2019-2020学年四川省南充市高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省南充市高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省南充市高级中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简集合，根据集合的交集、补集运算即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 或 即，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解一元二次不等式，集合的交集，补集，属于容易题.‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A.‎ ‎3．函数的零点所在区间为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由零点存在性定理判断即可.‎ 详解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由于，得函数在区间内存在零点.‎ 故选：B.‎ 点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎4．设角的终边经过点，那么( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考察的是对角的终边的理解，通过角的终边来确定和的值，最后得出结果。‎ ‎【详解】试题分析：根据三角函数定义知： ，所以原式，答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 在计算任意角的三角函数时，一定要考虑到任意角的三角函数的正负。‎ ‎5．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分子分母同除以，可化为关于的式子，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题.‎ ‎6．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，利用弧长公式求弧长即可．‎ ‎【详解】‎ 解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．‎ ‎7．若，的化简结果为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式＝,‎ ‎∵，∴原式＝.‎ 故选D.‎ ‎8．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分段函数在上递减，需满足各部分为递减函数，且即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是上的减函数，‎ 所以，‎ 即，解得，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的单调性，对数函数的单调性，一次函数的单调性，属于中档题.‎ ‎9．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；‎ f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；‎ ‎∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；‎ 由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．‎ 故选D.‎ ‎10．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数图象问题要根据图象特点及解析式区分，排除掉不符合解析式的图象即可，‎ ‎【详解】‎ 观察图象，研究函数在时，，排除选项C，‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以排除选项A，D，故选项B正确.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的图象，函数的解析式，属于中档题.‎ ‎11．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：注意到，，，从而有；因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，所以有，而，‎ ‎，所以有，故选Ａ．‎ ‎【考点】１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小．‎ ‎12．定义域为R的偶函数满足对任意的,有=且当时,=,若函数=在(0,+上恰有六个零点,则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为=,且是定义域为R的偶函数，令,则，解得，所以有=，所以是周期为2的偶函数，因为当时，=，其图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线，因为函数=在(0,+上恰有六个零点，令，因为所以，所以，要使函数=在(0,+上恰有六个零点，如图所示：‎ 只需要,解得.故选C.‎ 点睛：本题考查函数的零点及函数与方程，解答本题时要注意先根据函数给出的性质对称性和周期性，画出函数的图象，然后结合函数的零点个数即为函数和图象交点的个数，利用数形结合思想求得实数的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．当且时，函数恒过定点，则点的坐标是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据解析式可知时，为定值，求出定值即可得到定点坐标.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 函数恒过点，即 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数恒过定点问题的求解，属于基础题.‎ ‎14．函数的定义域是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的性质得到的范围。‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 即 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题。‎ ‎15．关于函数 有以下四个命题：‎ ‎①对于任意的，都有； ②函数是偶函数；‎ ‎③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；‎ ‎④在图象上存在三个点，，，使得 为等边三角形．其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】①根据函数的对应法则，可得不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；‎ ‎②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；‎ ‎③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；‎ ‎④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，‎ ‎∴当x为有理数时，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，‎ 即不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；‎ ‎②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，‎ ‎∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，故②正确； ‎ ‎③由于非零有理数T，若x是有理数，则x+T是有理数；‎ ‎ 若x是无理数，则x+T是无理数，‎ ‎∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，‎ f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ‎ ‎④取x1，x2＝0，x3，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，‎ ‎∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．‎ 故答案为①②③④．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎16．已知集合，，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别在和两种情况下来讨论，根据交集为空集可确定不等关系，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当，即时，，满足 当，即时，‎ 若，则需：或 解得：或 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据交集结果求解参数范围问题，易错点是忽略了对于集合为空集的讨论.‎ ‎17．(1)请化简：．‎ ‎(2)已知,,求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据诱导公式化简即可（2）计算的平方，分析的大小即可求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式=‎ ‎（2）因为，两边平方得，‎ 有 所以 又因为，所以，，则 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）若,求函数的最值及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，递减区间是（）；（2）时，函数有最大值3，时，函数有最小值．‎ ‎【解析】（1）根据正弦型函数的图象和性质即可求解（2）由可得，利用正弦函数的图象与性质求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）最小正周期 令.函数的单调递减区间是（）‎ 由，‎ 得，‎ 则函数，的单调减区间是 ‎，（）‎ ‎（2）因为，则，‎ 则当，即时，函数有最大值3‎ 当，即时，函数有最小值 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，正弦型函数的性质，属于中档题.‎ ‎19．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时, .‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据奇函数的性质及即可求解（2）利用奇函数性质可化为恒成立，利用函数单调性转化为恒成立，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以 因为当时，，所以 又因为函数是奇函数，所以.所以。‎ 综上，‎ ‎（2）由得.‎ 因为是奇函数，所以.‎ 又在上是减函数，所以.‎ 即对任意恒成立.‎ 所以，解得.‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数性质的应用，单调性，二次不等式恒成立，转化思想，属于难题.‎ ‎20．某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售价（元）与日均销售量（桶）的关系如下表，为了收费方便，经营部将销售价定为整数，并保持经营部每天盈利．‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎…‎ ‎480‎ ‎440‎ ‎400‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎…‎ ‎（1）写出的值，并解释其实际意义；‎ ‎（2）求表达式，并求其定义域；‎ ‎（3）求经营部利润表达式，请问经营部怎样定价才能获得最大利润？‎ ‎【答案】（1），实际意义表示价格每上涨1元，销售量减少40桶．‎ ‎（2），，；‎ ‎（3）经营部将价格定在11元或12元时，才能获得最大利润．‎ ‎【解析】（1）根据题意计算即可，表示价格每上涨1元，销售量减少40桶（2）设，由待定系数法求解即可（3）由题意获利为，利用二次函数求最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表格数据可知 实际意义表示价格每上涨1元，销售量减少40桶．‎ ‎（2）由（1）知：设 则解得：，‎ 即，，‎ ‎（3）设经营部获得利润元，‎ 由题意得 当时，有最大值，但 ‎∴当或时，取得最大值．‎ 答：经营部将价格定在11元或12元时，才能获得最大利润．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数在实际问题中的应用，涉及一次函数，二次函数的性质，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎(1)当时，求函数的最大值；‎ ‎(2)如果对于区间上的任意一个，都有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用同角三角函数的关系转化为余弦的二次函数求最值即可（2）由题意可分离参数得对任意恒成立，只需求不等式右边函数的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ ‎，所以当即（）时，‎ ‎（2）依题得即对任意恒成立 而所以对任意恒成立 令，则，所以对任意恒成立，‎ 于是 又因为，当且仅当，即时取等号 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，换元法，余弦函数的性质，属于难题.‎ ‎22．已知函数，对于任意的，都有, 当时，，且.‎ ‎( I ) 求的值； ‎ ‎(II) 当时，求函数的最大值和最小值；‎ ‎(III) 设函数，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）当 时，函数最多有个零点.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；‎ ‎（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；‎ ‎（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根据单调性可得 x2﹣2|x|﹣m＝0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m∈（﹣1，0）．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）令得，得. ‎ 令得， ‎ 令得 ‎ ‎(II)任取且，则，‎ 因为，即，‎ 令 ‎ 则. ‎ 由已知时，且，则，‎ 所以 ，，‎ 所以函数在R上是减函数， ‎ 故 在单调递减.‎ 所以，‎ 又， ‎ 由，得 ，‎ ‎ ，‎ 故. ‎ ‎(III) 令代入，‎ 得，‎ 所以，故为奇函数. ‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎ ，‎ 令,即，‎ 因为函数在R上是减函数， ‎ 所以，即， ‎ 所以当 时，函数最多有4个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，关键是利用函数的性质及赋值法解决问题，属于难题．‎