广东省顺德区容山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

广东省顺德区容山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

广东省顺德区容山中学 2019-2020 学年高二下学期期中考试试题 (考试时间：120 分钟 满分 150 分) 2020.4.18 9:40—11:40 第 I 卷 选择题 （共 60 分） 一、单项选择题（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 若复数 ，则 （ ） A． B． C． D．20 2. =（ ） A．31 B．32 C．33 D．34 3. （ ） A. B. C. D. 4. 下列求导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5. 已知函数 ，则 （ ） A．2 B． C． D．3 6. 已知 ，则 （ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 7. 的展开式中，各项系数之和为（ ） A．-32 B．32 C．256 D．-256 8. 从某学习小组的 5 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女 生各一名，则不同的选取种数为（ ） ( )( )3 1z i i= − + z = 2 2 2 5 10 2 2 2 2 3 4 5 6C C C C+ + + 91 i 1 i + =− 1− i− 1 i ( )cos sinx x′ = ( )3 3 ln3x x′ = ( )ln ln -1x x x′ = sin cos3 3 x x′  =   ( ) lnf x x x= + 0 (2 ) (2)lim x f x f x∆ → + ∆ − =∆ 3 2 5 4 ( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( )1f ′ = 51( 3) x − A．35 B．70 C．80 D．140 9. 若 上是减函数，则 b 的取值范围是（ ） A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1） 10. 定义域为 R 的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则 不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的， 少答 3 分，多答错答 0 分） 11. 定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A．-3 是 的一个极小值点； B．-2 和-1 都是 的极大值点； C． 的单调递增区间是 ； D． 的单调递减区间是 ． 12. 设函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 定义域是（0，+ ） B．x∈（0，1）时， 图象位于 x 轴下方 C． 存在单调递增区间 D． 有且仅有两个极值点 三、填空题（本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13. 已知 i 是虚数单位，则复数 对应的点在第________象限．（用一、二、三、 四作答） 14. 在 的展开式中， 的系数为________． 21( ) ln( 2)2f x x b x= − + + ∞在( - 1, + ) ( )y f x= ( )f x′ ( ) ( ) 0f x f x′ − < ( )0 1f = ( ) 1x f x e < ( )0, ∞+ ( )2,+∞ ( ),0−∞ ( ),2−∞ R ( )y f x= ( )f x ( )f x ( )f x ( )3,− +∞ ( )f x ( ), 3−∞ − ( ) ln xef x x = ( )f x ∞ ( )f x ( )f x ( )f x 2 1 2(2 ) 2 ii i ++ − ( ) ( )6 41 1 x y+ + 2 3x y 15. 若 ，则 __________． 16. 若直线 与曲线 相切，则 __________． 四、解答题（共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 10 分） 已知复数 ．（1）若 为实数，求实数 的值；（2）若 为纯虚数，求实数 的值；（3）若 在复平面上对应的点在直线 上，求实数 的值． 18. （本小题满分 12 分） RSZX 将要举行校园歌手大赛，现有 3 男 3 女参加，需要安排他们的出场顺序． （1）如果 3 个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ （2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ （3）如果 3 位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？ （要有必要的文字说明，结果用数字作答） 3 412m mA C= m = 2y kx= − 1 3lny x= + k = 2( 4) ( 2) ,z a a i a R= − + + ∈ z a z a z 2 1 0x y+ + = a 19. （本小题满分 12 分） 已知在 的展开式中第 5 项为常数项． （1）求 的值； （2）求展开式中含有 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 20. （本小题满分 12 分） 如图所示， 是边长 ， 的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等 的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子， 、 是 上被切去的小正方形 的两个顶点，设 ． （1）将长方体盒子体积 表示成 的函数关系式，并求其定义域； （2）当 为何值时，此长方体盒子体积 最大？并求出最大体积． 3 3 1( ) 2 nx x − n 2x ABCD 24AB cm= 9AD cm= M N AB ( )AM x cm= 3( )V cm x x 3( )V cm 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）当 时，求 在（ ）处的切线方程； （2）若函数 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数 的取值范围． 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 的图像在点 处的切线为 ． （1）求函数 的解析式； （2）当 时，求证： ； （3）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围． ( ) 21 3 ln4 2g x x x x b= − + + 5 4b = − ( )g x ( )1, 1g ( )g x b 2( ) ,xf x e x a x R= − + ∈ 0x = y bx= ( )f x x∈R ( ) 2f x x x≥ − + ( )f x kx> (0, )x∈ +∞ k 参考答案 (考试时间：120 分钟 满分 150 分) 注意事项： 1．考试时务必诚信作答，在父母的监督下答题； 2．考前 15 分钟推送试题，考试结束后迅速将非选择题的答案拍照上传到智学网上相应答题区 域内． 第 I 卷 选择题 （共 60 分） 一、单项选择题（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题的四个选项中，只有一个是正确 的） 1.若复数 ，则 （ ） A． B． C． D．20 【答案】B 【解析】 ，故 ．故选： ． 2. =（ ） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】D 【解析】 3. （ ） A． B． C． D． 【答案】D 4.下列求导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B ( )( )3 1z i i= − + z = 2 2 2 5 10 ( )( )3 1 4 2z i i i= − + = + 20 2 5z = = B 2 2 2 2 3 4 5 6C C C C+ + + 2 2 2 2 3 4 5 6 3 2 4 3 5 4 6 5 3 6 10 15 342 1 2 1 2 1 2 1C C C C × × × ×+ + + = + + + = + + + =× × × × 91 i 1 i + =− 1− i− 1 i ( )cos sinx x′ = ( )3 3 ln3x x′ = ( )ln ln -1x x x′ = sin cos3 3 x x′  =   【解析】由于 ，故选项 A 不正确；由于 ，故选项 B 正确； 由于 ，故选项 C 不正确；由于 ，故选项 D 不正确．故选：B 5.已知函数 ，则 （ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】根据题意，对函数 ，有 ， 又由 ，则 ，则有 ．故选：B． 6.已知 ，则 （ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】C 【解析】函数 ，则 ， 令 代入上式可得 ，则 ，故选：C． 7. 的展开式中，各项系数之和为（ ） A．-32 B．32 C．256 D．-256 【答案】A 【解析】令 中 ，则有各项系数之和为 ，故选：A． 8.从某学习小组的 5 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生 各一名，则不同的选取种数为（ ） A．35 B．70 C．80 D．140 (cos ) sinx x′ = − ( )3 =3 ln3x x′ ( ln ) ln 1x x x′ = + 1sin cos3 3 3 x x ′ =   ( ) lnf x x x= + 0 (2 ) (2)lim x f x f x∆ → + ∆ − =∆ 3 2 5 4 ( )f x 0 (2 ) (2)lim (2) x f x f fx∆ → + ∆ − ′=∆ ( ) lnf x x x= + 1( ) 1f x x ′ = + 1 3(2) 1 2 2f ′ = + = ( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( )1f ′ = ( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( ) ( )2 3 1f x x f′ ′= + 1x = ( ) ( )1 2 3 1f f′ ′= + ( )1 1f ′ = − 51( 3) x − 51( 3) x − 1x = 5( 2) 32− = − 【答案】B 【解析】由题得，从 9 名学生中任选 3 人，共 种情况，若选出的 3 人都为男生时，有 种情况，选出 3 人都为女生时，有 种情况，可得符合题意的选取种数为 ．故选：B 9.若 f(x)= 上是减函数，则 b 的取值范围是（ ） A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1） 【答案】C 【解析】由题意可知 ，在 上恒成立，即 在 上恒成立，由于 ，所以 ，故Ｃ为正确答案． 10.定义域为 R 的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则不 等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，则 ， ， ， 函数 在 上单调递减， 又 ， ， ．故选：A． 二、多选题（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的， 少答 3 分，多答错答 0 分） 11.定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） 3 9 84C = 3 5 10C = 3 4 4C = 84 10 4 70− − = 21 ln( 2)2 x b x− + + ∞在( - 1, + ) ( ) 02 bf x x x +′ = − <+ ( 1, )x∈ − +∞ ( 2)b x x< + ( 1, )x∈ − +∞ 1x ≠ − 1b ≤ − ( )y f x= ( )f x′ ( ) ( ) 0f x f x′ − < ( )0 1f = ( ) 1x f x e < ( )0, ∞+ ( )2,+∞ ( ),0−∞ ( ),2−∞ ( ) ( ) x f xh x e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x x x x f x e f x e f x f xh x e e ′ ′− −′ = =  ( ) ( ) 0f x f x′ − < ∴ ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x R ( ) ( ) 0 00 1fh e = = ( ) ( ) 1x f xh x e = < ∴ ( )0,x∈ +∞ R ( )y f x= A．-3 是 的一个极小值点； B．-2 和-1 都是 的极大值点； C． 的单调递增区间是 ； D． 的单调递减区间是 ． 【答案】ACD 【解析】当 时， ， 时 ， ∴ 是极小值点，无极大值点，增区间是 ，减区间是 ．故选：ACD． 12.设函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 定义域是（0，+ ） B．x∈（0，1）时， 图象位于 x 轴下方 C． 存在单调递增区间 D． 有且仅有两个极值点 【答案】BC 【解析】由题意，函数 满足 ，解得 且 ，所以函数 的 定义域为 ，所以 A 不正确； 由 ，当 时， ，∴ ，所以 在 上的图象都在轴的下 方，所以 B 正确； 所以 在定义域上有解，所以函数 存在单调递增区间，所以 C 是正确的； 由 ，则 ，所以 ，函数 单调增，则函数 只有一个根 ，使得 ，当 时， ，函数单调递减，当 时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 不正确； 故选 BC． 第 II 卷（共 90 分） ( )f x ( )f x ( )f x ( )3,− +∞ ( )f x ( ), 3−∞ − 3x < − ( ) 0f x′ < ( 3, )x∈ − +∞ ( ) 0f x′ ≥ 3− ( )3,− +∞ ( ), 3−∞ − ( ) ln xef x x = ( )f x ∞ ( )f x ( )f x ( )f x ( ) ln xef x x = 0 ln 0 x x >  ≠ 0x > 1x ≠ ( ) ln xef x x = (0,1) (1, )∪ +∞ ( ) ln xef x x = (0,1)x∈ ln 0x < ( ) 0f x < ( )f x (0,1) ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) 1lng x x x = − ( ) 2 1 1 .( 0)g x xx x ′ = + > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) 0f x′ = 0x 0( ) 0f x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞ 三、 填空题（本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.已知 i 是虚数单位，则复数 对应的点在第________象限． 【答案】二 【解析】由题意得，已知复数 ，则设 ， 即： ，则复数所对应的点为 ，则在第二象限．故答案为：二． 14.在 的展开式中， 的系数为________． 【答案】 【解析】 的展开式中，所求项为： ， 的 系数为 ．故答案为: ． 15.若 ，则 __________． 【答案】5 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ．故答案为: ． 16.若直线 与曲线 相切，则 __________． 【答案】3 【解析】设切点为 ， ∵ ，∴ 由①得 ，代入②得 ，则 ， ． 2 1 2(2 ) 2 ii i ++ − 2 1 2(2 ) 2 ii i ++ − ( )( ) ( )( )2 2 1 2 21 2(2 ) 4 42 2 2 i iiz i i ii i i + ++= + = + = − +− − + 4z i= − + ( )4,1− ( ) ( )6 41 1 x y+ + 2 3x y 60 ( ) ( )6 41 1 x y+ + 2 2 3 3 2 3 2 3 6 4 6 5 4 602C x C y x y x y ×= × = 2 3x y 60 60 3 412m mA C= m = 3 412m mA C= ! !12( 3)! 4! ( 4)! m m m m = ×− × − 1 12 , 3 2, 53 4 3 2 1 m mm = ∴ − = =− × × × 5 2y kx= − 1 3lny x= + k = 0 0( , 2)x kx − 3y x ′ = 0 0 0 3 , 2 1 3ln , kx kx x  =  − = + ① ② 0 3kx = 01 3ln 1x+ = 0 1x = 3k = 四、 解答题（共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 已知复数 ． （1）若 为实数，求实数 的值； （2）若 为纯虚数，求实数 的值； （3）若 在复平面上对应的点在直线 上，求实数 的值． 【解析】（1）若 为实数，则 ， ；…………2 分 （2）若 z 为纯虚数，则 ，……………4 分 解得实数 a 的值为 2；………………6 分 （3） 在复平面上对应的点 ，………………7 分 在直线 上，则 ，即 ………8 分 解得 ．………………10 分 18.（本小题满分 12 分） RSZX 将要举行校园歌手大赛，现有 3 男 3 女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答） （1）如果 3 个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ （2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ （3）如果 3 位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？ 【解析】（1）先排 3 个男生，总共有 种可能； 再在产生的四个空中，选出 3 个，将女生进行排列，有 种可能， 故所有不同出场顺序有： ；………………4 分 （2）先计算全部的排列可能有： ， 2( 4) ( 2) ,z a a i a R= − + + ∈ z a z a z 2 1 0x y+ + = a z 2 0a + = 2a = − 2 4 0 2 0 a a  − =  + ≠ z ( )2 4 2a a− +， 2 1 0x y+ + = ( )2 4 2 2 1 0a a− + + + = 2 2 1 0a a+ + = 1a = − 3 3A 3 4A 3 3 3 4 144A A× = 6 6A 因为每一次全排列，甲乙都有 种可能，故甲和乙定序的排列有： ；………………8 分 （3）将 3 个男生进行捆绑后，总共有 4 个元素进行排列， 先从甲女生以外的 3 个元素中选取 1 个第一个出场，再对剩余 3 个元素进行全排列， 同时对 3 个男生也要进行全排列，故所有的可能有 ………………12 分 （说明：每问 4 分，其中文字分析 2 分、列式子计算 2 分；下列情况可以不给分：1、只有一个式 子或只有一个数字答案，毫无分析文字描述；2、计算式子不正确，答案正确；） 19.（本小题满分 12 分） 已知在 的展开式中第 5 项为常数项． （1）求 的值；（2）求展开式中含有 项的系数；（3）求展开式中所有的有理项． 【解析】（1）展开式的通项公式为 ．………………2 分 因为第 5 项为常数项，所以 时，有 ，解得 ．………………4 分 （2）令 ，由（1） ，解 ，故所求系数为 ………8 分 （3）有题意得， ，令 ，则 ……10 分 所以 可取 ，即 可取 1，4，7，它们分别为 ， ， ．……12 分 20.（本小题满分 12 分） 如图所示， 是边长 ， 的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等 的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子， 、 是 上被切去的小正方形 的两个顶点，设 ． 2 2A 6 6 2 2 360A A = 3 1 3 3 3 3 108A C A = 3 3 1( ) 2 nx x − n 2x 2 3 3 1 3 1 1( ) ( ) ( )22 n r r n r r r r r n nT C x C x x − − + = − = − 4r = 2 03 n r− = 8n = 2 23 n r− = 8n = 1r = 1 8 1( ) 42C − = − 8 2 3 0 8 r r r Z − ∈Ζ  ≤ ≤  ∈  8 2 ( )3 r k k Z − = ∈ 8 3 342 2 kr k −= = − k 2,0, 2− r 24x− 35 8 2 1 16x − ABCD 24AB cm= 9AD cm= M N AB ( )AM x cm= 　　　 （1）将长方体盒子体积 表示成 的函数关系式，并求其定义域； （2）当 为何值时，此长方体盒子体积 最大？并求出最大体积． 【解析】长方体盒子长 ，宽 ，高 ． （1）长方体盒子体积 ， ………4 分 由 得 ，故定义域为 ．………………6 分 （2）由（1）可知长方体盒子体积 则 ，………………8 分 在 内令 ，解得 ，故体积 V 在该区间单调递增； 令 ，解得 ，故体积 V 在该区间单调递减；……………10 分 ∴ 在 取得极大值也是最大值．此时 ． 故当 时长方体盒子体积 最大，此时最大体积为 ．……12 分 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ． 3( )V cm x x 3( )V cm (24 2 )EF x cm= − (9 2 )FG x cm= − EE xcm′ = (24 2 )(9 2 )V x x x= − − 3 24 66 216V x x x= − + 0 24 2 0 9 2 0 x x x >  − >  − > 90 2x< < 90, 2      3 24 66 216V x x x= − + ( )( )212 132 216 12 2 9V x x x x′ = − + = − − 90, 2x  ∈   0V′ > (0,2)x∈ 0V′ < 92, 2x ∈     V 2x = 3 2 34 2 66 2 216 2 200V cm= × − × + × = 2x = ( )3V cm 3200cm ( ) 21 3 ln4 2g x x x x b= − + + （1）当 时，求 在（ ）处的切线方程； （2）若函数 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数 的取值范围． 【解析】（1）因为 ，所以 ，………………2 分 所以 ，………………4 分 又因为切点为（1， ），所以切线的方程为 ；………………6 分 （2）若函数 在[1，4]上有两个不同的零点，可得 在[1，4]内有两个实 根， 设 ， ，………………7 分 当 时， 递减，当 时， 递增，………………9 分 由 ， ， ， 画出 的图象，如图所示： ………………11 分 可得 ，解得 ．………………12 分 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 的图像在点 处的切线为 ． （1）求函数 的解析式； 5 4b = − ( )g x ( )1, 1g ( )g x b ( ) 21 3 5ln4 2 4g x x x x= − + − ( ) 1 3 1 2 2g x x x ′ = − + ( ) 1 31 1 02 2 ′ = − + =g 5 2 − 5 2y = − ( )g x 21 3 ln4 2b x x x− = − + ( ) 21 3 ln4 2h x x x x= − + ( ) ( )( )1 21 3 1 2 2 2 x xh x x x x − −′ = − + = ( )1,2x∈ ( )h x ( )2,4x∈ ( )h x ( ) 51 4h = − ( )2 2 ln 2h = − + ( )4 ln 4 2h = − ( )y h x= 52 ln 2 4b− + < − ≤ − 5 2 ln 24 b≤ < − 2( ) ,xf x e x a x R= − + ∈ 0x = y bx= ( )f x （2）当 时，求证： ； （3）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1） ，………………1 分 由已知得 解得 ，故 ．………………3 分 （2）令 ，由 得 ．………4 分 当 时， ， 单调递减；………………5 分 当 时， ， 单调递增．………………6 分 ∴ ，从而 ．………………7 分 （3） 对任意的 恒成立 对任意的 恒成 立．…………8 分 令 ， ∴ ………9 分 由（2）可知当 时， 恒成立 令 ，得 ； 得 ．……………10 分 ∴ 的增区间为 ，减区间为 ， ，……………11 分 ∴ ，∴实数 的取值范围为 ．……………12 分 x∈R ( ) 2f x x x≥ − + ( )f x kx> (0, )x∈ +∞ k 2( ) , ( ) 2x xf x e x a f x e x′= − + = − (0) 1 0 (0) 1 f a f b = + =  = =′ 1 1 a b = −  = 2( ) 1xf x e x= − − 2( ) ( ) 1xg x f x x x e x= + − = − − ( ) 1 0xg x e′ = − = 0x = ( , 0)x ∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x (0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x min( ) (0) 0g x g= = 2( )f x x x≥ − + ( )f x kx> (0, )x∈ +∞ ⇔ ( )f x kx > (0, )x∈ +∞ ( )( ) , 0f xh x xx = > ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 ( 1) 1( ) ( )( ) x x xx e x e x x e xxf x f xh x x x x − − − − − − −′ −′ = = = (0, )x∈ +∞ 2 1 0e x− − > ( ) 0h x′ > 1x > ( ) 0h x′ < 0 1x< < ( )h x (1, )+∞ (0,1) min( ) (1) 2h x h e= = − min( ) (1) 2k h x h e< = = − k ( , 2)e−∞ −