高考数学复习专题模拟：第二章 函数与基本初等函数 第二节 基本初等函数
【数学】2014版《6年高考4年模拟》
第二节 基本初等函数I
第一部分 六年高考荟萃
2013年高考题
一、选择题
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若,则函数的两个零点分别位于区间( )
A.和内 B.和内
C.和内 D.和内
答案：A
【命题立意】本题考查二次函数的图像与性质以及函数零点的判断。因为，，，又，所以，即函数的两个零点分别在和内，选A.
．（2013年高考四川卷（理））设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
答案：A
曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]
考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项
当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立
由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确
当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确
综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设,则 （ ）
A． B． C． D．
答案：D
因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，
因为，，
所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知为正实数,则
A. B.
C. D.
答案：D
：因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．
．（2013年高考四川卷（理））函数的图象大致是( )
答案：C
当x＜0时，x3＜0，3x﹣1＜0，所以，故排除B；
对于C，由于函数值不可能为0，故可以排除C；
因为y=3x﹣1与y=x3相比，指数函数比幂函数，随着x的增大，增长速度越大，
所以x→+∞，→0，所以D不正确，A正确，故选A．
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是
(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6
答案： A
使用代值法。
设.
.
所以选A
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））函数的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
答案：B
在同一坐标系中作出函数与的图象，由图象可知零点个数为2个，选B.
．（2013年高考北京卷（理））函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=
A. B. C. D.
答案：D
函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，
而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．
故选D．
二、填空题
．（2013年高考上海卷（理））方程的实数解为________
答案：.
【解答】原方程整理后变为．
．（2013年高考上海卷（理））设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________
答案：.
【解答】，故；当时，
即，又，故．
三、解答题
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分.
已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.
(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;
(2)求函数 图像对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.
如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
(1)平移后图像对应的函数解析式为,
整理得,
由于函数是奇函数,
由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是.
(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.
设则,即.
由不等式的解集关于原点对称,得.
此时.
任取,由,得,
所以函数图像对称中心的坐标是.
(3)此命题是假命题.
举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数.
修改后的真命题:
“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.
2012年高考题
1. [2012·福建卷] 设函数D(x)＝则下列结论错误的是( )
A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
答案：C [解析] 考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决本题利用定义、图象等解决．若当x为无理数时，x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)；故f(x)是周期函数，故C错误；
若x为有理数，则－x也为有理数，则f(－x)＝f(x)；若x为无理数，则－x也为无理数，则f(－x)＝f(x)；故f(x)是偶函数，故B正确；结合函数的图象，A选项D(x)的值域为{0,1}，正确；且D(x)不是单调函数也正确，所以C错误．
2.[2012·重庆卷] 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．充要条件
答案：D [解析] 由于f(x)是R的上的偶函数，当f(x)在[0,1]上为增函数时，根据对称性知f(x)在[－1,0]上为减函数．根据函数f(x)的周期性将f(x)在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f(x)在[3,4]上的图象，所以f(x)在[3,4]上为减函数；同理当f(x)在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f(x)在[－1,0]上的图象，此时f(x)为减函数，又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D.
3.[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝ D．y＝x|x|
答案：D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D，我们也可利用x>0、x＝0、x<0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求．
4.[2012·辽宁卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：B [解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断．解题的突破口为根据函数的性质得到函数f(x)的解析式，结合函数图象求解．
f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)＝0，f(1)＝1，而g(x)＝为偶函数，且g(0)＝g＝g＝g＝0，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为6.
5.[2012·山东卷] 设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)
的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0
答案：B [解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难．
当y＝f的图象与y＝g图象有且仅有两个不同的公共点时，a<0时，其图象为
作出点A关于原点的对称点C，则C点坐标为(－x1，－y1)，由图象知－x1
y2，故x1＋x2>0，y1＋y2<0，同理当a>0时，有x1＋x2<0，y1＋y2>0，故选B.
6.[2012·浙江卷] 设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.
答案：. [解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数形结合和转化化归的数学思想．令y1＝x－1，y2＝x2－ax－1，则函数y1＝x－1，y2＝x2－ax－1都过定点P.考查函数y1＝x－1，令y＝0，得M，同时只有a－1>0即a>1时才有可能满足x∈时，y1·y2≥0；
考查函数y2＝x2－ax－1，显然只有过点M时才能满足x∈时，y1·y2≥0，代入得：2－－1＝0，可得2＋a－1＝0,2a2－3a＝0解得a＝或a＝0，舍去a＝0，得答案：a＝.
7.[2012·湖北卷] 已知二次函数y＝f(x)的图象如图1－1所示，则它与x轴所围图形的面积为( )
图1－1
A. B.C. D.
答案：B [解析] (解法一)设f(x)＝ax2＋bx＋c.因为函数f(x)的图象过(－1,0)，(1,0)，(0,1)，代入得 解得 故f(x)＝1－x2.
故S＝－1dx＝＝.故选B.
(解法二)设f(x)＝a，将x＝0，y＝1代入f(x)＝a，得a＝－1，所以f(x)＝－＝1－x2，所以S＝－1dx＝＝.故选B.
(解法三)观察函数图象可知，二次函数f(x)的顶点坐标为(0,1)，故可设f(x)＝ax2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入得a＝－1，所以f(x)＝－x2＋1.所以S＝＝＝.故选B.
8.[2012·四川卷] 函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
图1－2
答案：D [解析] 若a＞1，则f(x)为增函数，排除C、D，而0＜＜1，图象与y轴的交点应该在(0,1)内，A、B也不符合，故a＞1不合题意．
若0＜a＜1，则f(x)为减函数，排除A、B，此时＞1，故图象与y轴的交点应该在负半轴，排除C，选D.
B7 对数与对数函数
9． [2012·全国卷] 已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则( )
A．xlne＝1,0e－＝>＝，∴y0时，g′(x)<0，g(x)＝ln(x＋1)－x单调递减 ，所以g(x)0，g(x)＝ln(x＋1)－x单调递增， 所以g(x)0，
∵fn(x)在上是单调递增的，∴fn(x)在内存在唯一零点．
(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：
①当>1，即|b|>2时，
M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．
②当－1≤－<0，即00时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.
答案： [解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数形结合和转化化归的数学思想．令y1＝x－1，y2＝x2－ax－1，则函数y1＝x－1，y2＝x2－ax－1都过定点P.考查函数y1＝x－1，令y＝0，得M，同时只有a－1>0即a>1时才有可能满足x∈时，y1·y2≥0；
考查函数y2＝x2－ax－1，显然只有过点M时才能满足x∈时，y1·y2≥0，代入得：2－－1＝0，可得2＋a－1＝0,2a2－3a＝0解得a＝或a＝0，舍去a＝0，得答案：a＝.
2011年高考题
1.（四川理7）若是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图象大致是
【答案】A
【解析】当时，函数单调递减，值域为，此时，其反函数单调递减且图象在与之间，故选A．
2.（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是
【答案】A
【解析】图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．
3.（安徽文5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是
（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)
【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.
【解析】由题意，，即也在函数 图像上.
4.（天津文6）设，，，则（ ）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，
所以，故选Ｄ．
5.（重庆理5）下列区间中，函数=在其上为增函数的是
（A）（- （B） （C） （D）
【答案】D
6. (重庆文6)设,,,则,,的大小关系是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
7. (重庆文15)若实数,,满足,，则的最大值是 .
【答案】
8.（四川理13）计算_______．
【答案】－20*copoyright:x.k.100.com*
【解析】．
9.（陕西文11）设，则______.
【答案】
【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．
【解析】∵，∴，所以，即．
10.（陕西文4） 函数的图像是 （ ）
【答案】B
【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．
【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．
2010年高考题
一、选择题
1.（2010全国卷2理）（2）.函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
答案 D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
2.（2010陕西文）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
答案 C
【解析】本题考查幂的运算性质
3.（2010辽宁文）（10）设，且，则
（A） （B）10 （C）20 （D）100
答案 A
【解析】选A.又
4.（2010全国卷2文）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
答案 D
【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴
5.（2010安徽文）（7）设，则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
答案 A
【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
6.（2010安徽文）（6）设,二次函数的图像可能是
答案 D
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
7.（2010浙江文）2.已知函数 若 =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案 B
【解析】+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
8.（2010山东文）(3)函数的值域为
A. B. C. D.
答案 A
9.（2010北京文）(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
答案 B
10.（2010北京文）⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是
（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数
答案 A
11.（2010四川理）（3）2log510＋log50.25＝
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案 C
12.（2010天津文）(6)设
(A)af(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0
的是
A．= B. =
C .= D.
答案 A
解析 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
9. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝
，则＝
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
10.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
11.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D.1
答案 B
解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点
（1，1）处的切线方程为,不妨设,
则, 故选 B.
12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
答案 C
解析 由题令得，即，又，所以，故选择C。
13.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 ( )
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0
答案 D
解析 由得由得，所以选D项。
14.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数
的值是 ( )
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
答案 B
解析 由题得，故选择B。
解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
，可得．故选B．
15.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
答案 A
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
二、填空题
16.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= .
解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由得，；由知，所以4。
17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
答案
解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．
答案 2
解法1 由，得，即，于是由，解得
解法2因为，所以
2008年高考题
一、选择题
1.（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是 （ ）
O
y
x
A． B．
C． D．
答案 A
解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得取特殊点
.
2. (07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值
为 （ ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
答案 A
3.(07天津)设均为正数，且，，.
则 （ ）
A. B. C. D.
答案 A
二、填空题
4.（2008年山东文科卷）已知，则
的值等于 ．
答案 2008
解析 本小题主要考查对数函数问题。
第二部分 四年联考汇编
2013-2014年联考
一．基础题组
1. 【2014福建三明】已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2.【2014福建南安】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
3.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（ ）
A. B. C.2 D.4
4.【2014安徽涡阳蒙城】函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）
A． ≥ B． ≥ C．≤ D．≤
5.【2014安徽涡阳蒙城】若，则的表达式为（ ）
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：令，于是有 ，分别用 、 替换中的 、得：
最后仍用 作自变量，得 故选D.
考点：1、指数、对数式的互化；2、换元法求函数的解析式.
6. 【2014福建三明】函数的定义域为 .
7.【2014福建南安】已知函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．（－2，－1） B．（－1, 0） C．（0, 1） D．（1, 2）
8. 【2014福建三明】（本小题满分6分）计算：.
二．能力题组
9. 【2014福建三明】已知函数的对应关系如下表，函数的图像是如下图的曲线，其中则的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
10. 【2014福建三明】我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（ ）
11. 【2014福建三明】已知函数。若，则的值（ ）
A．一定是 B．一定是 C．是中较大的数 D．是中较小的数
12. 【2014福建三明】已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．【2014福建安溪八中12月月考数学理】已知函数是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称,若函数,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为函数是定义在R上的奇函数所以可得f(-x)=-f(x).又因为它的图像关于直线x=1对称所以可得f(x)=f(2-x).由上面两式可得f(2-x)=-f(-x).由此可递推得f(2-x)=-f(-x)=f(-2-x).所以函数f(x)周期为4.所以
.故选C.
考点：1.函数的奇偶性以对称性的结合.2.函数的周期性.3.化归转化思想.
14.【2014宿州一模】下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是 （ ）
A. B. C. D.
15.【2014安徽涡阳蒙城】已知函数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
16.【2014安徽涡阳蒙城】已知 , ,则函数 的图象必定不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
17.【2014安徽涡阳蒙城】设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
18．【2014福建安溪八中12月月考数学理】已知函数，设，若，则的取值范围是 ___ .
考点：1.分段函数的知识.2.函数的单调性.
19.【2014安徽涡阳蒙城】函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，则在上是
20.【2014安徽涡阳蒙城】对于每一个实数 ,取，，三个值中最小的值，则的最大值为_______
考点：1、基本初等函数的图象；2、数形结合.
21. 【2014福建三明】（本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点，过点；当时，图像是线段，其中，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.
（1）试求的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.
【答案】（1）；（2）老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
22.【2014宿州一模】（本小题满分13分）已知函数满足，当时；当时.
(Ⅰ)求函数在（-1,1）上的单调区间；
(Ⅱ)若，求函数在上的零点个数.
三．拔高题组
23.【2014福建南安】已知是函数的一个零点.若，则 ( )
A． B．
C． D．
24.【2014福建三明】函数有如下性质：若常数，则函数在上是减函数，在 上是增函数。已知函数（为常数），当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是 .
25.【“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2013-2014学年上学期第三次月考】对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数，请你根据上面探究结果，计算+…+
+= __________ .
26.【2014安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“好区间”．给出下列4个函数：
①；②；③；④．
其中存在“好区间”的函数是 ． （填入所有满足条件函数的序号）
②对于函数，该函数在上是增函数由幂函数的性质我们易得，时， ，所以为函数的一个“好区间”.
27. 【2014福建三明】（本小题满分14分）设函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，.
（1）求的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）用函数单调性的定义证明函数为增函数；
（4）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）奇函数；（3）详见解析；（4）.
【解析】
试题分析：（1）采用附值法，令代入即可求出；（2）先说明函数的定义域关于原点对称，然后令得到，然后可化成，可判断函数为奇函数；（3）设，则，所以，从而利用单调性的定义证出函数在上为增函数；（4）先将不等式转化成，再由函数的单调递增性，又转化为，再分离参数得不等式
，该不等式恒成立等价于，求出的最小值即可求出的取值范围.
28.【2014安徽涡阳蒙城】（满分12分）
已知函数f(2x)
（I）用定义证明函数在上为减函数。
（II）求在上的最小值.
【答案】
（I）见解析
（II）-3
【解析】
29.【2014安徽涡阳蒙城】（满分13分）
若非零函数对任意实数均有，且当时， ．
（1）求证：；
（2）求证：为减函数；
（3）当时，解不等式
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
2012-2013年联考
1【云南省玉溪一中2013届高三第四考次月理】函数 ， 则下列结论错误的是 ( )
A． 是偶函数 B．方程的解为
C． 是周期函数 D．方程的解为
【答案】D
【解析】则当为有有理数时，，也为有理数，则，；
则当为有无理数时，，也为无理数，则，所以函数为偶函数且为周期函数，所以A,C正确.当为有有理数时, ,即，所以方程的解为，C正确.方程可等价变形为，此时与方程的解为为有理数，故D错误，故选D
2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知对数函数是增函数,则函数的图象大致是（ ）
【答案】B
【解析】因为函数为增函数，所以，又函数为偶函数。当时，，当时，，选B.
3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据奇偶性定义知，A、C为偶函数，B为奇函数，D定义域为不关于原点对称，故选D.
4【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】若是偶函数，且当
的解集是（ ）
A．（－1，0） B．（－∞，0）（1，2） C．（1，2） D．（0，2）
【答案】D
【解析】 根据函数的性质做出函数的图象如图.把函数向右平移1个单位，得到函数，如图，则不等式的解集为，选D.
5【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）
【答案】B
【解析】由题意知，当时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当时，S的增长会越来越快，故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B．
6【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】定义在上的函数满足且时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知函数为奇函数，且，所以函数的周期为4，，，即，所以，因为，所以，所以，选C.
7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数的零点所在的区间是
A． B． C．（1，2） D．（2，3）
【答案】A
【解析】函数，在定义域上单调递增，，，，由跟的存在定理可知函数的零点在区间上选A.
8【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知偶函数
=
A．1 B．—1 C． D．
【答案】C
【解析】由得，所以函数的周期是4，所以,选C.
9【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】已知函数，则的大小关系是
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，所以，，当时，，所以函数在递增，所以有，即，选B.
10【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】在下列区间中，函数的零点所在的区间为
A、（，0） B、（0，） C、（，） D、（，）
【答案】C
【解析】，，所以函数的零点在，选C.
11【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】 已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为
A. 2 B. －1 C. －1或2 D. 0
【答案】B
【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得或.因为幂函数在，所以，即，所以.选B.
12【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】 已知定义在区间[0,2]上的函数的图象如图所示，则的图象为
【答案】A
【解析】当时，,排除B,C,D,选A.
13【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】给定函数①，②，③，④，其中在上单调递减的个数为
A. 0 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个
【答案】C
【解析】①为幂函数，，所以在上递减.②，在上递减，所以函数在，递减.③，在递增.④的周期，，在上单调递增，所以满足条件的有2个，选C.
14【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】设，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，。因为，所以，即。选C.
15【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
【答案】D
【解析】函数，都为奇函数，所以，，所以 函数关于点，对称，所以函数的周期，所以，即，所以函数为奇函数，选D.
16【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】设函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则等于
A. 13 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】做出函数的图象如图，要使方程有三个不同的实数根，结合图象可知，，所以三个不同的实数解为，所以，选B.
17【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】函数的图象是
【答案】A
【解析】函数为偶函数，图象关于轴对称，所以排除B,D.又，所以，排除C，选A.
18【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】设, ,，则
A. af(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)0，且a1，若函数有最大值，则不筹式的解集为 ；
【答案】
【解析】所以有最小值2，，要使函数有最大值，则指数函数单调递减，则有，由得，即，解得，即不等式的解集为。
2011-2012年联考
【2012浙江宁波市期末文】 函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由题可得，解得。
【2012安徽省合肥市质检文】若函数为奇函数，当时，，则的值为 ；
【答案】
【解析】。
【2012吉林市期末质检文】下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因A、B递减，C在（0,1）递增，D在（0,1）上先递减后递增，选C。
【2012吉林市期末质检文】设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当 时，，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】由题可知函数的周期为4，故。
【2012江西南昌市调研文】函数的值域为 ( )
A．[1,+∞) B．(0,1] C．(-∞,1] D．(-∞,1)
【答案】C
【解析】因，所以，即，选C。
【2012广东佛山市质检文】下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题中选项可知，,为偶函数，排除A、C；而在R上递减，故选B。
【2012广东佛山市质检文】对任意实数，函数，如果函数，那么函数的最大值等于 .
【答案】
【解析】由题可知，则在同以坐标系中画出，数形结合可知时，。
【2012河南郑州市质检文】函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题，解不等式得。
【2012河南郑州市质检文】定义在 上的函数 ；当若；则的大小关系为（ ）
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则可得，令，则，即为奇函数，令，则，所以，即递减，
又，因，所以，即，故选B。
【2012北京海淀区期末文】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
（A）是偶函数，递增区间是 （B）是偶函数，递减区间是
（C）是奇函数，递减区间是 （D）是奇函数，递增区间是
【答案】C
【解析】因，所以是奇函数，排除A、B；又时，在上递减，递增，由奇函数性质可得，C对。
【2012广东韶关市调研文】下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知A不是单调函数，B不是奇函数，D是偶函数，只有C满足。
【2012年西安市高三年级第一次质检文】已知函数则=._______
【答案】-8
【解析】本题主要考查分段函数求值问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
【2012黄冈市高三上学期期末考试文】函数，则函数的零点个数有 个。
【答案】 2
【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵分别作出、的图像，知交点数即零点数为2
【2012武昌区高三年级元月调研文】函数的图象如图所示，给出以下说法：
①函数的定义域是[一l，5]；
②函数的值域是（一∞，0]∪[2，4]；
③函数在定义域内是增函数；
④函数在定义域内的导数
其中正确的是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】本题主要考查函数的图像与性质. 属于基础知识的考查.
的定义域中含有，①②正确；函数在定义域内不是增函数，因而③④错误。
【2012武昌区高三年级元月调研文】若 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查对数的基本运算以及指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
由，，所以
【2012厦门期末质检理10】已知函数f(x)＝则下列结论正确的是
A.f(x)在(－1,0)上恰有一个零点 B. f(x)在(0,1)上恰有一个零点
C.f(x)在(－1,0)上恰有两个零点 D. f(x)在(0,1)上恰有两个零点
【答案】A
【解析】因为函数f(x)＝在单调增，，选A;
【2012厦门期末质检理13】定义区间[x1，x2]( x10时，的大致图象为 （ ）
答案 B
3.（2009番禺一模）已知函数 若，则（ ）
A． B． C．或 D．1或
答案 C
4.（2009临沂一模）已知函数f(x)=，若x0是方程f(x)=0的解，且00时是单调函数，则满足f(2x)=f()的所有x之和为
A、 B、 C、－8 D、8
答案 C
7.（2009云南师大附中）若函数
A. B. C. D.
答案 B
8.（2009青岛一模）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
答案 D
9.（2009日照一模）（6）函数的零点一定位于区间
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
答案 A
10.（2009日照一模）（函数的图象如右图所示，则函数的图象大致是
答案 C
11.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)与互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)
图像关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a值为
（A）-e (B) (C) (D) e
答案 C
12.（2009江门一模）函数的定义域是
A. B. C. D.
答案 C
13.（2009枣庄一模）已知则关于右图中函数图象的表述正确的是 （ ）
A．是的图象
B．是的图象
C．是的图象
D．以上说法都不对
答案 D
14.（2009枣庄一模）设函数 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
答案 C
15.（2009深圳一模）若函数的图象如右图，其中为常数．则函数的大致图象是
A． B． C． D．
答案 D
二、填空题
1.（2009青岛一模）定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.
答案 1
2.（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 。
答案
3.（2009闵行三中模拟）若函数的值域是，则函数的值域是
答案
4.（2009上海普陀区）已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 .
答案 2
5.（2009上海十校联考）已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．
答案
6.（2009上海卢湾区4月模考）（2009上海卢湾区4月模考）设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 ．
答案
7.（2009宣威六中第一次月考）已知函数，则函数f(x)的最小值是
答案 0
三、解答题
1、（2009聊城一模）已知函数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。
解：（1）
[
]
[
]
.
1
2
)
(
.
3
4
,
2
2
3
)
1
(
),
1
(
)
1
(
,
2
3
2
)
1
(
,
2
3
)
1
(
,
1
)
0
(
.
1
,
0
,
0
,
1
)
(
,
1
,
,
0
,
0
)
(
'
2
3
2
1
上为减函数
在
上为增函数
在
得
令
Q
Q
+
-
=
=
-
=
-
=
-
<
-
-
=
-
=
-
=
=
-
>
=
=
=
x
x
x
f
a
a
f
f
f
a
f
a
f
b
f
x
f
a
a
x
x
x
f
（2）
由，
知
， 即
2、（2009昆明市期末）已知函数，若x=0，函数f(x)取得极值
（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；
（Ⅱ）已知证明：.
解：（Ⅰ）
由 x=0是极值点，故,得
故 m=1.
故
当 -1＜x＜0时，函数在（-1，0）内是减函数；
当 x＞0时，函数f(x)在（0，+∞）内是增函数。
所以x=0时，f(0)=0，则函数f(x)取得最小值为0.·························6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)≥0，故ex-1≥ln(x+1)。
∵①··············8分
又
=
故 ················································10分
故 ②
由①②得 ···········································12分
3、（2009临沂一模）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;
（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;
（I） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即
记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.
求得
当时;;当时，
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故.
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则
当时，,当时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。
故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)0，解得x>或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为(,+∞)
单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)
故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
4、（2009东莞一模）已知，，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；
（3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）当.…（1分）
……（3分）
∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，.
……（4分）
（2）切线的斜率为，
∴ 切线方程为.……（6分）
所求封闭图形面积为
.
……（8分）
（3）， ……（9分）
令. ……（10分）
列表如下：
x
(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)
－
0
+
0
－
↘
极小
↗
极大
↘
由表可知，. ……（12分）
设，
∴上是增函数，……（13分）
∴ ，即，
∴不存在实数a，使极大值为3. ……（14）
5、（2009茂名一模）已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）， ……1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 ……3分 ∴的极小值为 ……4分
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ ，……5分
令，， ……6分
当时，，在上单调递增 ……7分
∴ ∴在（1）的条件下，……9分
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，
…9分
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，
此时无最小值. ……10分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. ……11分
③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.
6、（2009昆明一中第三次模拟）已知
（1） 若函数是上的增函数，求的取值范围；
（2） 若，求的单调增区间
解：（Ⅰ），
是上的增函数，故在上恒成立，
即在上恒成立
的最小值为，故知a的取值范围是
（2）由，得，
①当时，，即函数在上单调递增；
时，由判别式可知
②当时，有，
即函数在上单调递增;
③当时，有或，
即函数在上单调递增
7、 解: (1) ,两边加得: ,
是以2为公比, 为首项的等比数列. ……①
由两边减得: 是以
为公比, 为首项的等比数列. ……②
①-②得: 所以,所求通项为…………5分
(2) 当为偶数时,
当为奇数时,,,又为偶数
由(1)知, ……………………10分
（3）证明：
又
……12分
…………14分
8、（2009深圳一模）已知函数（，）．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ） ………………… 2分
，
由，得．
，，．
又．
函数的单调递增区间为,递减区间为． ………… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式，即为．……………（※）
令，当时，．
则不等式（※）即为． …………………9分
令，，
在的表达式中，当时，，
又时，，
在单调递增，在单调递减．
在时，取得最大，最大值为． …………………12分
因此，对一切正整数，当时，取得最大值．
实数的取值范围是． ………………………… 14分
【法二】不等式，即为．………………（※）
设，
，
令，得或． ………………………… 10分
当时，，当时，．
当时，取得最大值．
因此，实数的取值范围是． ………………………… 14分
9、（2009湛江一模）已知函数.（）
（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，；………………2分
对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，…………3分
∴，.……………………………5分
（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.
……………………………………………6分
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立.
∵
① 若，令，得极值点，，………………8分
当，即时，在（，+∞)上有，
此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(，+∞)，不合题意；………………………………………9分
当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有
∈(，+∞)，也不合题意；………………………………………10分
② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12分
