【数学】2020届一轮复习人教A版概率学案
2020届一轮复习人教A版 概 率 学案
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：选B 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
2．(2019届高三·湖北五校联考)已知定义在区间[－3,3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.
由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3,3]，
故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B.
3．(2019届高三·武汉部分学校调研)标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)．共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P＝＝，故选A.
4．(2018·洛阳第一次统考)在区间(0,2)内随机取一个实数a，则满足的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 作出约束条件
表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积S＝×a×2a＝a2>1，∴1
0，b>0}，记“关于x的方程f(x)＝0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．
解：(1)因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5＝15个．
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，若事件A发生，则a>0且≤1.
数对(a，b)的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，(3，－1)，(3,1)共5种．
所以P(A)＝＝.
(2)集合{(a，b)|a＋4b－6≤0，a>0，b>0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图，其中点
A(6,0)，B，
则△AOB的面积为××6＝.
若事件B发生，则f(1)<0，即a－4b＋2<0.
所以事件B对应的平面区域为△BCD.
由得交点坐标为D(2,1)．
又C，则△BCD的面积为××2＝1.
所以P(B)＝＝.
B组——大题专攻补短练
1．(2018·洛阳第一次统考)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到了不同程度的污损，如图．
(1)求分数在[50,60)之间的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)对应的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．
解：(1)分数在[50,60)之间的频率为0.008×10＝0.08，
由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2，
所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3，
所以频率分布直方图中[80,90)对应的矩形的高为÷10＝0.012.
(3)将[80,90)之间的3个分数分别编号为a1，a2，a3，[90,100]之间的2个分数分别编号为b1，b2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，
其中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的基本事件有7个，
故至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率是P＝＝0.7.
2．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：
年龄/岁
[7,20)
[20,40)
[40,80]
频数
18
54
36
(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；
(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．
解：(1)因为样本容量与总体个数的比是＝，
所以从年龄在[7,20)中抽取的人数为×18＝1，
从年龄在[20,40)中抽取的人数为×54＝3，
从年龄在[40,80]中抽取的人数为×36＝2，
所以从年龄在[7,20)，[20,40)，[40,80]中抽取的挑战者的人数分别为1,3,2.
(2)设从[7,20)中抽取的1人为a，从[20,40)中抽取的3人分别为b，c，d，从[40,80]中抽取的2人为e，f.
从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．
每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，
记事件A为“2人来自同一年龄组”，包含(b，c)，(b，d)，(c，d)，(e，f)，共4个基本事件，则P(A)＝，
故2人来自同一年龄组的概率为.
3．“mobike”“ofo”等共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
年龄
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45]
受访人数
5
6
15
9
10
5
支持发展共享单车人数
4
5
12
9
7
3
(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；
年龄低于35岁
年龄不低于35岁
总计
支持
不支持
总计
(2)若从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，求恰好这2人都支持发展共享单车的概率．
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)根据所给数据得到如下2×2列联表：
年龄低于35岁
年龄不低于35岁
总计
支持
30
10
40
不支持
5
5
10
总计
35
15
50
根据2×2列联表中的数据，得到K2的观测值
k＝≈2.381＜2.706.
∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．
(2)“从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持发展共享单车”记为事件A.
年龄在[15,20)的5名受访人中，有4人支持，记为A1，A2，A3，A4,1人不支持，记为B.则从这5人中随机选取2人的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B}，
{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B}，
{A3，A4}，{A3，B}，{A4，B}，共10个．
其中，恰好选取的2人都支持发展共享单车的基本事件包含{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A3，A4}，共6个．
∴P(A)＝＝.
∴从年龄在[15,20)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持发展共享单车的概率是.
4．(2018·太原模拟)某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和所得捐款额情况，列表如下：
售出水量x/箱
7
6
6
5
6
所得捐款额y/元
165
142
148
125
150
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生．规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核在21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．
(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计所得捐款额为多少元？
(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率．
附：回归方程＝x＋，其中
＝，＝－.
解：(1)＝＝6，
＝＝146，
＝＝＝20，
＝－＝146－20×6＝26，∴＝20x＋26.
当x＝9时，＝20×9＋26＝206，
即某天售出9箱水的预计所得捐款额是206元．
(2)设事件A1：甲获一等奖；事件A2：甲获二等奖；事件B1：乙获一等奖；事件B2
：乙获二等奖；事件C1：丙获一等奖；事件C2：丙获二等奖．
则总事件为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，共8种情况．甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1 000元的事件有(A2，B2，C2)1种情况，则三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率为.
