2020届二轮复习函数的应用教案（全国通用）
2020届二轮复习 函数的应用 教案（全国通用）
1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
2．应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.
高频考点一 函数的零点判断
例1、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
【答案】C
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
【变式探究】【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，，当时，，函数 单调递减，
当时，，函数 单调递增，
当时，函数取得最小值，
设，当时，函数取得最小值 ，
【变式探究】(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
(2)已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
解析：(1)∵f′(x)＝ex＋>0，∴f(x)在R上单调递增，又f＝－<－<0，f(1)＝e－>0，∴零点在区间上．
(2)作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，易知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.
答案：(1)B (2)B
【方法技巧】函数零点的求法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．
【变式探究】设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，
f(2)＝ln 2>0，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，
∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
高频考点二、二次函数的零点
例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】 (1). (1,4) (2).
【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
【变式探究】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.
由f(x)≥1－x2得，1－x2≤x2－3x＋2，解得x≤或x≥1，所以不等式f(x)≥1－x2的解集为
(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则即解得－5
x－1，得x>0，此时f(x)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，所以f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，
要使方程f(x)＝a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x11.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；
（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】（I）由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
x
0
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以a为底的对数，得，所以.
（III）曲线在点处的切线l1：.
曲线在点处的切线l2：.
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得. ③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.
设函数，
即要证明当时，函数存在零点.
，可知时，；
时，单调递减，
又，，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.
由此可得在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值.
因为，故，
所以.
下面证明存在实数t，使得.
由（I）可得，
当时，有
，
所以存在实数t，使得
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
【变式探究】
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解析：设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
【变式探究】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
解析：选C 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.12＋0.1×＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
高频考点五、分段函数的模型
例5、【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.
【答案】
写成分段函数的形式：，
函数 在区间三段区间内均单调递增，
且： ，
据此x的取值范围是： .
【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
(2)①当00，当x∈(9,10]时，W′<0，
∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－
≤98－2 ＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，
故当x＝时，W取最大值38(当1 000x取整数时，W一定小于38)．
综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
【方法技巧】
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．
(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
【变式探究】
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； 零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
【答案】；
【解析】作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，
分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是
2.【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.
【答案】
写成分段函数的形式：，
函数 在区间三段区间内均单调递增，
且： ，
据此x的取值范围是： .
3.【2017课标1，理21】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时， ；当时， ，所以在单调递减，在单调递增.
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上， 的取值范围为.
1.【2016高考山东理数】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
【答案】
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得。
2、【2016高考上海理数】已知点在函数的图像上，则.
【答案】
【解析】将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.
3.【2016高考上海理数】已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．（3）．
【解析】
（1）由，得，
解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．学——科网
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
4.【2016高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题
6．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.
7．（2014·辽宁卷）已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】C
【解析】因为0log＝1，所以c>a>b.
8．（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( )
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】C
【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.
9．（2014·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C. sin x＞sin y D. x3＞y3
【答案】D
【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，＞都不一定正确，故选D.
10．（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝3x
【答案】B
【解析】由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)＝为单调递减函数，所以排除选项D.
11．（2014·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C. sin x＞sin y D. x3＞y3
【答案】D
【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，＞都不一定正确，故选D.
12．（2014·山东卷）函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞)
【答案】C
【解析】根据题意得，解得故选C.
13．（2014·福建卷）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )
图11
A B
C D
【答案】B
【解析】由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．
14．（2014·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
【答案】50
15．（2014·辽宁卷）已知a＝2－，b＝log2，
c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】C
【解析】因为0log＝1，所以c>a>b.
16．（2014·天津卷）函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
【答案】D
【解析】要使f(x)单调递增，需有解得x<－2.
17．（2014·陕西卷）已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．
【答案】
【解析】由4a＝2，得a＝，代入lg x＝a，得lg x＝，那么x＝10 ＝.
18．（2014·湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.－1
【答案】D
【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
19．（2014·陕西卷）如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )
图12
A．y＝x3－x B．y＝x3－x
C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x
【答案】A
【解析】设该三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入点(－5，2)得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y′＝3ax2＋c，得当x＝－5时，y′＝75a＋c＝0.联立解得故该三次函数的解析式为y＝x3－x.
20．（2014·重庆卷）函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
【答案】－
【解析】f(x)＝log2 ·log(2x)＝log2 x·2log2(2x)＝log2x·(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－，所以当x＝
eq f(r(2),2)时，函数f(x)取得最小值－.
1．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)＝则函数g(x)＝lg x的图象与函数f(x)的图象的交点个数为( )
A．3 B．5
C．9 D．10
解析：选C 因为函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象与函数g(x)＝lg x的图象如图所示，
由图可知两曲线有9个交点．
2．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由题意知，f(x)＝当x>1时，令1－ln2x＝0，解得x＝e，此时f(x)有一个零点；当x＝1时，f(1)＝0，则x＝1是f(x)的一个零点；当01时，令1－ln2x＝0，解得x＝e，此时f(x)有一个零点；当x＝1时，f(1)＝0，则x＝1是f(x)的一个零点；当0
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