数学理卷·2018届辽宁省辽宁师范大学附属中学高三上学期期末考试(2018

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数学理卷·2018届辽宁省辽宁师范大学附属中学高三上学期期末考试(2018

‎2017-2018学年度上学期期末考试高三试题 数学(理)‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设复数(是虚数单位),则的共轭复数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知双曲线的两条渐近线方程为和,则该双曲线的离心率为( )‎ A.或 B.或 C. D.‎ ‎5.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某校初三年级有名学生,随机抽查了名学生,测试分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体,下列结论正确的是( )‎ A.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次 B.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次 C.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人 D.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约为人.‎ ‎7.若,均为锐角且,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是( )‎ A.甲没过关 B.乙没过关 C.丙过关 D.丁过关 ‎9.一个正六棱柱的主视图(由两个边长等于的正方形组成)如图所示,则该六棱柱的侧视图的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知数列是公差不为的等差数列,,且,,成等比数列,设,则数列的前项和为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.“”是函数满足:对任意的,都有”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎12.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上,,,,平面,则此三棱锥外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.若,则 .‎ ‎14.已知数列的前项和为,且,则 .‎ ‎15.若,,点在圆的外部,则的范围是 .‎ ‎16.直角梯形中,,,是边长为的正三角形,是平面上的动点,,设(,),则的最大值为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知,,设函数 ‎(1)求函数的单调增区间;‎ ‎(2)设的内角,,所对的边分别为,,,且,,成等比数列,求的取值范围.‎ ‎18. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 ‎(1)能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关?‎ ‎(附:‎ 当时,有的把握说事件与有关;当,认为事件与是无关的)‎ ‎(2)已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中,有名男同学,名女同学.现从这名男同学和名女同学中选人参加综合素质大赛,求被选中的男生人数的分布列和期望.‎ ‎19. 如图,在直三棱柱中,、分别为、的中点,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若直线和平面所成角的正弦值等于,求二面角的平面角的正弦值.‎ ‎20. 已知椭圆(),长轴长为,是左焦点,是椭圆上一点且在第二象限,轴,是右顶点,是上顶点,且.‎ ‎(1)求椭圆标准方程;‎ ‎(2)若是椭圆上任意一点,过原点作圆:的两条切线,分别交椭圆于,,求证:.‎ ‎21. 已知函数,为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,研究函数零点的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,,曲线的参数方程为(为参数)‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程及曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)当()时在曲线上对应的点为,若的面积为,求点的极坐标,并判断是否在曲线上(其中点为半圆的圆心)‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数,且不等式的解集为.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若关于的不等式解集非空,求实数的取值范围.‎ ‎2017-2018学年度上学期期末考试高三试题 数学(理)参考答案 一、选择题 ‎1-5:BDAAC 6-10:CBBCD 11、12:BD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)‎ 令 则,‎ 所以函数单调递增区间为,‎ ‎(2)由可知 ‎(当且仅当时,取等号)‎ 所以 综上的取值范围为 ‎18.解:(1)由调查数据可知,‎ 没有的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关.‎ ‎(2)被选中的男生人数的取值为,,,‎ 则 分布列为 期望 ‎19.解:(1)在直三棱柱中 又 平面,平面,‎ ‎∴平面 又∵平面 ‎∴平面平面.‎ ‎(2)由(1)可知 以点为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为 轴正方向,建立坐标系.设 ‎,,,,,,,‎ 直线的方向向量,平面的法向量 可知∴‎ ‎,,‎ 设平面的法向量 ‎∴∴‎ 设平面的法向量 ‎∴∴‎ 记二面角的平面角为 ‎∴‎ 二面角的平面角的正弦值为 ‎20.解:(1)由题意可知 ‎∴‎ 椭圆标准方程为 ‎(2)当直线,斜率存在时()并记作,‎ 设过原点和圆相切的直线方程为 所以有整理得:‎ 可知,是方程的两个根 ‎∴‎ ‎∴‎ 当、中有一条直线的斜率不存在时,圆和轴相切,此时,可得,仍有 综上可知,‎ ‎21.解:(1)‎ ‎①当时,‎ ‎,,函数递减;‎ 时,,函数递增;‎ ‎②当时,,‎ ‎,,,函数递增;‎ ‎,,,函数递减;‎ 当,,,函数递增;‎ ‎③当时,,函数在递增;‎ ‎④当时,,‎ ‎,,,函数递增;‎ ‎,,,函数递减;22.‎ ‎,,,函数递增.‎ ‎(2)由(1)知,当时,‎ 所以函数在内无零点 而 所以函数在内存在一个零点.‎ 综上可知:时,函数恰有个零点.‎ ‎22.解:(1)曲线的普通方程为()‎ 曲线的极坐标方程为:,()‎ ‎(2)设的极坐标为,()‎ ‎∴‎ 所以点的极坐标为,不符合方程,‎ 所以点不在曲线上.‎ ‎23.解:(1)由,得 ‎∴得 ‎(2)由题意可知解集非空 ‎∵‎ 所以 所以或 实数的取值范围为
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