湖北省2020届高三下学期4月月考仿真卷理科数学试题

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湖北省2020届高三下学期4月月考仿真卷理科数学试题

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019-2020学年下学期高三4月月考仿真卷 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,则,‎ 又,所以,‎ 故选B.‎ ‎2.已知双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的焦距为( )‎ A. B.‎2 ‎C. D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线方程为,‎ 可得,,则,的焦距为.‎ 故选D.‎ ‎3.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,…,599,600,从中抽取60个样本,下面提供随机数表的第4行到第6行:‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第5个样本编号是( )‎ A.522 B.‎324 ‎C.535 D.578‎ ‎【答案】A ‎【解析】第6行第6列开始的数为808(不合),436,789(不合),535,577,348,994(不合),837(不合),522,‎ 则满足条件的5个样本编号为436,535,577,348,522,则第5个编号为522.‎ 故选A.‎ ‎4.在等差数列中,,则此数列的前13项的和等于( )‎ A.16 B.‎26 ‎C.8 D.13‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,∴,∴,‎ ‎∴,故选D.‎ ‎5.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目,则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.‎ 现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目,‎ 基本事件总数,‎ 所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数,‎ 则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为,‎ 故选B.‎ ‎6.函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据图像:,故,故,.‎ ‎,,故,‎ 故.‎ 当时,,满足条件,故,‎ 故选A.‎ ‎7.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵,通项,‎ ‎,故选A.‎ ‎8.已知:,,且,若恒成立,则实数 的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题,因为,,,‎ 所以,‎ 当且仅当,即,时等号成立,‎ 因为恒成立,则,即,解得,‎ 故选A.‎ ‎9.的三个内角,,所对的边分别为,,,在边上,且,,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】中,,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴,‎ 又,∴,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,解得或(不合题意,舍去),‎ ‎∴的面积为,‎ 故选B.‎ ‎10.设,分别是椭圆的左、右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于C点,若满足且,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为F1是椭圆的左焦点,直线过F1交y轴于C点,‎ 所以,即,‎ 因为,所以,‎ 又因为,所以,‎ 在三角形AF‎1F2中,,,,‎ 根据余弦定理可得,‎ 代入得,化简得,‎ 所以离心率为,‎ 所以选A.‎ ‎11.在三棱锥中,,且,,,分别是棱,的中点,下面四个结论:‎ ‎①;‎ ‎②平面;‎ ‎③三棱锥的体积的最大值为;‎ ‎④与一定不垂直.‎ 其中所有正确命题的序号是( )‎ A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】设的中点为,连接,则,,‎ 又,所以平面,所以,故①正确;‎ 因为,所以平面,故②正确;‎ 当平面与平面垂直时,最大,最大值为,故③错误;‎ 若与垂直,‎ 又因为,所以平面,所以,‎ 又,所以平面,所以,‎ 因为,所以显然与不可能垂直,故④正确,‎ 故选D.‎ ‎12.已知定义在上的奇函数,满足,当时,,‎ 若函数,在区间上有10个零点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可知函数的图象关于点成中心对称,‎ 且,所以,‎ 所以,函数的周期为,‎ 由于函数为奇函数,则,则,‎ 作出函数与函数的图象如下图所示:‎ ‎,则,‎ 于是得出,,‎ 由图象可知,函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、,第个交点的横坐标为,‎ 因此,实数的取值范围是,故选A.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知平面向量,满足,,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为平面向量,满足,,,‎ 所以,‎ 故答案为.‎ ‎14.已知函数().若存在,使得成立,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,‎ 设,则存在,使得成立,‎ 即成立.所以成立,所以成立,‎ 又令,,所以时,,单调递增,‎ 当时,有最小值,‎ 所以实数a的取值范围是,故答案为.‎ ‎15.函数的部分图象如图所示,点,是最高点,点是最低点,若是直角三角形,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可得,,,‎ 根据对称性,是直角三角形,‎ 所以为等腰直角三角形,直角三角形斜边中线等于斜边长的一半,‎ ‎,,,所以,故答案为.‎ ‎16.如图,多面体,,,两两垂直,,,,则经过,,,的外接球的表面积是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据,,两两垂直构造如图所示的长方体,‎ 则经过,,,的外接球即为长方体的外接球,‎ 故球的直径为长方体的体对角线的长.‎ 设,,,‎ 由题意得,解得,‎ 所以球半径为,‎ 球的表面积为,答案.‎ 三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知数列满足:,,.‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)设,,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)∵,∴,∴,‎ 则数列是以1为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知,,∴,∴,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎18.(12分)如图1,在梯形中,,,为中点,是与的交点,将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)由图1可知,四边形为菱形,则,‎ 则在图(2)中,,所以,‎ 又,所以,‎ 又,故.‎ ‎(2)因为,所以,‎ 设,则,‎ 又,所以,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,,,,,‎ 则,,‎ 则面的法向量为,‎ 设面的法向量为,‎ 则,则,‎ 令,则,则,‎ 所以,‎ 又由图可知二面角为钝二面角,‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎19.(12分)已知椭圆的离心率为,椭圆与轴交于两点,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设点是椭圆上的一个动点,且直线与直线分别交于两点.是否存在点使得以为直径的圆经过点?若存在,求出点的横坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)不存在,详见解析.‎ ‎【解析】(1)由已知,得知,,‎ 又因为离心率为,所以.‎ 因为,所以,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)假设存在.‎ 设,,,‎ 由已知可得,,‎ 所以的直线方程为,‎ 的直线方程为,‎ 令,分别可得,,‎ 所以,‎ 线段的中点,‎ 若以为直径的圆经过点,则,‎ 因为点在椭圆上,所以,代入化简得,‎ 所以,而,矛盾,‎ 所以这样的点不存在.‎ ‎20.(12分)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:‎ ‎(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入元(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);‎ ‎(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布,其中近似为年平均收入,近似为样本方差,经计算得,利用该正态分布,求:‎ ‎①在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?‎ ‎②为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?‎ 附参考数据:,若随机变量X服从正态分布,则,,.‎ ‎【答案】(1)千元;(2)①14.77千元;②978人.‎ ‎【解析】(1)千元,‎ 故估计50位农民的年平均收入为17.40千元.‎ ‎(2)由题意知,‎ ‎①,‎ 所以时,满足题意,‎ 即最低年收入大约为14.77千元.‎ ‎②由,‎ 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773,‎ 记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为,‎ 则,其中,‎ 于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为,‎ 从而由,得,‎ 而,所以,当时,;‎ 当时,,‎ 由此可知,在所走访的1000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.‎ ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(1)若在内单调递减,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若函数有两个极值点分别为,,证明:.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1),∴在内单调递减,‎ ‎∴在内恒成立,‎ 即在内恒成立.‎ 令,则,‎ ‎∴当时,,即在内为增函数;‎ 当时,,即在内为减函数,‎ ‎∴的最大值为,∴.‎ ‎(2)若函数有两个极值点分别为,,‎ 则在内有两根,,‎ 由(1),知,‎ 由,两式相减,得.‎ 不妨设,‎ ‎∴要证明,只需证明.‎ 即证明,亦即证明.‎ 令函数,.‎ ‎∴,即函数在内单调递减,‎ ‎∴时,有,∴,‎ 即不等式成立,‎ 综上,得.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)射线与曲线交于点,射线与曲线交于点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)由曲线的参数方程(为参数),‎ 得,即曲线的普通方程为,‎ 又,,‎ 曲线的极坐标方程为,即,‎ 曲线的极坐标方程可化为,‎ 故曲线的直角方程为.‎ ‎(2)由已知,设点和点的极坐标分别为,,其中,‎ 则,,‎ 于是,‎ 由,得,‎ 故的取值范围是.‎ ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知定义在R上的函数.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若,且,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)因为,‎ 所以,‎ 当时,单调递减;‎ 当时,单调递减;‎ 当时,单调递增,‎ 故当时,函数取得最小值.‎ ‎(2)若,且,,即,‎ 当且仅当,即,时,等号成立,‎ 则,‎ 令,,而的开口向上,‎ 对称轴方程为,在上单调递增,‎ 当,取得最小值,‎ 的最小值为.‎
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