额为85百万元.‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用,本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数,这是解答正确的主要环节.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出f(x)的导数,讨论当a≥0时,a<﹣时,a=﹣时,﹣<a<0,由导数大于0,可得增区间;由导数小于0,可得减区间;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)的单调区间,对a讨论,结合单调性和函数值的变化特点,即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,‎ 可得f′(x)=(x﹣1)ex+2a(x﹣1)=(x﹣1)(ex+2a),‎ ‎①当a≥0时,由f′(x)>0,可得x>1;由f′(x)<0,可得x<1,‎ 即有f(x)在(﹣∞,1)递减;在(1,+∞)递增;‎ ‎②当a<0时,若a=﹣,则f′(x)≥0恒成立,即有f(x)在R上递增;‎ 若a<﹣时,由f′(x)>0,可得x<1或x>ln(﹣2a);‎ 由f′(x)<0,可得1<x<ln(﹣2a).‎ 即有f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)递增;‎ 在(1,ln(﹣2a))递减;‎ 若﹣<a<0,由f′(x)>0,可得x<ln(﹣2a)或x>1;‎ 由f′(x)<0,可得ln(﹣2a)<x<1.‎ 即有f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a)),(1,+∞)递增;‎ 在(ln(﹣2a),1)递减;‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎①由(Ⅰ)可得当a>0时,f(x)在(﹣∞,1)递减;在(1,+∞)递增,‎ ‎ 且f(1)=﹣e<0,x→+∞,f(x)→+∞;x→﹣∞,f(x)→+∞.f(x)有两个零点;‎ ‎②当a=0时,f(x)=(x﹣2)ex,所以f(x)只有一个零点x=2;‎ ‎③当a<0时,‎ 若a<﹣时,f(x)在(1,ln(﹣2a))递减,在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)递增,‎ 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点;‎ 当a≥﹣时,f(x)在(1,+∞)单调递增,又x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.‎ 综上可得,f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,+∞).‎ ‎【点评】本题考查导数的运用:求单调区间,考查函数零点的判断,注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想,考查化简整理的运算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2015秋•福建期末)已知椭圆两焦点,并且经过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若过点A(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N(M在A、N之间),试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)设椭圆方程为(a>b>0),运用椭圆的定义,可得a=2,结合a,b,c的关系,求得b,进而得到椭圆方程;‎ ‎(2)设l方程为y=kx+2(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),代入椭圆方程,运用判别式大于0和韦达定理,令,代入化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:(1)因为椭圆的焦点在x上,‎ 所以设椭圆方程为(a>b>0),‎ 由定义得 ‎,‎ ‎∴a=2,b2=4﹣3=1,所以椭圆方程为;‎ ‎(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l方程为y=kx+2(k≠0),‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,‎ 由△=256k2﹣48(1+4k2)>0,得;‎ ‎,‎ 令,‎ ‎∵x1x2>0,∴x1,x2同号,∴∴x1=λx2,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴,解得,‎ ‎∵0<λ<1∴,‎ 所以△OAM与△OAN面积之比的取值范围是.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用定义法,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和三角形的面积公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎
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