数学理卷·2018届辽宁省辽宁师范大学附属中学高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届辽宁省辽宁师范大学附属中学高三上学期期末考试（2018

‎2017-2018学年度上学期期末考试高三试题 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设复数（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知双曲线的两条渐近线方程为和，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．或 B．或 C. D．‎ ‎5.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.某校初三年级有名学生，随机抽查了名学生，测试分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列结论正确的是（ ）‎ A．该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次 B．该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次 C.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人 D．该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约为人.‎ ‎7.若，均为锐角且，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）‎ A．甲没过关 B．乙没过关 C.丙过关 D．丁过关 ‎9.一个正六棱柱的主视图（由两个边长等于的正方形组成）如图所示，则该六棱柱的侧视图的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列，设，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.“”是函数满足：对任意的，都有”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，，，，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，则 ．‎ ‎14.已知数列的前项和为，且，则 ．‎ ‎15.若，，点在圆的外部，则的范围是 ．‎ ‎16.直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，，设函数 ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围.‎ ‎18. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 ‎（1）能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关？‎ ‎（附：‎ 当时，有的把握说事件与有关；当，认为事件与是无关的）‎ ‎（2）已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有名男同学，名女同学.现从这名男同学和名女同学中选人参加综合素质大赛，求被选中的男生人数的分布列和期望.‎ ‎19. 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.‎ ‎20. 已知椭圆（），长轴长为，是左焦点，是椭圆上一点且在第二象限，轴，是右顶点，是上顶点，且.‎ ‎（1）求椭圆标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上任意一点，过原点作圆：的两条切线，分别交椭圆于，，求证：.‎ ‎21. 已知函数，为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，研究函数零点的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，，曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）当（）时在曲线上对应的点为，若的面积为，求点的极坐标，并判断是否在曲线上（其中点为半圆的圆心）‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，且不等式的解集为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎2017-2018学年度上学期期末考试高三试题 数学（理）参考答案 一、选择题 ‎1-5:BDAAC 6-10:CBBCD 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）‎ 令 则，‎ 所以函数单调递增区间为，‎ ‎（2）由可知 ‎（当且仅当时，取等号）‎ 所以 综上的取值范围为 ‎18.解：（1）由调查数据可知，‎ 没有的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关.‎ ‎（2）被选中的男生人数的取值为，，，‎ 则 分布列为 期望 ‎19.解：（1）在直三棱柱中 又 平面，平面，‎ ‎∴平面 又∵平面 ‎∴平面平面.‎ ‎（2）由（1）可知 以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为 轴正方向，建立坐标系.设 ‎，，，，，，，‎ 直线的方向向量，平面的法向量 可知∴‎ ‎，，‎ 设平面的法向量 ‎∴∴‎ 设平面的法向量 ‎∴∴‎ 记二面角的平面角为 ‎∴‎ 二面角的平面角的正弦值为 ‎20.解：（1）由题意可知 ‎∴‎ 椭圆标准方程为 ‎（2）当直线，斜率存在时（）并记作，‎ 设过原点和圆相切的直线方程为 所以有整理得：‎ 可知，是方程的两个根 ‎∴‎ ‎∴‎ 当、中有一条直线的斜率不存在时，圆和轴相切，此时，可得，仍有 综上可知，‎ ‎21.解：（1）‎ ‎①当时，‎ ‎，，函数递减；‎ 时，，函数递增；‎ ‎②当时，，‎ ‎，，，函数递增；‎ ‎，，，函数递减；‎ 当，，，函数递增；‎ ‎③当时，，函数在递增；‎ ‎④当时，，‎ ‎，，，函数递增；‎ ‎，，，函数递减；22.‎ ‎，，，函数递增.‎ ‎（2）由（1）知，当时，‎ 所以函数在内无零点 而 所以函数在内存在一个零点.‎ 综上可知：时，函数恰有个零点.‎ ‎22.解：（1）曲线的普通方程为（）‎ 曲线的极坐标方程为：，（）‎ ‎（2）设的极坐标为，（）‎ ‎∴‎ 所以点的极坐标为，不符合方程，‎ 所以点不在曲线上.‎ ‎23.解：（1）由，得 ‎∴得 ‎（2）由题意可知解集非空 ‎∵‎ 所以 所以或 实数的取值范围为