2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若集合，则的真子集的个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．7 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出的交集，再依据求真子集个数公式求出，也可列举求出。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，所以的真子集的个数为，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 有限集合的子集个数为个，真子集个数为。‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断各函数奇偶性，再找单调性符合题意的即可。‎ ‎【详解】‎ 首先可以判断选项D，不是偶函数，排除；‎ 然后，由图像可知，在上不单调，在上单调递增，‎ 只有选项C：符合，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性。‎ ‎3．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数性质以及特殊值即可判断。‎ ‎【详解】‎ 依据函数是偶函数，偶函数关于轴对称，排除A，D；‎ 又 且 知，选项C符合题意，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象及其性质。‎ ‎4．已知， ，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在方向上的投影为，选A.‎ ‎5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】A ‎【解析】依据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可。‎ ‎【详解】‎ A正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”及“两条直线有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面”，若且，则 ，又，所以，A正确；‎ B错误：若，则不一定垂直于平面；‎ C错误：若，则可能垂直于平面，也可能平行于平面，还可能在平面内；‎ D错误：若，则可能在平面内，也可能平行于平面，还可能垂直于平面；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查立体几何中的定理和结论，意在考查学生几何定理掌握熟练程度。‎ ‎6．圆上的一点到直线的最大距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出圆心到直线距离，再加上圆的半径，就是圆上一点到直线的最大距离。‎ ‎【详解】‎ 圆心（2,1）到直线的距离是，‎ 所以圆上一点到直线的最大距离为，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法，以及点到直线的距离公式。‎ ‎7．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。‎ ‎【详解】‎ 设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，‎ 所以，解得， ‎ 由，，解得,故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力。‎ ‎8．在正方体，为棱的中点，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依据异面直线所成角的定义，将直线AB平移，就得到异面直线与所成角，解三角形，即可求出异面直线与所成角的正切值。‎ ‎【详解】‎ 如图，将直线AB平移至DC，所以(或其补角)即为异面直线与所成角，‎ 在中，设正方体棱长为2，则,‎ ‎，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成角的求法。‎ ‎9．已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：相除得，又，所以.选B.‎ ‎【考点定位】指数运算与对数运算.‎ ‎10．已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积 ‎【详解】‎ 如图，因为 , ‎ 又，,‎ 从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，‎ 在中，,, ‎ 即 ，，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型是解题的关键。‎ ‎11．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 设，所以，解得 ，‎ 所以满足的值恰好只有5个，‎ ‎ ‎ 所以的取值可能为0,1,2,3,4，由 ‎ ‎ ，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎12．在直角中，，线段上有一点，线段上有一点，且，若，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依照题意采用解析法，建系求出目标向量坐标，用数量积的坐标表示即可求出结果。‎ ‎【详解】‎ 如图，以A为原点，AC，AB所在直线分别为轴建系，‎ 依题设A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，‎ 由得， ， ‎ 解得，，所以 ， ，‎ ‎ ，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解析法在向量中的应用，意在考查学生数形结合的能力。‎ 二、填空题 ‎13．已知关于的不等式的解集为，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】 为方程两根,因此 ‎ ‎14．_______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先可根据同角三角函数关系式化简得出，然后根据两角差的正弦公式化简得出，最后根据二倍角公式以及三角函数诱导公式即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数相关公式进行化简求值，考查到的公式有、、以及，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎15．若直线L1:y=kx -与L2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则L1‎ 的倾斜角a的取值范围是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：联立两直线方程得解得，因两直线的交点在第一象限，得，解得，设直线l的倾斜角为，则，故 ‎【考点】1.直线与直线交点；2.直线倾斜角与斜率.‎ ‎16．设函数是定义在上的偶函数，且对称轴为，已知当时，，则有下列结论：①2是函数的周期；②函数在上递减，在上递增；③函数的最小值是0，最大值是1；④当时，.其中所有正确结论的序号是_________.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】依据题意作出函数的图像，通过图像可以判断以下结论是否正确。‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图像，由图像可知2是函数的周期，函数在上递减，在上递增，函数的最小值是0.5，最大值是1,‎ 当时， ，‎ 故正确的结论有①②④。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图像与性质以及数形结合思想，意在考查学生的逻辑推理能力。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若函数的周期，且满足，求及的递增区间；‎ ‎（2）若，在上的最小值为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）2.‎ ‎【解析】（1）由函数的性质知，关于直线对称，又函数的周期，两个条件两个未知数，列两个方程，所以可以求出，进而得到的解析式，求出的递增区间；‎ ‎（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），由知，∴对称轴 ‎∴，又，‎ ‎,‎ 由，得，‎ 函数递增区间为；‎ ‎（2）由于，在上的最小值为，‎ 所以，即，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合函数的单调性，以免求错。‎ ‎18．设等差数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用等差数列性质先求出的值，进而得到公差，最后写出数列的通项公式；‎ ‎（2）依照题意找出（1）中符合条件的数列，再用等差数列前项和公式求出 数列的前项和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为等差数列，且，所以 所以，又，所以，于是或 设等差数列的公差为，则或，‎ 的通项公式为：或；‎ ‎（2）因为成等比数列，所以 所以数列的前项和.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质、通项公式的求法以及等差数列前项和公式，注意分类讨论思想的应用。‎ ‎19．在中，角对应的边分别是，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）依照条件形式，使用正弦定理化角为边，再用余弦定理求出，从而得出角的值；‎ ‎（2）先利用余弦定理找出的关系，再利用基本不等式放缩，求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由及正弦定理得，‎ ‎，由余弦定理得，‎ 又，所以 ‎（2）由及，得，即 所以，所以，当且仅当时，‎ 等号成立，又，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用基本不等式求等式条件下的取值范围问题，第二问也可以采用正弦定理化边为角，利用“同一法”求出的取值范围。‎ ‎20．已知圆圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.‎ ‎（1）证明：的面积为定值；‎ ‎（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；‎ ‎（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以 ,求出 的值，再利用直线与圆的位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆的方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，‎ 所以经过，又为中点，所以，所以 ‎，所以的面积为定值.‎ ‎（2）因为直线与圆交于两点，，‎ 所以的中垂线经过，且过，所以的方程，‎ 所以，所以当时，有圆心，半径，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 所以直线与圆交于点两点，故成立；‎ 当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相交，故（舍去），‎ 综上所述，圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力。解题注意几何条件的运用可以简化运算。‎ ‎21．如图，已知平面，为矩形，分别为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：面平面；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】(1)利用线面平行的判定定理，寻找面PAD内的一条直线平行于MN，即可证出；（2）先证出一条直线垂直于面PCD，依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证出；‎ ‎（3）依据等积法，即可求出点到平面的距离。‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）取中点为，连接分别为的中点，‎ 是平行四边形，‎ 平面，平面，∴平面 证明：（2）因为平面，所以，而, ‎ 面PAD，而面 ，所以,‎ 由,为的终点，所以 由于平面，又由（1）知，‎ 平面，平面，∴平面平面 解：（3），‎ ‎，，‎ 则点到平面的距离为 ‎（也可构造三棱锥）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力。‎ ‎22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；‎ ‎（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）通过判断函数的单调性，求出的值域，进而可判断在上是否为有界函数；‎ ‎（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数的取值范围；‎ ‎（3）通过分离常数法求的值域，利用新定义进而求得的解析式。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，由于在上递减，‎ ‎∴函数在上的值域为，故不存在常数，使得成立，∴函数在上不是有界函数 ‎（2）在上是以3为上界的有界函数，即，令，则，即 由得，‎ 令，在上单调递减，所以 ‎ 由得，‎ 令，在上单调递增，所以 所以；‎ ‎（3）在上递减，‎ ‎，即，‎ 当时，即当时，‎ 当时，即当时，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想。‎