2017-2018学年山东省济宁市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年山东省济宁市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．已知复数满足，则对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先计算，故对应的点为，它在第三象限.‎ 详解：由题设有，该复数对应的点为，为第三象限内的点，故选C.‎ 点睛：本题考察复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎2．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量，之间关系最强的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：观察频率等高条形图中的值，越大说明相关程度越高.‎ 详解：四个图中，的值最大的是C，故选C.‎ 点睛：本题考察从频率等高条形图看两类变量的相关性，可从的值判断，越大说明两类变量相关度越高.‎ ‎3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：因为在曲线上，代入后就可以得到的关系式，它就是曲线的方程.‎ 详解：由题设有，故，化简得到，故选B.‎ 点睛：对于变换前的曲线 ‎、变换以及变换后曲线，如果我们知道其中两个，就可以求出剩余的一个，其中新旧对应点的坐标关系是核心.‎ ‎4．点的直线坐标为，则它的极坐标可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用来求极径与极角.‎ 详解：，，‎ 因为点在第二象限，故取，故选C.‎ 点睛：本题考察直角坐标与极坐标的互化，关系式是关键，此类问题属于基础题.‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 执行程序框图，输入时， ； 时， ； 时， ； 时， ， 的值呈周期性出现，周期为， ，所以时， ，退出循环，输出，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎6．直线（为参数）上对应的，两点间的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：找出参数取值时对应的点的坐标，利用两点之间的距离求解即可.‎ 详解：当时，对应的点的坐标为，‎ 当时，对应的点的坐标为，‎ 故，故选D.‎ 点睛：同一直线的参数方程有很多形式，特别地，如果直线的参数方程是 （为直线的倾斜角），那么的几何意义就是两点之间的距离.‎ ‎7．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）‎ A. （） B. （）‎ C. （） D. （）‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：表示的圆过极点且圆心在极轴上，故可以得到两条切线的极坐标方程.‎ 详解：表示的圆的圆心为，与极轴的两个交点分别为，故而垂直于极轴的两条切线方程为和，故选D.‎ 点睛：一般地，表示过极点且圆心在极轴上的圆；表示过极点且圆心在直线的圆.‎ ‎8．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）‎ A. 都是奇数 B. 都是偶数 C. 中至少有两个偶数 D. 中至少有两个偶数或都是奇数 ‎【答案】D ‎【解析】结论：“自然数中恰有一个偶数”的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选D.‎ ‎9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中的白色地面砖有（ ）‎ A. 块 B. 块 C. 块 D. 块 ‎【答案】C ‎【解析】分析：仔细分析每个图形我们会发现相邻两幅图案的白色地面砖的差是一个常数，故而可用等差数列的通项来求第1000个图案中的白色地面砖的块数.‎ 详解：设为第个图案的白色地面砖的块数，则 ，‎ 故，故选C.‎ 点睛：此题为合情推理，属于基础题.‎ ‎10．定义，，，的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，，对应的运算是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线，其余类似处理.‎ 详解：都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线；都有运算，而图形都有圆，故运算对应作圆.所以对应的运算是，对应的运算是，故选A.‎ 点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确.‎ ‎11．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值.‎ 详解：表示的几何意义是复数对应的点到原点的距离为1，‎ 表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，‎ 故最大值为，故选B.‎ 点睛：一般地，的几何意义是复数对应的点与复数对应的点之间的距离，而则可以化成从而得到其几何意义.‎ ‎12．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.若曲线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先把曲线转化为直角方程，在把曲线的极坐标方程转化为直角方程，在直角坐标系中联立方程组，利用该方程组有解求出参数的取值范围.‎ 详解：对于曲线，有 ‎，其中 ，.‎ 对于曲线，则有，也就是.‎ 因为两条曲线有两个不同的交点，故 方程组有两个不同解，‎ 得有两个不同的解，‎ 从而，故，选C.‎ 点睛：一般地，当曲线以参数方程或极坐标方程给出时，我们可以把它们转为直角方程，在直角坐标系中讨论曲线与曲线的位置关系.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．如图1，在中，，，是垂足，则，该结论称为射影定理.如图2，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，可以得到结论：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：把三角形中的的长度、的长度类比为三棱锥侧面的面积、底面 的面积，而的射影的长度类比为三棱锥底面的面积，及其内部为侧面在底面上的射影，故可以类比得到相应的面积关系．‎ 详解：把平面中的线段的长度类比为三棱锥的面的面积，故可类比得到：．‎ 下面证明该结论成立：‎ 在平面内过作交 于，连接．‎ 因为平面，平面，平面，‎ 所以，，，故平面，‎ 因为平面，故平面平面 ，‎ 因为平面，故．‎ 又，，‎ 在直角三角形中，有，故，‎ 填．所以类比结论成立．‎ 点睛：类比推理得到的结论不一定正确，我们往往需要对类比推理得到的结论证明．‎ ‎14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.‎ 零件数x(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y(min)‎ ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．‎ ‎【答案】68‎ ‎【解析】试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得： ，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得。‎ 考点：线性回归方程 ‎15．在下列命题中，①的一个充要条件是与它的共轭复数相等：‎ ‎②利用独立性检验来考查两个分类变量，是否有关系，当随机变量的观测值值越大，“与有关系”成立的可能性越大；‎ ‎③在回归分析模型中，若相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好；‎ ‎④若，是两个相等的实数，则是纯虚数；‎ ‎⑤某校高三共有个班，班有人，班有人，班有人，由此推测各班都超过人，这个推理过程是演绎推理.‎ 其中真命题的序号为__________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】分析：‎ 详解：对于①，设，则为实数的充要条件是，也就是，即是，故①正确；‎ 对于②，的值越大，相关的可能性越大，故②正确；‎ 对于③，相关指数和残差平方和都可以用来判断拟合效果的好坏，相关系数越大或者残差平方和越小，则拟合效果越好，故③正确；‎ 对于④，如果，则是实数，故④错；‎ 对于⑤，推理过程为归纳推理（不完全归纳推理），故⑤错；‎ 综上，真命题的序号为①②③，填①②③．‎ 点睛：（1）两类变量相关程度的可能性的大小取决的大小，值越大，可能性越高．‎ ‎（2）复数为纯虚数的充要条件是．‎ ‎16．曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点，若曲线极坐标方程，则点到的距离的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先把曲线的极坐标方程化成直角方程，再算出动点到直线的距离，最后利用三角函数的知识求最大值．‎ 详解：曲线的直角方程为，曲线上的动点到直线的距离为 ‎，‎ ‎，故填．‎ 点睛：一般地，曲线是椭圆 ，则椭圆上的动点的坐标可用参数表示成，这样就把距离的最值问题转化为三角函数的最值问题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，且满足.‎ ‎（1）求 ；‎ ‎（2）若，，求证：.‎ ‎【答案】(1)或;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：设，找到复数的实部和虚部，列出关于的方程组即可.‎ 详解：（1）设（），则，.‎ 由得，‎ 解得或，‎ ‎∴或.‎ ‎（2）当时，‎ ‎ .‎ 当时， ，‎ ‎∴.‎ 点睛：对于复数问题，常见的方法就是复数问题实数化，也就是设出复数的实部和虚部，再根据复数运算规则把题设中的关系式转化为实数的关系式即可.‎ ‎18．试比较下列各式的大小（不写过程）‎ ‎（1）与；‎ ‎（2）与.‎ 通过上式请你推测出与（且）的大小，并用分析法加以证明.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】试题分析：先比较大小，然后利用归纳法猜想出一半结论，‎ 最后利用分析法加以证明，这是典型“归纳---猜想----证明”问题.‎ 试题解析：‎ ‎(1)＜ (2) ＜，猜想：＜且 ，证明：要证：＜，即证：＞，整理得：＞ ，即证：＞ ，整理得： ＞２，平方并整理得：１＞０，而此不等式一定成立，故猜想正确.‎ ‎【点睛】推理有三类，一是归纳推理，是有特殊到一般的推理，二是类比推理，这是一种由特殊到特殊的推理，三是演绎推理，这是一种由一般到特殊的推理，归纳推理和演绎推理的结论需要证明.‎ ‎19．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.‎ ‎（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？‎ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 注：，其中.‎ ‎（2）若参赛选手共万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)万人.‎ ‎【解析】分析：（1）根据二联表计算并且与比较大小即可.‎ ‎（2）计算样本中的优秀率即可估算优秀等级的人数.‎ 详解：（1）由条形图可知列联表如下：‎ 优秀 合格 合计 大学组 中学组 合计 ‎，‎ ‎∴没有的把握认为优秀与文化程度有关.‎ ‎（2）由条形图知，所抽取的人中，优秀等级有人，故优秀率为.‎ ‎∴所有参赛选手中优秀等级人数约为万人.‎ 点睛：两类变量的相关程度的可能性的大小取决于的值.总体中特定变量的值的估计可以用样本来估算.‎ ‎20．在极坐标系中，曲线： ， ： ， 与有且仅有一个公共点．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）为极点， ， 为上的两点，且，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由将曲线、直线极坐标方程化为直角坐标方程， ，再由直线与圆相切得 ‎（2）利用极坐标表示： ，再利用三角函数两角差余弦公式及配角公式化为，最后根据正弦函数性质得其最值 试题解析：（1）的直角坐标方程为， 的方程为： ，由已知得．‎ ‎（2）因为为圆，由圆的对称性，设，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以当时， 的最大值为．‎ 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆位置关系 ‎21．某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间（天数）与销售单价（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）‎ 表中，.‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型？（不必说明理由）‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）若该产品的日销售量（件）与时间的函数关系为（），求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？（结果保留整数）‎ 附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3)该产品投放市场第天的销售额最高，最高约为元.‎ ‎【解析】分析：（1）题设中给出的散点图类似于反比例函数，据此可以选出回归方程的类型.‎ ‎（2）根据给出的公式计算回归方程即可.‎ ‎（3）根据回归方程和得到日销售额的函数，配方后可求函数的最大值.‎ 详解：（1）由散点图可以判断适合作作价格关于时间的回归方程类型；‎ ‎（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，‎ ‎∴，∴关于的线性方程为，‎ ‎∴关于的线性方程为 ‎（3）设日销售额为，则 ‎ ‎，‎ ‎∴时，（元）‎ 即该产品投放市场第天的销售额最高，最高约为元.‎ 点睛：回归方程类型的确定依据散点图的特征，如果回归方程不是线性的，则可以通过换元把问题转化为线性回归方程的计算.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）把直线与轴的交点记为，求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，将代入极坐标方程可得直角坐标方程．（Ⅱ）方法一：将问题转化为直角坐标系中处理，即通过弦长公式求解．方法二：利用直线参数方程中参数的几何意义求解．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）消去方程中的参数可得．‎ 将代入，‎ 可得．‎ 故直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎（II）解法1：在中，令，得，则．‎ 由消去得.‎ 设， ，其中 ，‎ 则有， .‎ 故， ，‎ 所以 . ‎ 解法2：把代入，‎ 整理得，‎ 则，‎ 所以 . ‎