山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年度第二学期期中自主练习高一数学试题 一、选择题：本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1～10题只有一项符合题目要求,第11～13题有多项符合题目要求全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.‎ ‎1.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简即可求值.‎ ‎【详解】.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式在求函数值中的应用,难度容易.‎ ‎2.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直,求出弦所在直线的斜率,再代入点斜式化为一般式.‎ ‎【详解】化为标准方程为.‎ ‎∵为圆的弦的中点,‎ ‎∴圆心与点确定的直线斜率为,‎ ‎∴弦所在直线的斜率为1，‎ ‎∴弦所在直线的方程为,即.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直,以及直线的点斜式,属于基础题,难度较易.‎ ‎3. 某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人.‎ A. 65,150,65 B. 30，150，‎100 ‎C. 93,94,93 D. 80,120,80‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 每个个体被抽到的概率为，∴专科生被抽的人数是,‎ 本科生要抽取,研究生要抽取.‎ ‎4.圆与直线的位置关系( )‎ A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线的方程变形为点斜式,观察得到直线过一个定点,易判定点在圆内,从而明确直线与圆的位置关系.‎ ‎【详解】直线即即直线过点,把点代入圆的方程有,所以点在圆的内部,过点的直线一定和圆相交.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查直线系方程的应用,考查直线过定点,考查直线与圆的位置关系,考查转化思想,属于基础题,难度较易.‎ ‎5.若角满足，则是( )‎ A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角的三角函数关系得出且,由此判断是第几象限角.‎ ‎【详解】角满足,‎ ‎,‎ ‎,‎ 是第三象限角.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数在各象限的符号和同角三角函数的平方关系,难度较易.‎ ‎6.已知与之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为 ，那么的值为（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线性回归方程过样本中心，通过表中数据计算求解即可.‎ ‎【详解】根据表中数据计算得：，‎ 将代入，可得，解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性回归方程过样本中心的性质，属于基础题.‎ ‎7.从点向圆引切线，则切线长的最小值( )‎ A. B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切线长为,则再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.‎ ‎【详解】设切线长为,则, .‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8.某副食品店对某月的前11天内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数和方差（结果保留一位小数）分别是）( )‎ A. 45,45.3 B. 45,‎46.4 ‎C. 47,45.3 D. 47,46.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中数据及中位数,方差的概念进行计算可得答案.‎ ‎【详解】由题中茎叶图共有11个数据,所以中位数为45,平均数为,求得方差为46.4.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查茎叶图相关知识,及中位数,方差的相关概念,考查学生的计算能力,难度一般.‎ ‎9.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( )‎ A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品 C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件和互斥事件的定义,依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件.‎ B、至少有1件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件.‎ C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件.‎ D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都是次品”的情况,故满足条件.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了对立事件和互斥事件，意在考查学生对对立事件和互斥事件的理解,难度较易.‎ ‎10.若从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，则直线一定经过第四象限概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用列举法求得基本事件的总数，再列举出所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，‎ 得到的取值的所有可能了结果共有：‎ ‎，共计9种结果，‎ 由直线，即，其中当时，直线不过第四象限，‎ 共有，共计4种，‎ 所以当直线一定经过第四象限时，共有5中情况，‎ 所以概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及直线方程的应用，其中解答中根据题意列举出基本事件的总数，进而利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎11.设、和分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出角的正弦、余弦和正切线,根据三角函数线定义,即可得出结果.‎ ‎【详解】分别作角的正弦、余弦和正切线,如图,‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选:BC.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数线比较同角三角函数值的大小比较,考查数形结合思想的应用,难度较易.‎ ‎12.已知，角的终边经过点，则下列结论正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过终边上点的坐标求出然后代入分段函数中求值即可.‎ ‎【详解】因为角的终边经过点,‎ 所以,‎ 所以,,‎ 所以,.‎ 故选AC.‎ ‎【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义,分段函数的计算求值,难度较易.‎ ‎13.已知圆和圆交于不同的两点，则下列结论正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆的方程相减,求得公共弦所在直线的方程,代入点的坐标,结合圆的性质,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意，由圆的方程可化为圆两圆的方程相减可得直线的方程为: 即分别把两点代入可得两式相减可得即,所以选项C、D是正确的;‎ 由圆的性质可得，线段与线段互相平分,即中点和的中点重合,所以,所以选项A是正确的.‎ 故选:ACD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的判定与应用，其中熟记两圆的公共弦的方程的求解,以及合理应用圆的性质是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,难度一般.‎ 二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.‎ ‎14.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概，应填.‎ 考点：概率的求法.‎ ‎15.在半径为‎10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为 米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 弯道长是半径为10，圆心角为即弧度所对的弧长．由弧长公式得弧长为 ‎．‎ ‎16.一袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则1只红球和1只黄球的概率为__________，2只球颜色相同的概率为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,求得基本事件的总数15种,再求得1只红球和1只黄球的及2只颜色相同包含的基本事件的个数,根据古典概型及其概率的计算公式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球,其中有3只红球、2只黄球和1只篮球,从中1次随机摸出2只球,则基本事件的总数为种情况.‎ ‎1只红球和1只黄球包含的基本事件个数为,所以1只红球和1只黄球的概率为;‎ 又由2只颜色相同包含的基本事件个数为,所以2只颜色相同的概率为.‎ 故答案为:,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用,其中解答中认真审题,利用排列、组合的知识分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,难度较易.‎ ‎17.若直线与方程所表示的曲线有公共点，则实数的取值范围为______，若恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线是以原点为圆心,1为半径的半圆,直线是一条斜率为1的直线, 画出图象,结合图象,即可得出答案.‎ ‎【详解】由题由可得即为以原点为圆心,1为半径的半圆.直线是一条斜率为1的直线,与轴交于两点分别是.‎ 当点在直线上时;当点在直线上时, ,‎ 当直线与相切时满足所以(舍)或.‎ 所以直线与曲线有公共点,实数满足;恰有两个不同的交点时,实数满足.‎ 故答案为:, .‎ ‎【点睛】本题考查已知直线与圆的交点个数求参数范围问题,考查数形结合思想,难度一般.‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.已知角的终边与单位圆在第一象限交于点，且点的坐标为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数的定义,建立关于的方程,即可求得.‎ ‎（2）先利用诱导公式化简,再将已知条件代入即可.‎ ‎【详解】（1）由题得,点在第一象限所以,所以.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义,考查同角的商数关系和诱导公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力,难度较易.‎ ‎19.已知点，点在圆上运动.‎ ‎（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；‎ ‎（2）求的最值.‎ ‎【答案】(1)或;(2)最大值为88,最小值为72.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.‎ ‎(2) 由设点坐标为则.‎ 代入化简可得,由,即可求得求的最值.‎ ‎【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为,‎ 所以圆心到直线的距离为,设直线方程为,即,所以,解得或所以直线方程为或.‎ ‎(2)设点坐标为则.‎ 因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.‎ ‎【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.‎ ‎20.从某校参加期中考试的高一学生中随机抽取100名得到这100名学生语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；‎ ‎（3）已知学生的语文成绩为123分，现从成绩在中的学生中随机抽取2人参加演讲赛，求学生被抽中的概率.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 103分,95分,101.67分;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率之和为1,直接列式计算即可；‎ ‎（2）平均数等于每组的中间值乘以该组频率,再求和;众数指频率最大的一组的中间值;‎ 中位数两端的小长方形面积之和均为0.5;（3）根据题意分别求出的人数,根据列举的结果即可求得概率.‎ 详解】(1)由频率分布直方图可得：‎ ‎ ‎ 解得:.‎ ‎(2)平均分为：‎ ‎(分).‎ 众数为:(分).‎ ‎∵的频率为的频率为 ‎∴中位数为： (分).‎ ‎(3)成绩在的人数为(人).设另外4人为,抽取2人共有,,,,,,,,,10种结果, 学生被抽中的概率.‎ ‎【点睛】本题考查补全频率分布直方图,利用频率直方图求平均数、众数、中位数,考查用列举法求古典概型概率,难度较易.‎ ‎21.已知点，动点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）求经过点以及曲线与交点的圆的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 求点的轨迹方程的步骤:建立坐标系设出所求点的坐标,写出所求点的关系式,关系式坐标化整理化简,即可求得结果;(2) 先确定过两圆交点的圆系方程,再将的坐标代入,即可求得所求圆的方程.‎ ‎【详解】(1)设,因为,,所以 ‎,整理得,所以曲线的方程为.‎ ‎(2)设所求方程为,即,将代入上式得,解得,‎ 所以所求圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查轨迹法求曲线方程,考查过两圆的交点的圆的方程,运用交点系方程是本题的关键，难度较易.‎ ‎22.已知一工厂生产了某种产品700件，该工厂需要对这些产品的性能进行检测现决定利用随机数表法从中抽取100件产品进行抽样检测，将700件产品按001，002，…，700进行编号 ‎（1）如果从第8行第4列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3件产品的编号；（下面摘取了随机数表的第7～9行）‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ ‎（2）检测结果分为优等、合格、不合格三个等级，抽取的100件产品的安全性能和环保性能的检测结果如下表（横向和纵向分别表示安全性能和环保性能）：‎ ‎（i）若在该样本中，产品环保性能是优等的概率为34%，求的值；‎ ‎（ii）若，求在安全性能不合格的产品中，环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率.‎ 件数 环保性能 优等 合格 不合格 安全性能 优等 ‎6‎ ‎20‎ ‎5‎ 合格 ‎10‎ ‎18‎ ‎6‎ 不合格 m ‎4‎ n ‎【答案】(1) 163,567,199 ;(2)(i) (ii).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在随机数表中找到第8行第4列,依次选出小于700的三位数即得到答案;（2）结合表格中的数据和产品环保性能是优等的概率是34%，求出m的值,然后代入求出n的值,运用枚举法列举出所有的可能性,找出符合条件的可能性,求出概率.‎ ‎【详解】(1)依题意,最先检测的三件产品的编号为163,567,199;‎ ‎(2) （i）由,得.‎ ‎,‎ ‎（ii）由题意: 且，所以满足条件的有：‎ 共12组，且每组出现可能性相同，其中环保性能为优等的件数比不合格的件数少有共4组,所以环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了抽样的实际应用,掌握运用随机数表抽出数据,并计算概率问题,考查学生分析问题的能力,难度较易.‎ ‎23.已知的顶点坐标分别是，的外接圆为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数：若不存在，说明理由；‎ ‎（3）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数：若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 存在点,且有2个; (3) 存在点,且有2个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设外接圆的方程为将三点代入圆的方程,列出方程组,求得的值,即可得到圆的方程;‎ ‎ (2)设点的坐标为，由化简得,利用直线与圆的关系，即可求解.‎ ‎(3) 设点的坐标为,化简得,利用圆与圆的位置关系判断,即可求解.‎ ‎【详解】(1)设外接圆的方程为将三点代入圆的方程得: ,解得: ,即圆的方程为即为;‎ ‎(2)设点的坐标为，由所以化简得:, 即考查直线与圆的位置关系, 点到直线的距离为,所以直线与圆相交,故满足条件的点有两个.‎ ‎(3) 设点的坐标为,所以化简得,圆心距为,所以两圆相交, 故满足条件的点有两个.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆方程的求解,以及直线与圆的位置关系的应用问题,其中解答中利用待定系数法求解圆的方程,以及合理利用直线与圆的位置关系是解答的关键,着重考查了推理与计算能力难度一般.‎