【数学】2020届一轮复习人教B版 最值和取值范围问题学案
考查角度2 最值和取值范围问题
分类透析一 利用函数的性质求最值
例1 如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12
b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.
分析 (1)由焦点坐标知c=1,由离心率知a=2,进而可求得b2,得到椭圆方程;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x3,y3),讨论直线MN的斜率k,当斜率存在时,设出直线MN的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到x3,y3与k的关系,再求出线段MN的垂直平分线,从而求出y0及其取值范围.
解析 (1)依题意,得c=1.
因为椭圆C的离心率为e=12,
所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.
故椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.
当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),
则x1+x2=8k23+4k2.
所以x3=x1+x22=4k23+4k2,y3=k(x3-1)=-3k3+4k2.
故线段MN的垂直平分线的方程为y+3k3+4k2=-1kx-4k23+4k2.
在上述方程中,令x=0,得y0=k3+4k2=13k+4k.
当k<0时,3k+4k≤-43,
当且仅当3k=4k,k=-32时,等号成立;
当k>0时,3k+4k≥43,当且仅当3k=4k,k=32时,等号成立.
所以-312≤y0<0或00,
即|b|<7.
由一元二次方程的根与系数的关系,
得x1+x2=-8b7,y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=6b7,
∴n=y1+y22=3b7,故|n|<377.
(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
设G(x3,y3),H(x4,y4),
联立y=k(x-1),x24+y23=1整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
由韦达定理得x3+x4=8k23+4k2,x3·x4=4k2-123+4k2.
则y3+y4=k(x1+x2)-2k=-6k3+4k2.
∵P为线段GH的中点,∴P的坐标为4k23+4k2,-3k3+4k2.
又直线PD的斜率为-1k,故直线PD的方程为y--3k3+4k2=-1kx-4k23+4k2.
令y=0,得x=k23+4k2.
∵直线AB与x轴交于点D17,0,∴k23+4k2=17,解得k=±1.故|k|=1成立.
2.(2018年浙江卷,21改编)如图,已知抛物线C:y2=2px(p≠0)的焦点F在直线2x+y-2=0上,点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点,抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B、E.
(1)设PE=λPB,求证:λ为定值.
(2)在(1)的条件下,直线PF与抛物线C交于另一点A,求△PAB面积的最小值.
解析 (1)由题意知,抛物线C的焦点Fp2,0在x轴上.
在方程2x+y-2=0中,令y=0,得x=1,所以p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.由点P是C上异于坐标原点O的任意一点,设Pt24,t(t≠0).
设切线BP的斜率为k,则切线BP的方程为y-t=kx-t24.
由y-t=kx-t24,y2=4x,消去x并整理得ky2-4y-kt2+4t=0.
由k≠0,Δ=16-4k(-kt2+4t)=0,可得4(kt-2)2=0.
所以kt-2=0.所以切线BP的斜率k=2t.
所以切线BP的方程为y-t=2tx-t24,即y=2tx+t2.
在y=2tx+t2中,令x=0,得y=t2.
所以点E的坐标为0,t2.
在y=2tx+t2中,令y=0,得x=-t24.
所以点B的坐标为-t24,0.
所以PE=0,t2-t24,t=-t24,-t2,PB=-t24,0-t24,t=-t22,-t.
所以PE=12PB.故λ=12,为定值.
(2)由直线FP过点F(1,0),设直线FP的方程为x=my+1.
由x=my+1,y2=4x,消去x得y24-my-1=0.
由韦达定理,得yAyP=-4.所以yA=-4yP=-4t.
于是S△PAB=12·|BF|·|yA-yP|=12·1+t24·-4t-t=18·(4+t2)·4t+t,
令f(t)=18(4+t2)·4t+t(t≠0),则f(t)为偶函数,只需研究函数f(t)在t>0时的最小值即可.
当t>0时,f(t)=18(4+t2)·4t+t=18t3+8t+16t,
f'(t)=183t2+8-16t2=18t2(3t4+8t2-16)=18t2(3t2-4)(t2+4).
当0233时,f'(t)>0,f(t)为增函数.
所以当t>0时,函数f(t)在t=233时取得最小值f233=1639.
因为f(t)为偶函数,所以当t<0时,函数f(t)在t=-233时取得最小值f-233=1639.
当t=233时,点P的坐标为13,233;
当t=-233时,点P的坐标为13,-233.
综上所述,△PAB面积的最小值为1639,
此时点P的坐标为13,233或13,-233.
1.(2018年江西上饶模拟)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当AM=AN时,求m的取值范围.
解析 (1)依题意可设椭圆方程为 x2a2+y2=1,则右焦点F(a2-1,0).
由题设知|a2-1+22|2=3,解得a2=3.
故所求椭圆的方程为x23+y2=1.
(2)由y=kx+m,x23+y2=1,
得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0.
由于直线与椭圆有两个交点,则Δ>0,
即 m2<3k2+1. ①
设P为弦MN的中点,∴xP=xM+xN2=-3mk3k2+1,
∴yP=kxP+m=m3k2+1,
∴kAP=yP+1xP=-m+3k2+13mk.
又AM=AN,∴AP⊥MN,
则-m+3k2+13mk=-1k,即2m=3k2+1, ②
把②代入①,得2m>m2,解得 00,解得m>12.
∴所求m的取值范围是12,2.
2.(2018届安徽省黄山市一模)设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1·PF2=-54,求点P的坐标;
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
解析 (1)易知a=2,b=1,c=3,
∴F1(-3,0),F2(3,0).设P(x,y)(x>0,y>0),
则PF1·PF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3=-54.又x24+y2=1,
联立x2+y2=74,x24+y2=1,由x>0,y>0,得x=1,y=32,
故点P的坐标为1,32.
(2)显然k=0不满足题意,
故设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x24+y2=1,y=kx+2,消去y,整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0.
∴x1x2=121+4+k2,x1+x2=-16k1+4k2.
由Δ=(16k)2-4·(1+4k2)·12>0,得k2>34. ①
又∠AOB为锐角,∴cos∠AOB>0,∴OA·OB>0,
∴OA·OB=x1x2+y1y2>0.
∵y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)·121+4k2+2k·-16k1+4k2+4=4(4-k2)1+4k2>0,∴0b>0)过点1,22,且两个焦点的坐标为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆E的方程;
(2)若A,B,P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点,O为坐标原点,且OP=OA+OB,求AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.
解析 (1)由已知得c=1,2a=4+12+12=22,
∴a=2,b=1,故椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)设直线AB的方程为x=my+t(m≠0),代入x22+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-2m2+2,Δ=8(m2-t2+2).
设P(x0,y0),由OP=OA+OB,得y0=y1+y2=-2mtm2+2,x0=x1+x2=my1+t+my2+t=m(y1+y2)+2t=4tm2+2.
∵点P在椭圆E上,∴16t22(m2+2)2+4m2t2(m2+2)2=1,即4t2(m2+2)(m2+2)2=1,∴4t2=m2+2.
在x=my+t中,令y=0,则x=t;令x=0,则y=-tm.
∴所求三角形的面积S=12|xy|=12×t2|m|=18×m2+2|m|=18|m|+2|m|≥18×22=24,
当且仅当m2=2,t2=1时取等号,此时Δ=24>0,
∴所求三角形面积的最小值为24.
4.(安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测)在直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),两动点C(0,m),D(0,n),且mn=3,直线AC与直线BD的交点为P.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)过点F(1,0)作直线l交动点P的轨迹于M,N两点,试求FM·FN的取值范围.
解析 (1)直线AC的方程:y=m2(x+2), ①
直线BD的方程:y=-n2(x-2), ②
上述两式相乘得y2=-mn4(x2-4).
又mn=3,整理得x24+y23=1.
由mn=3得m≠0,n≠0,故x≠±2.
所以动点P的轨迹方程为x24+y23=1(x≠±2).
(2)当直线MN的斜率不存在时,M1,32,N1,-32,有FM=0,32,FN=0,-32,
得FM·FN=-94.
当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x24+y23=1,y=k(x-1),整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.
故FM·FN=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(1+k2)[x1x2-(x1+x2)+1]=(1+k2)4k2-124k2+3-8k24k2+3+1=-9(k2+1)4k2+3=-94-94(4k2+3).
由k2>0,可得-3<-94-94(4k2+3)<-94,
综上可得FM·FN的取值范围为-3,-94.
