数学理·宁夏六盘山高中2017届高三上学期第一次月考数学理试卷+Word版含解析

数学理·宁夏六盘山高中2017届高三上学期第一次月考数学理试卷+Word版含解析

宁夏六盘山高级中学2016—2017学年度第一学期 高三第一次月考 数学(理)试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.下列命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎ ①；②若 为假命题，则 均为假命题 ‎③若“ ”的否定是“”④ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎3.设，则是的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知函数 ，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知函数 ，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递减的函数是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知偶函数 对任意 满足 ，且当 时， ，则 的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知偶函数在上单调递增，且，则不等式 的解集是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.设函数 是定义在 上的奇函数，且，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数 ，则关于的不等式 的解集为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知集合 ，若，则等于 .‎ ‎14. 函数 的定义域为 .‎ ‎15.已知 ，则 .‎ ‎16.定义在R上的函数 对任意两个不等的实数，都有，则称函数 为“Z函数”，则下列函数，‎ ‎① ② ③ ④ ‎ 其中是“Z函数”的序号为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎ 设命题 “对任意的 ”，命题 “存在，使”‎ ‎ 如果命题为真，命题为假，求实数的取值范围。‎ ‎18.(本小题满分10分)‎ ‎ 已知函数 ‎ ‎ （1）若函数的图象经过，且函数有且只有一个零点，求的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数 ，求实数的取值范围.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎ 在直角坐标系 中，已知曲线 （为参数）.以原点O为极点，以 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的单位长度，建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为. ‎ ‎ （1）将曲线 上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的倍后得到曲线，试写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上求一点P,使P到直线的距离最大，并求出此最大值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线C的极坐标方程为 ，直线 与曲线C交于A,B两点，与 轴交于点P.‎ ‎ （1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求 的值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数 ‎ ‎ （1）解不等式 ‎ ‎（2）已知 ，求证： 恒成立.‎ ‎22.(本小题满分14分) ‎ ‎ 设函数 ， 是定义在R上的奇函数。‎ ‎ （1）求 的值，判断并证明当 时，函数 在 上的单调性；‎ ‎（2）已知 ，函数，求的值域；‎ ‎（3）已知 ，若 对于 时恒成立，请求出最大的整数.‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏六盘山高中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（2014•韶关一模）设集合A={﹣2，0，2，4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，2，4}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，‎ 解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），‎ ‎∵A={﹣2，0，2，4}，‎ ‎∴A∩B={0，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2009•潍坊二模）下列命题中真命题的个数是（　　）‎ ‎①∀x∈R，x4＞x2；‎ ‎②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；‎ ‎③命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的否定；四种命题的真假关系．‎ ‎【专题】阅读型．‎ ‎【分析】要说明一个命题不正确，举出反例即可①当x=0时不等式不成立，②根据复合命题真值表可知，“p∧q”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确．‎ ‎【解答】解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；‎ ‎②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；‎ ‎③正确，全称命题的否定是特称命题，‎ 即只有一个命题是正确的，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题是个基础题．考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•宁夏月考）设p：log2x＜0，q：2x≥0，则p是￢q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．‎ ‎【分析】利用函数的性质分别化简命题p与q，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：p：log2x＜0，解得0＜x＜1．‎ q：2x≥0，x∈R．￢q：x∈∅．‎ 则p是￢q的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•宁夏月考）函数f（x﹣）=x2+，则f（3）=（　　）‎ A．8 B．9 C．11 D．10‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】变形函数=即可得出．‎ ‎【解答】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了乘法公式的灵活应用、配方法、函数的求值等基础知识与基本技能方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016春•陕西校级期末）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]等于（　　）‎ A．3 B．2 C．﹣1+log27 D．log25‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用分段函数的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=，‎ ‎∴f（﹣1）=2﹣（﹣1）=2，‎ f[f（﹣1）]=f（2）=log28=3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．知 ，则这三个数的大小关系为（ ）‎ A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据幂的运算法则与指数函数的图象与性质，对a、b、c的大小进行比较即可．‎ ‎【解答】解：a=40.3=20.6，b=8==20.75，‎ 且20.6＜20.75，‎ ‎∴a＜b；‎ 又c=30.75，‎ 且20.75＜30.75，‎ ‎∴b＜c；‎ ‎∴a、b、c的大小关系为：a＜b＜c．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了幂的运算法则与指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•宁夏月考）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（　　）‎ A．y=﹣x2 B．y=2﹣|x| C． D．y=lg|x|‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】探究型；函数思想；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性与函数的单调性即可得到结果．‎ ‎【解答】解：y=﹣x2，y=2﹣|x|，，y=lg|x|都是偶函数，‎ 但是y=lg|x|在（﹣∞，0）上单调递减．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•会宁县校级期中）若函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，则g（）的值为（　　）‎ A． B．1 C． D．﹣1‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由已知得g（x）=log2x，由此能求出g（）．‎ ‎【解答】解：∵函数y=g（x）与函数f（x）=2x的图象关于直线y=x对称，‎ ‎∴g（x）=log2x，‎ ‎∴g（）=log2=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意反函数的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•宁夏月考）已知偶函数f（x）对任意x∈R满足f（2+x）=f（2﹣x），且当﹣3≤x≤0时，f（x）=log3（2﹣x），则f（2015）的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．0 D．2015‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用已知关系式以及函数的奇偶性求出函数的周期，然后化简所求f（2015）为f（﹣1），通过函数表达式求出函数值即可．‎ ‎【解答】解：∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4+x）=f（﹣x）．‎ ‎∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）=f（x+4），‎ 函数的周期为：4，‎ ‎∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=log33=1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（2016春•高安市校级期中）若函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣3）∪（2，3） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣2，3）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系得到不等式f（x）＞0和f（x）＜0的解，然后将不等式（x﹣2）•f（x）＜0转化为①或，②，进行求解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是偶函数，且在[0，+∞）内是增函数，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0]内是减函数，‎ ‎∵f（﹣3）=﹣f（3）=0，‎ ‎∴f（3）=0．‎ 则f（x）对应的图象如图：‎ 则不等式（x﹣2）•f（x）＜0等价为：‎ ‎①或，②‎ 由①得，得2＜x＜3．‎ 由②得，得x＜﹣3．‎ 综上：2＜x＜3或x＜﹣3．‎ 故不等式的解集为：（﹣∞，﹣3）∪（2，3），‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•宁夏月考）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】先求出f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，从而得到g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，‎ ‎∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，‎ ‎∴g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣log33=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•辽宁校级模拟）已知函数f（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（　　）‎ A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】可先设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，根据要求的不等式，可以想着判断g（x）的奇偶性及其单调性：容易求出g（﹣x）=﹣g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（﹣x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解．‎ ‎【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，‎ g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；‎ g′（x）=2016xln2016++2016﹣xln2016＞0；‎ ‎∴g（x）在R上单调递增；‎ ‎∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；‎ ‎∴g（3x+1）＞g（﹣x）；‎ ‎∴3x+1＞﹣x；‎ 解得x＞﹣；‎ ‎∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】查对数的运算，平方差公式，奇函数的判断方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性定义的运用，并注意正确求导．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（2008秋•宜兴市校级期末）已知集合A={x|x﹣a=0}，B={x|ax﹣1=0}，且A∩B=B，则实数a等于　1或﹣1或0　．‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用A∩B=B⇔B⊆A，先化简集合A，再分类讨论化简集合B，求出满足B⊆A的a的值．‎ ‎【解答】解：∵A∩B=B ‎∴B⊆A A={x|x﹣a=0}={a}‎ 对于集合B 当a=0时，B=∅满足B⊆A 当a≠0时，B={}‎ 要使B⊆A需 解得a=±1‎ 故答案为1或﹣1或0‎ ‎【点评】本题考查A∩B=B⇔B⊆A、一元一次方程的解法、分类讨论的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•宁夏月考）函数y=的定义域为　（﹣∞，﹣1）∪（1，3）　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，得，即1＜x＜3或x＜﹣1，‎ 即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，3），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）‎ ‎【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．‎ ‎　‎ ‎15．（2014•海门市校级模拟）已知+=2，则a=　　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值．‎ ‎【解答】解：，‎ 可化为loga2+loga3=2，即loga6=2，‎ 所以a2=6，又a＞0，所以a=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查对数的运算性质及其应用，考查运算能力，熟记相关公式并能灵活应用是解决该类题目的基础．‎ ‎　‎ ‎16．（2015秋•普陀区月考）如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为　②④，　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．‎ ‎【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．‎ ‎【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），‎ 可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，‎ 即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，‎ ‎∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．‎ ‎①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．‎ ‎②y=2x；是增函数，是“Z函数”．‎ ‎③；表示增函数，不是“Z函数”．‎ ‎④．函数是增函数，是“Z函数”．‎ 故答案为：②④．‎ ‎【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）（2015春•咸宁期末）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】分别求出在命题p，q下的a的取值，然后根据条件判断出p，q中一真一假，所以分别求在这两种情况下a的范围，再求并集即可．‎ ‎【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a；‎ x2﹣2x的最小值为：﹣1；‎ ‎∴﹣1＞a，即a＜﹣1；‎ 命题q：存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；‎ 即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；‎ ‎∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；‎ ‎∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；‎ ‎∴若p真q假：，解得﹣2＜a＜﹣1；‎ 若p假q真：，解得a≥1；‎ ‎∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．‎ ‎【点评】考查二次函数的最值，一元二次方程的根与判别式的关系，交集与并集，以及p∨q，和p∧q的真假情况．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2016春•济南校级期末）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣1，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）因为f（﹣2）=1，得b=2a．由方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b2﹣4a=0，得a=1，b=2，故可求得f（x）=（x+1）2．‎ ‎（2）先根据已知求得g（x）=，故可由二次函数的图象和性质求得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为f（﹣2）=1，即4a﹣2b+1=1，所以b=2a．‎ 因为方程f（x）=0有且只有一个根，即△=b2﹣4a=0．‎ 所以4a2﹣4a=0．即a=1，b=2．‎ 所以f（x）=（x+1）2．‎ ‎（2）因为g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2﹣（k﹣2）x+1‎ ‎=．‎ 所以当 或时，即k≥6或k≤0时，g（x）是单调函数．‎ ‎【点评】本题主要考察了二次函数的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•宁夏月考）在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：（θ为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度，建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．‎ ‎（1）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的，2倍后得到曲线C2，试写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线C2上求一点P，使P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）由直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C1：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的，2倍后得到曲线C2，可得：=1，利用平方关系可得参数方程．‎ ‎（2）设点P，则P到直线l的距离d=，利用三角函数的单调性值域即可得出最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程：2x﹣y﹣6=0．‎ 曲线C1：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：x2+y2=1．‎ 将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的，2倍后得到曲线C2，可得：=1，‎ ‎∴曲线C2的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（2）设点P，‎ 则P到直线l的距离d==≤=2，当且仅当=﹣1时取等号，取θ=．‎ ‎∴P到直线l的距离最大值为2．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、椭圆参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•湖南模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点 P．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【专题】坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，把代入即可得出；‎ ‎（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，得到根与系数的关系，利用直线参数的意义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，‎ ‎∴普通方程是x2+y2=2y+2x，‎ 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，‎ 把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，‎ 得t2﹣t﹣1=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴==．‎ ‎【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、直线与曲线的交点、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•锦州二模）已知函数f（x）=|x﹣2|．‎ ‎（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；‎ ‎（2）已知a＞2，求证：∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．‎ ‎【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，利用零点分段法求出各段上的解，综合可得答案；‎ ‎（2）由a＞2，结合绝对值的性质，可得∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．‎ ‎【解答】解：（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，‎ 即|x﹣1|+|x|＜4，‎ ‎①当x≤0时，不等式为1﹣x﹣x＜4，即，‎ ‎∴是不等式的解；‎ ‎②当0＜x≤1时，不等式为1﹣x+x＜4，即1＜4恒成立，‎ ‎∴0＜x≤1是不等式的解；‎ ‎③当x＞1时，不等式为x﹣1+x＜4，即，‎ ‎∴是不等式的解．‎ 综上所述，不等式的解集为．…‎ 证明：（2）∵a＞2，‎ ‎∴f（ax）+af（x）=|ax﹣2|+a|x﹣2|=|ax﹣2|+|ax﹣2a|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|＞2，‎ ‎∴∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值不等式的证明与求解，难度中档．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2013秋•姜堰市期中）设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[﹣1，1]，求g（x）的值域；‎ ‎（Ⅲ）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；二次函数在闭区间上的最值．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）为R上的奇函数，可求得k的值，即可得函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）根据f（1）的值，可以求得a，即可得g（x）的解析式，利用换元法，将函数g（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；‎ ‎（Ⅲ）根据a=3，将f（3x）≥λ•f（x）表示出来，利用换元法和参变量分离法，将不等式转化为λ≤t2+3对t恒成立，利用二次函数的性质，求得t2+3的最小值，即可求得λ的取值范围，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，得k=1，‎ ‎∴f（x）=ax﹣a﹣x，‎ ‎∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），‎ ‎∴f（x）是R上的奇函数，‎ 设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+），‎ ‎∵a＞1，∴ax2＞ax1，‎ ‎∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数；‎ ‎（Ⅱ）∵f（1）=，‎ ‎∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，‎ ‎∴a=2或a=﹣（舍去），‎ 则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），x∈[﹣1，1]，令t=2x﹣2﹣x，x∈[﹣1，1]，‎ 由（1）可知该函数在区间[﹣1，1]上为增函数，则t∈[﹣，]，‎ 则y=h（t）=t2﹣2t+2，t∈[﹣，]，‎ 当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1，‎ ‎∴g（x）的值域为[1，]，‎ ‎（Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在x∈[1，2]时恒成立 令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则t，‎ 则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），x∈[1，2]恒成立，‎ 即为t（t2+3）≥λ•t，t恒成立，‎ λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，‎ ‎∴λ≤，则λ的最大整数为10．‎ ‎【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题．‎