2020年秋九年级数学上册 第3章圆的基本性质

2020年秋九年级数学上册 第3章圆的基本性质

第3章　圆的基本性质 ‎3.5　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论1‎ 知识点1　识别圆周角 ‎1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(　　)‎ 图3－5－1‎ ‎2．如图3－5－2，图中的圆周角共有________个，其中所对的圆周角是__________．‎ 图3－5－2‎ ‎　　图3－5－3‎ 知识点2　圆周角定理 ‎3．如图3－5－3，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是(　　)‎ A．35° B．140°‎ C．70° D．70°或140°‎ ‎4．2017·阜新如图3－5－4，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是(　　)‎ A．90° B．50° C．45° D．30°‎ 11‎ 图3－5－4‎ ‎　　图3－5－5‎ ‎5．如图3－5－5，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的度数是________．‎ ‎　图3－5－6‎ ‎6．2017·绍兴如图3－5－6，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为________．‎ 知识点3　圆周角定理推论1‎ ‎7．如图3－5－7，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是(　　)‎ 图3－5－7‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎8．如图3－5－8，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB＝10，AC＝6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长为(　　)‎ 11‎ 图3－5－8‎ A．2 B．‎3 C．4 D．6‎ ‎9．从下列三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(　　)‎ 图3－5－9‎ ‎10．如图3－5－10，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．‎ 图3－5－10‎ 图3－5－11‎ 11‎ ‎11．如图3－5－11，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为(　　)‎ A．140° B．70°‎ C．60° D．40°‎ ‎12．如图3－5－12，△ABC的外接圆上，，，的度数之比为12∶13∶11.在劣弧BC上取一点D，分别作直线AC，AB的平行线，且交BC于E，F两点，则∠EDF的度数为(　　)‎ A．55° B．60° C．65° D．70°‎ 图3－5－12‎ ‎　　图3－5－13‎ ‎13．如图3－5－13，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角尺ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角尺ABC沿OE方向平移，直至点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是________．‎ ‎14．如图3－5－14，⊙O的半径OD垂直弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，求EC的长．‎ 图3－5－14‎ 11‎ ‎15．2017·永嘉县二模如图3－5－15，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆O于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.‎ ‎(1)求证：EC平分∠BED；‎ ‎(2)当BE＝DE时，求证：AE＝CE.‎ 图3－5－15‎ ‎16．新定义如图3－5－16，P为圆外一点，PB交圆于点A，B，PD交圆于点C，D，的度数为75°，的度数为15°.‎ ‎(1)求∠P的度数；‎ ‎(2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质；‎ ‎(3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质．‎ 图3－5－16‎ 11‎ 11‎ 详解详析 ‎1．C ‎2．4　∠A，∠D ‎3．B ‎4．C　[解析] ∵OB⊥OC，‎ ‎∴∠BOC＝90°，∴∠A＝∠BOC＝45°.‎ 故选C.‎ ‎5．60°　[解析] ∵∠ABC＝∠AOC，‎ 而∠ABC＋∠AOC＝90°，‎ ‎∴∠AOC＋∠AOC＝90°，‎ ‎∴∠AOC＝60°.‎ ‎6．90°　[解析] 根据一条弧所对的圆周角的度数是它所对的圆心角度数的一半，得到∠DOE＝2∠A＝2×45°＝90°.‎ ‎7．C ‎8．C　[解析] 根据垂径定理，得BD＝BC，因此只要求出BC的长即可．‎ ‎∵AB是⊙O直径，‎ ‎∴∠C是直角，∴BC＝＝8.‎ ‎∵OD⊥BC，∴BD＝BC，∴BD＝4.故选C.‎ ‎9．B ‎10．解：连结OB，OA，‎ ‎∵∠BAC＝120°，AB＝AC，‎ ‎∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°.‎ 11‎ 又∵OA＝OB，‎ ‎∴△AOB是等边三角形．‎ ‎∴OB＝AB＝4，‎ ‎∴⊙O的直径为2×4＝8.‎ ‎11．B　[解析] ∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，∴∠DOE＝360°－90°－90°－40°＝140°，∴∠P＝∠DOE＝70°.故选B.‎ ‎12．C　[解析] ∵，，的度数之比为12∶13∶11，‎ ‎∴＝×360°＝120°，‎ ＝×360°＝110°，‎ ‎∴∠ACB＝×120°＝60°，‎ ‎∠ABC＝×110°＝55°.‎ ‎∵AC∥DE，AB∥DF，‎ ‎∴∠FED＝∠ACB＝60°，‎ ‎∠EFD＝∠ABC＝55°，‎ ‎∴∠EDF＝180°－60°－55°＝65°.‎ 故选C.‎ ‎13．30≤x≤60‎ ‎[解析] 如图①，当点B与点O重合时，∠POF＝30°.‎ ‎　　‎ 如图②，当点B与点E重合时，∠POF＝2∠ABC＝60°.‎ 11‎ ‎∴x的取值范围是30≤x≤60.‎ ‎14．解：∵⊙O的半径OD垂直弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝CB＝4.‎ 设⊙O的半径为r，则OC＝r－2.‎ 在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，‎ 即r2＝42＋(r－2)2，‎ 解得r＝5，∴OC＝3.‎ 连结BE，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，‎ ‎∴BE＝＝＝6.‎ 在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，‎ ‎∴EC＝＝＝2 .‎ ‎15．证明：(1)∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°，∴∠DEB＝90°.‎ ‎∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，‎ ‎∴∠BEC＝45°，‎ ‎∴∠DEC＝45°，‎ ‎∴∠BEC＝∠DEC，‎ 即EC平分∠BED.‎ ‎(2)如图，连结BC，OE.‎ 在△BEC与△DEC中， ‎∴△BEC≌△DEC，∴∠CBE＝∠CDE.‎ 11‎ ‎∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE.‎ ‎∴∠AOE＝∠COE，‎ ‎∴AE＝CE.‎ ‎16．解：(1)如图①，连结AD，‎ ‎∵的度数是75°，的度数是15°，‎ ‎∴∠BAD＝×75°＝37.5°，‎ ‎∠ADC＝×15°＝7.5°，‎ ‎∴∠P＝∠BAD－∠ADC＝30°.‎ ‎(2)圆外角的性质：圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．‎ 理由：如图①，连结AD，‎ ‎∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，‎ ‎∴∠BAD ，∠ADC ，‎ ‎∴∠P＝∠BAD－∠ADC －＝(－)，‎ ‎∴圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．‎ 11‎ ‎(3)圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角．‎ 圆内角的性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．‎ 理由：如图②，延长BA，交圆于点D，延长CA，交圆于点E，连结CD.‎ ‎∵∠BAC是△ACD 的一个外角，‎ ‎∴∠BAC＝∠C＋∠D.‎ ‎∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，‎ ‎∴∠C ，∠D ，‎ ‎∴∠BAC＝∠C＋∠D ＋＝‎ (＋)．‎ 11‎