中考数学真题分类汇编150套专题十八二次函数的图象和性质1

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中考数学真题分类汇编150套专题十八二次函数的图象和性质1

一、选择题 ‎1.(2010福建福州)已知二次函数y=Ax2+Bx+C的图象如图所示,则下列结论正确的是( )‎ ‎ A.a>0 B.c<‎0 C.b2-‎4ac<0 D.a+b+c>0‎ ‎(第10题)‎ ‎【答案】D ‎ ‎2.(2010 河北)如图5,已知抛物线的对称轴为,点A,‎ B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为 ‎(0,3),则点B的坐标为 O x y A 图5‎ x = 2‎ B A.(2,3) B.(3,2) ‎ C.(3,3) D.(4,3)‎ ‎【答案】D ‎ ‎3.(2010 山东莱芜)二次函数的图象如图所示,则一次函数的 图象不经过 x ‎(第9题图)‎ y O A.第一象限 B.第二象限 ‎ C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】D ‎ ‎4.(2010年贵州毕节)函数在同一直角坐标系内的图象大致是( ) ‎ ‎【答案】C.‎ ‎5.(2010年贵州毕节)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x-3x+5,则(   )‎ A.b=3,c=7     B.b=6,c=‎3 C.b=9,c=5   D.b=9,c=21‎ ‎【答案】A.‎ ‎6.(2010湖北荆门)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论错误的是 A.ab<0 B.ac<‎0 ‎ C.当x<2时,函数值随x的增大而增大;当x>2时,函数值随x的增大而减小 D.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。‎ ‎【答案】B ‎ ‎7.(2010 四川成都)把抛物线向右平移1个单位,所得抛物线的函数表达式为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】D ‎ ‎8.(2010山东潍坊)已知函数y1=x2与函数y2=-x+3的图象大致如图,若y1<y2,则自变量x的取值范围是( ).‎ A.-<x<2 B.x>2或x<- ‎ C.-2<x< D. x<-2或x>‎ ‎【答案】C ‎ ‎9.(2010湖北荆州)若把函数y=x的图象用E(x,x)记,函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记,……则E(x,)可以由E(x,)怎样平移得到?‎ ‎ A.向上平移1个单位  B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 ‎【答案】D ‎10.(2010湖北鄂州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①a、b异号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③‎4a+b=0,④当y=4时,x的取值只能为0.结论正确的个数有( ) 个 A.1   B.2   C.3   D.4‎ ‎【答案】C ‎ ‎11.(2010湖北省咸宁)已知抛物线(<0)过A(,0)、O(0,0)、‎ B(,)、C(3,)四点,则与的大小关系是 A.> B. C.< D.不能确定 ‎【答案】A ‎ ‎12.(2010北京) 将二次函数y=x2-2x+3,化为y=(x-h)2+k的形式,结果为( )‎ A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4‎ C.y=(x+1)2+2 D. y=(x-1)2+2‎ ‎【答案】D ‎ ‎13.(2010山东泰安)下列函数:①;②;③;④,其中的值随值增大而增大的函数有( )‎ A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 ‎【答案】B ‎ ‎14.(2010四川乐山).设a、b是常数,且b>0,抛物线y=ax2+bx+a2‎-5a-6为下图中四个图象之一,则a的值为( )‎ y x O y x O y x O ‎1‎ ‎-1‎ y x O ‎1‎ ‎-1‎ A. 6或-1 B. -6或‎1 ‎ C. 6 D. -1‎ ‎【答案】D ‎ ‎15.(2010黑龙江哈尔滨)在抛物线上的一个点是( )‎ ‎ (A)(4,4) (B)(1,-4) (C)(2,0) (D).(0,4)‎ ‎【答案】C ‎ ‎16.(2010江苏徐州)平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位,则平移方式为 ‎ A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 ‎ C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位 ‎【答案】B ‎ ‎17.(2010陕西西安)已知抛物线,将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、 关于直线对称,则下列平移方法中,正确的是 ‎ A.将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位 ‎ C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位 ‎【答案】C ‎ ‎18.(2010 福建三明)抛物线的图象和x轴有交点,则k的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B.且C. D.且 ‎【答案】B ‎ ‎19.(2010 山东东营) 二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为( )‎ ‎1‎ O x y ‎(第12题图)‎ y x O ‎(B)‎ y x O ‎(A)‎ y x O ‎(C)‎ y x O ‎(D)‎ ‎【答案】B ‎20.(2010安徽蚌埠)已知函数,并且是方程的两个根,则 实数的大小关系可能是 ‎ A.   B.  C.  D.‎ ‎【答案】D ‎21.(2010安徽省中中考) 若二次函数配方后为则、的值分别为 ‎………………( )‎ A)0.5 B)‎0.1 C)—4.5 D)—4.1‎ ‎【答案】C ‎22.(2010甘肃兰州) 二次函数的图像的顶点坐标是 ‎ A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4)‎ ‎【答案】A ‎23.(2010甘肃兰州) 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为,则b、c的值为 ‎ A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 ‎ ‎ C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2‎ ‎【答案】B ‎24.(2010甘肃兰州) 抛物线图像如图所示,则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图像大致为 x x x x x 第15题图 ‎【答案】D ‎25.(2010江苏盐城)给出下列四个函数:①;②;③;④.时,y随x的增大而减小的函数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】C ‎26.(2010山东烟台)如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t,分别以AP于PB为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为 ‎【答案】D ‎ ‎27.(2010台湾)坐标平面上有一函数y=24x2-48的图形,其顶点坐标为何? (A) (0,-2) (B) (1,-24) (C) (0,-48) (D) (2,48) 。 【答案】C ‎ ‎28.(2010台湾) 坐标平面上,若移动二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图形,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1单位,则移动方式可为下列哪一种? (A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位 (C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。‎ ‎【答案】D ‎ ‎29.(2010浙江杭州)定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [‎2m,1 – m , –1– m] ‎ 的函数的一些结论: ‎ ‎ ① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是(,); ‎ ‎ ② 当m > 0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于; ‎ ‎ ③ 当m < 0时,函数在x >时,y随x的增大而减小;‎ ‎ ④ 当m ¹ 0时,函数图象经过同一个点.‎ ‎ 其中正确的结论有 ‎ A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎30.(2010 嵊州市)已知二次函数的图象如图所示,记,则与的大小关系为 ( )‎ A. B. C. D.、大小关系不能确定 ‎【答案】C ‎ ‎31.(2010 浙江台州市)如图,点A,B的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为,则点D的横坐标最大值为(▲)‎ ‎ ‎ y x O ‎(第10题)‎ ‎ A.-3   B.‎1 C.5 D.8 ‎ ‎【答案】D ‎32.(2010浙江金华) 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为(2,-3) ,‎ 那么该抛物线有( ▲ )‎ ‎ A. 最小值 -3 B. 最大值-‎3 ‎ C. 最小值2 D. 最大值2‎ ‎【答案】B ‎ ‎33.(2010 山东济南)在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点的个数是( )‎ A.3 B.‎2 ‎ C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎ ‎34.(2010 浙江衢州)下列四个函数图象中,当x>0时,y随x的增大而增大的是(  )‎ O y x ‎1‎ ‎1‎ A.‎ O y x ‎1‎ ‎1‎ C.‎ O y x ‎1‎ ‎1‎ D.‎ O y x ‎1‎ ‎1‎ B.‎ ‎【答案】C ‎ ‎35.(2010 浙江衢州) 如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,‎ 设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的 函数关系式是(  )‎ ‎(第10题)‎ A B C D A. B. ‎ C. D.‎ ‎36.(2010 天津)已知二次函数()的图象如图所示,有下列结论:‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎③;‎ ‎④.‎ ‎ 其中,正确结论的个数是 ‎(A)1‎ ‎(B)2‎ ‎(C)3‎ ‎(D)4‎ 第(10)题 y x O ‎【答案】D ‎ ‎37.(2010 内蒙古包头)已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是 个.‎ ‎【答案】4‎ ‎38.(2010广西桂林)将抛物线绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是( ).‎ ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎39.(2010 四川自贡)y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数,当x的取值范围是1≤x≤3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是( )。‎ A.a=5 B.a≥‎5 ‎C.a=3 D.a≥3 ‎ ‎【答案】B ‎ ‎40.(2010宁夏回族自治区)把抛物线向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式 ( )‎ A. B. C. D..‎ ‎【答案】B ‎ ‎41.(2010 湖北咸宁)已知抛物线(<0)过A(,0)、O(0,0)、‎ B(,)、C(3,)四点,则与的大小关系是 A.> B. C.< D.不能确定 ‎【答案】A ‎ ‎42.(2010 广西钦州市)已知二次函数(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:‎ ‎① ac >0; ② a–b +c <0; ③当x <0时,y <0;‎ ‎④方程(a≠0)有两个大于-1的实数根.‎ ‎•‎ ‎•‎ 其中错误的结论有 ‎ ‎(A)② ③ (B)② ④ (C)① ③ (D)① ④‎ 第18题 x =1‎ ‎【答案】C ‎ ‎43.(2010青海西宁)下列哪一个函数,其图象与轴有两个交点 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎44.(2010鄂尔多斯)已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示,点A(x1,y1) ,B(x2,y2)在函数的图象上,当00 ‎ C.b= ‎-4a D.关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5‎ 图7‎ ‎-1‎ y x ‎5‎ x=2‎ ‎2‎ O ‎【答案】B ‎ ‎46.(2010云南昭通)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示,则下列结论正确的是( )‎ A.a<0,b<0,c>0,b2-‎4ac>0; B.a>0,b<0,c>0,b2-‎4ac<0; ‎ C.a<0,b>0,c<0,b2-‎4ac>0; D.a<0,b>0,c>0,b2-‎4ac>0;‎ 图3‎ y x O ‎【答案】D ‎ ‎47.(2010贵州遵义)如图,两条抛物线y1=-χ2+1、y2=χ2-1 与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 A.8 B.‎6 C.10 D.4‎ ‎【答案】A ‎48.(2010广西柳州)抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:‎ x ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎ ‎ 从上表可知,下列说法正确的个数是 ‎①抛物线与x轴的一个交点为(-2,0) ②抛物线与y轴的交点为(0,6)‎ ‎③抛物线的对称轴是:x=1 ④在对称轴左侧y随x的增大而增大 A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎ ‎49.(2010湖北宜昌)抛物线的顶点坐标是( )。‎ A. (0,-1) B. (-1,1) C. (-1,0) D.(1,0)‎ ‎【答案】C ‎50.(2010广西百色)二次函数的图象如图所示,下列几个结论:‎ ‎①对称轴为; ②当≤0时,<0或>4;③函数解析式为;‎ ‎④当≤0时,随的增大而增大. 其中正确的结论有( )‎ A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③‎ 第13题 ‎【答案】C ‎ ‎51.(2010四川攀枝花)如图3,二次函数y=ax-bx+2的大致图像如图所示,‎ 则函数y=-ax+b的图像不经过( )‎ A.第一象限 B.第二象限 ‎ C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎ ‎‎2‎ O 图3‎ X Y 图13(备用图)‎ C O X Y ‎【答案】A ‎ ‎52.(2010 福建莆田)某同学利用描点法画二次函数(的图象时,列出的部分数据如下表:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎3‎ 经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出该二次函数的解 析式: ‎ ‎【答案】‎ ‎【答案】C ‎ ‎53.(2010江苏泰州)下列函数中,y随x增大而增大的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 二、填空题 ‎1.(2010 湖南株洲)已知二次函数(为常数),当取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当,,,时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是 .‎ ‎【答案】‎ ‎2.(2010湖南郴州)将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是_____________.‎ ‎【答案】 y=x2 -1‎ ‎3.(2010江苏扬州)y=2x2-bx+3的对称轴是直线x=1,则b的值为__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎4.(2010山东泰安)将y=2x2-12x-12变为y=a(x-m)2+n的形式,则m·n= .‎ ‎【答案】-90‎ ‎5.(2010湖北襄樊)将抛物线向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的解析式为____________.‎ ‎ .【答案】或 ‎6.(2010江苏 镇江)已知实数的最大值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎7.(2010 湖南株洲)二次函数的图象与轴的交点如图所示,根据图中信息可得到的值是 .‎ ‎·‎ ‎【答案】4‎ ‎8.(2010安徽蚌埠)已知抛物线经过点A(4,0)。设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大,则D点的坐标为_______。 ‎ ‎【答案】﹝2,-6﹞‎ ‎9.(2010江苏盐城)写出图象经过点(1,-1)的一个函数关系式 ▲ .‎ ‎【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x,答案不唯一 ‎10.(2010山东日照)如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 .‎ ‎【答案】-1<x<3‎ ‎11.(2010浙江宁波) 如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为 ▲ .‎ ‎12.(2010 四川泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-2)2+2的图像向左平移2个单位,所得图像对应的解析式为 .‎ ‎【答案】y=x2+2‎ ‎13.(2010 云南玉溪)如图7是二次函数在平面直 角坐标系中的图象,根据图形判断 ① >0;‎ ② ++<0; ③ 2-<0;‎ ④ 2+8>4中正确的是(填写序号) .‎ 图7‎ ‎【答案】② 、④‎ ‎14.(2010 天津)已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表:‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎…‎ 则该二次函数的解析式为 .‎ ‎【答案】‎ ‎15.(2010青海西宁)将抛物线先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 .‎ ‎【答案】‎ ‎16.(2010吉林长春)如图,抛物线交x轴于点G、F,交y轴于点D,在x轴上方的抛物线上有两点B、E,它们关于y轴对称,点G、B在y轴左侧。BA⊥OG于点A,BC⊥OD于点C。四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10,则△ABG与△BCD的面积之和为 。‎ ‎【答案】4‎ ‎17.(2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是_______。‎ ‎【答案】.-3<x<1‎ ‎18.(2010辽宁本溪)如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(-2,0),则‎2a-3b 0.(>、<或=)‎ O x y ‎-2‎ ‎【答案】>‎ ‎19.(2010黑龙江绥化)抛物线与x轴的一个交点的坐标为(l,0), 则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .‎ ‎【答案】(3,0)‎ ‎20.(2010湖南娄底)二次函数y=(x-1)2-2的图像的对称轴是直线_____________. ‎ ‎【答案】x=1 ‎ ‎【答案】或(对一个得2分)‎ ‎21.(2010 浙江义乌)(1)将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图象,则y2= ▲ ;‎ ‎ (2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t= ▲ .‎ P y x ‎·‎ ‎【答案】(1)2(x-2)2 或 (2)3、1、、‎ ‎22.(2010浙江金华)若二次函数的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程的一个解,另一个解 ▲ ;‎ y ‎(第15题图)‎ O x ‎1‎ ‎3‎ ‎【答案】-1‎ 三、解答题 ‎1.(2010江苏泰州)如图,二次函数的图象经过点D,与x轴交于A、B两点.‎ ‎⑴求的值;‎ ‎⑵如图①,设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式;‎ ‎⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P、Q,使△AQP≌△ABP?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)‎ ‎【答案】⑴ ∵抛物线经过点D()‎ ‎∴‎ ‎∴c=6.‎ ‎⑵过点D、B点分别作AC的垂线,垂足分别为E、F,设AC与BD交点为M,‎ ‎ ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分,即:S△ABC=S△ADC ∴DE=BF ‎ 又∵∠DME=∠BMF, ∠DEM=∠BFE ‎∴△DEM≌△BFM ‎∴DM=BM 即AC平分BD ‎ ‎∵c=6. ∵抛物线为 ‎∴A()、B()‎ ‎∵M是BD的中点 ∴M()‎ 设AC的解析式为y=kx+b,经过A、M点 解得 直线AC的解析式为.‎ ‎⑶存在.设抛物线顶点为N(0,6),在Rt△AQN中,易得AN=,于是以A点为圆心,AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q,连接AQ,再作∠QAB平分线AP交抛物线于P,连接BP、PQ,此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP.‎ ‎2.(2010福建福州)如图,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.‎ ‎ (1)求证:=;‎ ‎ (2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;‎ ‎(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.‎ ‎ ‎ ‎(第21题)‎ ‎【答案】解:(1)∵ 四边形EFPQ是矩形,∴ EF∥QP.‎ ‎ ∴ △AEF∽△ABC.‎ ‎ 又∵ AD⊥BC, ∴ AH⊥EF.‎ ‎ ∴ = ‎(2)由(1)得=. AH=x.‎ ‎ ∴ EQ=HD=AD-AH=8-x,‎ ‎∴ S矩形EFPQ=EF·EQ=x (8-x) =-x2+8 x=-(x-5)2+20.‎ ‎∵ -<0, ∴ 当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.‎ ‎(3)如图1,由(2)得EF=5,EQ=4.‎ 第21题图1‎ ‎ ‎ ‎∴ ∠C=45°, ∴ △FPC是等腰直角三角形.‎ ‎ ∴ PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9.‎ 分三种情况讨论:‎ ‎① 如图2.当0≤t<4时,‎ ‎ 设EF、PF分别交AC于点M、N,则△MFN是等腰直角三角形.∴ FN=MF=t.‎ ‎∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20;‎ ‎②如图3,当4≤t<5时,则ME=5-t,QC=9-t.‎ ‎∴ S=S梯形EMCQ=[(5-t)+(9-t )]×4=-4t+28;‎ ‎③如图4,当5≤t≤9时,设EQ交AC于点K,则KQ=QC=9-t.‎ ‎ ∴ S=S△KQC= (9-t)2=( t-9)2.‎ ‎ ‎ 第21题图2 第21题图3 第21题图4‎ 综上所述:S与t的函数关系式为:‎ S=‎ ‎3.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线y=2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5.若抛物线y=x2+bx+c过O、A两点.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)若A点关于直线y=2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;‎ ‎(第22题图1) (第22题图2)‎ ‎(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆.过原点O作⊙O1的切线OP,P为切点(点P与点C不重合).抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)把O(0,0)、A(5,0)分别代入y=x2+bx+c,‎ 得解得 ‎∴ 该抛物线的解析式为y=x2-x.‎ ‎(2)点C在该抛物线上.‎ ‎ 理由:过点C作CD⊥x轴于点D,连结OC,设AC交OB于点E.‎ ‎ ∵ 点B在直线y=2x上, ∴ B(5,10)‎ ‎ ∵ 点A、C关于直线y=2x对称,‎ ‎ ∴ OB⊥AC,CE=AE,BC⊥OC,OC=OA=5,BC=BA=10.‎ ‎ 又∵ AB⊥x轴,由勾股定理得OB=5.‎ ‎∵ SRt△OAB=AE·OB=OA·AB,‎ ‎ ∴ AE=2, ∴ AC=4.‎ ‎ ∵ ∠OBA十∠CAB=90°,∠CAD+∠CAB=90°, ∴ ∠CAD=∠OBA.‎ ‎ 又∵ ∠CDA=∠OAB=90°, ∴ △CDA∽△OAB.‎ ‎ ∴ == ∴ CD=4,AD=8 ∴ C(-3,4)‎ ‎ 当x=-3时,y=×9-×(-3)=4.‎ ‎∴ 点C在抛物线y=x2-x上.‎ ‎(3)抛物线上存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切.‎ ‎ 过点P作PF⊥x轴于点F,连结O1P,过点O1作O1H⊥x轴于点H.‎ ‎ ∴ CD∥O1H∥BA. ∵ C(-3,4),B(5,10),‎ ‎ ∴ O1是BC的中点. ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4,‎ ‎ ∴ OH=OA-AH=1.同理可得O1H=7. ∴ 点O1的坐标为(1,7).‎ ‎ ∵ BC⊥OC, ∴ OC为⊙O1的切线.‎ ‎ 又∵OP为⊙O1的切线, ∴ OC=OP=O‎1C=O1P=5.‎ ‎ ∴ 四边形OPO‎1C为正方形. ∴ ∠COP=900. ∴ ∠POF=∠OCD.‎ 第22题图 ‎ 又∵∠PFD=∠ODC=90°, ∴ △POF≌△OCD.‎ ‎∴ OF=CD,PF=OD. ∴ P(4,3).‎ 设直线O1P的解析式为y=kx+B(k≠0).‎ 把O1(1,7)、P(4,3)分别代人y=kx+B,‎ 得 解得 ‎∴ 直线O1P的解析式为y=-x+.‎ 若以PQ为直径的圆与⊙O1相切,则点Q为直线O1P与抛物线的交点,可设点Q的坐标为(m,n),则有n=-m+,n=m2-M ‎∴ -m+=m2-M.整理得m2+3m-50=0,‎ 解得m= ‎∴ 点Q的横坐标为或.‎ ‎4.(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-4,0)和(2,0),BC=.设直线AC与直线x=4交于点E.‎ ‎(1)求以直线x=4为对称轴,且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E;‎ ‎(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于C、N之间的一动点,求△CMN面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(1)点C的坐标.设抛物线的函数关系式为,‎ ‎ 则,解得 ‎∴所求抛物线的函数关系式为…………①‎ 设直线AC的函数关系式为则,解得.‎ ‎∴直线AC的函数关系式为,∴点E的坐标为 把x=4代入①式,得,∴此抛物线过E点.‎ ‎(2)(1)中抛物线与x轴的另一个交点为N(8,0),设M(x,y),过M作MG⊥x轴于G,则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴当x=5时,S△CMN有最大值 ‎5.(2010湖南邵阳)如图(十四),抛物线y=与x轴交于点A、B,与y轴相交于点C,顶点为点D,对称轴l与直线BC相交于点E,与x轴交于点F。‎ ‎(1)求直线BC的解析式;‎ ‎(2)设点P为该抛物线上的一个动点,以点P为圆心,r为半径作⊙P。‎ ‎①当点P运动到点D时,若⊙P与直线BC相交 ,求r的取值范围;‎ ‎②若r=,是否存在点P使⊙P与直线BC相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 提示:抛物线y=的顶点坐标,对称轴x=.‎ ‎ 图(十四)‎ ‎【答案】解(1)令y=0,求得A点坐标为(-2,0),B点坐标为(6,0);‎ 令x=0,求得C点的坐标为(0,3)‎ 设BC直线为y=kx+b,把B、C点的坐标代入得: 解得k=,b=3‎ 故BC的解析式为:y=x+3‎ ‎(2)①过点D(2,4)作DG⊥BC于点G,因为抛物线的对称轴是直线x=2,所以点E的坐标为(2,2),所以有EF=2,FB=4,EB=2,DE=2,从图中可知,,所以有: 解得DG= 故当r>,点P运动到点D时,⊙P与直线BC相交 ‎②由①知,直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y=x+n,把点D的坐标代入,求得n=5,所以联立: 解得两点(2,4)为D点,(4,3)也符合条件。‎ 设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M,过点M作MN⊥BC于点N,所以MN=,又tan∠NBM= 所以NB=,BM=4,所以点M与点F重合。设直线m为y=x+b 把点F的坐标,代入得:0=×2+b 得b=1,所以直线m的解析式为:y=x+1‎ 联立方程组:   解得:x= ‎ 所以适合要求的点还有两点即(3-,)与(3+,)‎ 故当r=,存在点P使⊙P与直线BC相切,符合条件的点P有四个,即是D ‎(2,4),(4,3)和(3-,),(3+,)的坐标.‎ ‎6.(2010年上海)如图8,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3) .‎ ‎(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;‎ ‎(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.‎ 图8‎ ‎【答案】解:(1) 抛物线y=-x2+bx+c过点 A(4,0)B(1,3).∴‎ ‎∴,,对称轴为直线,顶点坐标为 ‎(2)∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线对称,∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形,‎ ‎∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,‎ ‎∴四边形OAPF为平行四边形,∵四边形OAPF的面积为20,∴,‎ ‎∴,∴.‎ ‎7.(2010重庆綦江县)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使,△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎ 【答案】解:(1)方法一:∵抛物线过点C(0,-6)‎ ‎∴c=-6,即y=ax2 +bx-6‎ 由解得:,‎ ‎∴该抛物线的解析式为 方法二:∵A、B关于x=2对称 ‎∴A(-8,0) 设 C在抛物线上,∴-6=a×8×,即a=‎ ‎∴该抛物线解析式为:‎ ‎(2)存在,设直线CD垂直平分PQ,‎ 在Rt△AOC中,AC==10=AD ‎∴点D在抛物线的对称轴上,连结DQ,如图:‎ 显然∠PDC=∠QDC,‎ 由已知∠PDC=∠ACD ‎∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC DB=AB-AD=20-10=10‎ ‎∴DQ为△ABC的中位线 ‎∴DQ=AC=5‎ AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5‎ ‎∴t=5÷1=5(秒)‎ ‎∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中,BC==‎ ‎∴CQ=‎ ‎∴点Q的运动速度为每秒单位长度.‎ ‎(3)存在.如图,‎ 过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9‎ 在Rt△PQH中,PQ==‎ ‎①当MP=MQ,即M为顶点,‎ 设直线CD的直线方程为y=kx+b(k≠0),则:‎ ‎,解得:‎ ‎∴y=3x-6‎ 当x=1时,y=-3‎ ‎∴M1(1,-3)‎ ‎②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点,‎ 设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得:‎ ‎42+y2=90,即y=±‎ ‎∴M2(1,);M3(1,-)‎ ‎③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.‎ 过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1,-3)‎ 设直线x=1存在点M(1,y)由勾股定理得:‎ ‎,即y=-3±‎ ‎∴M4(1,-3+);M5(1,-3-)‎ 综上所述,存在这样的五个点:M1(1,-3);M2(1,);M3(1,-);M4(1,-3+);M5(1,-3-)‎ ‎8.(2010山东临沂)如图,二次函数的图象与轴交于,两点,且与轴交于点.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式,并判断的形状;‎ ‎(2)在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出点的坐标;‎ ‎(3)在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ 第26题图 ‎【答案】解:根据题意,将A(,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,‎ 得 解这个方程,得 全品中考网 所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.‎ 当x=0时,y=1.所以点C的坐标为(0,1)。‎ 所以在△AOC中,AC==.‎ 在△BOC中,BC==.‎ AB=OA+OB=.‎ 因为AC2+BC2=.‎ 所以△ABC是直角三角形。‎ 图1‎ ‎(2)点D的坐标是.‎ ‎(3)存在。‎ 由(1)知,AC⊥BC, ‎ ① 若以BC为底边,则BC∥AP,如图(1)所示,可求得直线BC的解析式为 ‎.‎ 直线AP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线AP的解析式为,‎ 将A(,0)代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.‎ ‎ ‎ 因为点P既在抛物线上,又在直线AP上,所以点P的纵坐标相等,即-x2+x+1=.‎ 解得(不合题意,舍去).‎ 图2 ‎ 当x=时,y=.‎ 所以点P的坐标为(,).‎ ‎②若以AC为底边,则BP∥AC,如图(2)所示,可求得直线AC的解析式为 ‎.‎ 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线BP的解析式为,‎ 将B(2,0)代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.‎ 因为点P既在抛物线上,又在直线BP上,所以点P的纵坐标相等,即-x2+x+1=2x-4‎ 解得(不合题意,舍去).‎ 当x=-时,y=-9.‎ 所以点P的坐标为(-,-9).‎ 综上所述,满足题目的点P的坐标为(,)或(-,-9)‎ ‎.9.(2010四川宜宾)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(–3,0).‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当 ‎△APE的面积最大时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最 大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)由题意知:A(0,6),C(6,0),‎ 设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c ‎24题图 则:‎ 解得:‎ ‎∴该抛物线的解析式为 ‎(2)如图:设点P(x,0),‎ ‎∵PE∥AB,∴△CPE∽△ABC,‎ ‎∴‎ 又∵S△ABC=BC×OA=27‎ ‎∴‎ ‎∴S△CPE==‎ S△ABP=BP×OA=3x+9‎ 设△APE的面积为S 则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=‎ 当x=时,S最大值为 ‎∴点P的坐标为(,0)‎ ‎(3)假设存在点G(x,y),使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等.‎ 在(2)中,△APE的最大面积为,过点G做GF垂直y轴与点F.‎ ①当y>6时,S△AGC=S梯形GFOC—S△GFA—S△AOC=(x+6)y—x(y-6)—×6×6‎ ‎=3x+3y-18‎ 即3x+3y-18=,‎ 又∵点G在抛物线上,,‎ ‎∴3x+3-18=‎ 解得:,当x=时,y=,当x=时,y=.‎ 又∵y>6,∴‎ 点G的坐标为(,)‎ ②当y<6时,如图:‎ S△AGC=S△GAF+S梯形GFOC—S△AOC=x(6—y)+-18=3x+3y-18‎ 即3x+3y-18=,‎ 又∵点G在抛物线上,,‎ ‎∴3x+3-18=‎ 解得:,当x=时,y=,当x=时,y=.‎ 又因为y<6,所以点G的坐标为(,).‎ 综和①②所述,点G的坐标为(,)和(,).‎ ‎(3)解法2:可以向x轴作垂线,构成了如此下图的图形:‎ 则阴影部分的面积等于S△AGC=S△GCF+S梯形AGFO—S△AOC 下面的求解过程略.这样作可以避免了分类讨论.‎ ‎10.(2010 江苏连云港)(本题满分8分)已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x-1的图象相交于点(2,2)‎ ‎(1)求a和k的值;‎ ‎(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点,为什么?‎ ‎【答案】‎ ‎11.(2010 黄冈)(15分)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).‎ ‎(1)求字母a,b,c的值;‎ ‎(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;‎ ‎(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】(1)a=-1,b=2,c=0‎ ‎(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形.‎ ‎(3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等.‎ ‎12.(2010 山东省德州) (已知二次函数的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).‎ ‎(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;‎ x y O A B C P Q M N 第23题图 ‎(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;‎ ‎②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作 x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ 的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,‎ 并指出t的取值范围;当t为何值时,‎ S有最大值或最小值.‎ ‎【答案】x y O A B C P Q D E G M N F 解:(1)∵二次函数的图象经过点C(0,-3),‎ ‎∴c =-3.‎ 将点A(3,0),B(2,-3)代入得 解得:a=1,b=-2.‎ ‎∴.‎ 配方得:,所以对称轴为x=1.‎ ‎(2) 由题意可知:BP= OQ=0.1t.‎ ‎∵点B,点C的纵坐标相等,‎ ‎∴BC∥OA.‎ 过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E.‎ 要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB.‎ 即QE=AD=1.‎ 又QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,‎ ‎∴2-0.2t=1.‎ 解得t=5.‎ 即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形.‎ ‎②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G.‎ ‎∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,‎ ‎∴BF=CF=OG=1.‎ 又∵BP=OQ,‎ ‎∴PF=QG.‎ 又∵∠PMF=∠QMG,‎ ‎∴△MFP≌△MGQ.‎ ‎∴MF=MG.‎ ‎∴点M为FG的中点 ‎ ‎∴S=,‎ ‎=.‎ 由=.‎ ‎.‎ ‎∴S=.‎ 又BC=2,OA=3,‎ ‎∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒.‎ ‎∴0MN成立的x的取值范围。‎ ‎【答案】解:(1)∠ABE=∠CBD=30° ‎ 在△ABE中,AB=6‎ BC=BE=‎ CD=BCtan30°=4‎ ‎∴OD=OC-CD=2‎ ‎∴B(,6) D(0,2)‎ 设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b ‎ ∴ ‎ 所以BD所在直线的函数解析式是 ‎(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°‎ 又∵FG⊥OA ‎ ‎∴FG=EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=‎ 又H为FG中点 ‎∴H(,) …………4分 ‎∵B(,6) 、 D(0,2)、 H(,)在抛物线图象上 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴抛物线的解析式是 ‎(2)∵MP=‎ MN=6-‎ H=MP-MN=‎ 由得 该函数简图如图所示:‎ 当00,即HP>MN ‎15.(2010福建宁德)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).‎ ‎⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;‎ ‎⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求 ‎①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;‎ ‎②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;‎ B E→ F→ C A D G ‎⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时,存在最大值,并求出最大值.‎ ‎【答案】解:⑴ x,D点 ‎⑵ ①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=x2;‎ ‎②分两种情况:‎ Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,‎ ‎∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6.‎ 由于在Rt△NMG中,∠G=60°,‎ 所以,此时 y=x2-(3x-6)2=.‎ Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,‎ ‎∵EC=6-x,‎ ‎∴y=(6-x)2=.‎ ‎⑶当0<x≤2时,∵y=x2在x>0时,y随x增大而增大,‎ ‎∴x=2时,y最大=;‎ 当2<x<3时,∵y=在x=时,y最大=;‎ 当3≤x≤6时,∵y=在x<6时,y随x增大而减小,‎ ‎∴x=3时,y最大=.‎ B E C F A D G P H 图2‎ 综上所述:当x=时,y最大=.‎ B E F C A D G N M 图1‎ ‎16.(2010江西)如图,已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交与C、D两点,与原抛物线交与点P.‎ ‎(1)求点A的坐标,并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理)‎ ‎(2)在x轴上是否存在两条相等的线段,若存在,请一一找出,并写出它们的长度(可用含m的式子表示);若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)△CDP的面积为S,求S关于m的关系式。‎ x y D A C O P ‎【答案】解:(1)令-2x2+4x=0得x1=0,x2=2‎ ‎∴点A的坐标是(2,0),‎ ‎△PCA是等腰三角形,‎ ‎(2)存在。‎ OC=AD=m,OA=CD=2,‎ ‎(3)当02时,如图2‎ 作PH⊥x轴于H,设,‎ ‎∵A(2,0),C(m,0),‎ ‎∴AC=m-2,∴AH=‎ ‎∴=OH= = ,‎ 把把=代入y=-2x2+4x,得 得, =‎ ‎∵CD=OA=2,‎ ‎∴.‎ ‎17.(2010 武汉 )如图1,抛物线经过点A(-1,0),C(0,)两点,且与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求抛物线解析式; ‎ ‎(2)若抛物线的顶点为点M,点P为线段AB上一动点(不与B重合),Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设OP=x,MQ=,求于x的函数关系式,并且直接写出自变量的取值范围;‎ ‎(3)如图2,在同一平面直角坐标系中,若两条直线x=m,x=n分别与抛物线交于E、G两点,与(2)中的函数图像交于F、H两点,问四边形EFHG能否为平行四边形?若能,求出m、n之间的数量关系;若不能,请说明理由.‎ 图 1‎ 图 2‎ ‎25.【答案】(1);‎ ‎(2)由顶点M(1,2)知∠PBM=45°,易证△MBP∽△MPQ得 ‎,得,即;‎ ‎(3)存在,设点E、G是抛物线分别与直线x=m,x=n的交点,则、,同理、,.由四边形EFHG为平行四边形得EG=FH,即,由,因此,四边形EFHG可以为平行四边形,m、n之间的数量关系是m+n=2(0≤m≤2,且m≠1).‎ ‎18.(2010四川 巴中)如图12已知△ABC中,∠ACB=90°以AB 所在直线为x 轴,过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系.此时,A 点坐标为(一1 , 0), B 点坐标为(4,0 ) ‎ ‎(1)试求点C 的坐标 ‎(2)若抛物线过△ABC的三个顶点,求抛物线的解析式.‎ ‎(3)点D( 1,m )在抛物线上,过点A 的直线y=-x-1 交(2)中的抛物线于点E,那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由。‎ D G H ‎【答案】(1)∵∠ACB=90°,CO⊥AB,△ACO∽△CBO,∴,CO=2,‎ 则C(0,2);‎ ‎(2)抛物线过△ABC的三个顶点,则,∴,抛物线的解析式为;‎ ‎(3)点D( 1,m )在抛物线上,,∴D(1,3),把直线y=-x-1与抛物线联立成方程组∴,‎ ‎∴E(5,-6),过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°,‎ BD=,AG=EG=6, ∴∠EAG=45°,AE=,‎ 当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在;‎ 当P 在B的左侧时 ⅰ) △DPB∽△EBA时,,,∴P的坐标为(,0),‎ ⅱ) △DPB∽△BEA时, ,,∴P的坐标为(,0),‎ 所以点P的坐标为(,0)或(,0)。‎ ‎19.(2010浙江湖州)如图,已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D,将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.‎ ‎(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;‎ ‎(3)连接EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时 S最小,并求出这个最小值.‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【答案】由题意得:A(0,2)、B(2,2)、C(3,0),设经过A,B,C 三点的抛物线的解析式为,则,解得:,所以.‎ ‎(2)由=,所以顶点坐标为G(1,),过G作GH⊥AB,垂足为H,则AH=BH=1,GH=-2=,∵EA⊥AB,GH⊥AB,∴EA∥GH,∴GH是△BEA的中位线,∴EA=3GH=,过B作BM⊥OC,垂足为M,则MB=OA=AB,∵∠EBF=∠ABM=90°,∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,∴R t△EBA≌R t△FBM,∴FM=EA=,∵CM=OC-OM=3-2=1,∴CF=FM+CM=.‎ ‎(3)设CF=a,则FM= a-1或1- a,∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5,又∵△EBA≌△FBM,∴BM=BF,‎ 则,又,‎ ‎∴S= ,即S=,∴当a=2(在2<a<3)时,.‎ ‎20.(2010江苏常州)如图,已知二次函数的图像与轴相交于点A、C,与轴相较于点B,A(),且△AOB∽△BOC。‎ ‎(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系是;‎ ‎(2)在线段AC上是否存在点M()。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎21.(2010江苏常州)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP-CQ。设AP=‎ ‎(1)当PQ∥AD时,求的值;‎ ‎(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求的取值范围;‎ ‎(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于的函数关系式,并写出S的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎22.(2010 山东滨州)如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是,以点C为顶点的抛物线 恰好经过轴上A、B两点.‎ ‎(1)求A、B、C三点的坐标;‎ ‎(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式;‎ ‎(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少各单位?‎ ‎【答案】解:(1)由抛物线的对称性可知AM=BM.‎ 在Rt△AOD和Rt△BMC中,‎ ‎∵OD=MC,AD=BC,‎ ‎∴△AOD≌△BMC ‎∴OA=MB=MA分 设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,‎ ‎,解得.‎ ‎∴DC=2,OA=1,OB=3.‎ ‎∴A、B、C三点的坐标分别为、、‎ ‎(2)设抛物线的解析式为,带入A点的坐标,得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎(3) 设抛物线的解析式为,代入D点的坐标,得 ‎∴平移后的抛物线的解析式为 ‎∴平移了个单位.‎ ‎23.(2010湖北荆门)已知一次函数y=的图象与x轴交于点A.与轴交于点;二次函数图象与一次函数y=的图象交于、两点,与轴交于、两点且点的坐标为 ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)求四边形BDEF的面积S;‎ ‎(3)在轴上是否存在点P,使得△是以为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点,若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B(0,1),当y=0时,x=-2, ∴A(-2,0)‎ ‎∴解得,所以 ‎(2)当y=0时, ,解得x1=1,x2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE-S△ABD,S=,S=4.5,‎ ‎ (3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,‎ 由题意得,AD=6,OD=1,易知,AD∥BE,‎ ‎∴.即,整理得:a2-4a-3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.‎ ‎24.(2010 湖南株洲)(本题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,且与轴交于另一点,其顶点为.孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量:‎ ‎① 量得;‎ ‎② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合,使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1),测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为.‎ 请完成下列问题:‎ ‎(1)写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点的右边(如图2),直尺的两边交 轴于点、,交抛物线于点、.求证:.‎ 图1‎ 图2‎ ‎·‎ B ‎【答案】(1)                           ‎ ‎(2)设抛物线的解析式为:,当时,,即;当时,,即,依题意得:,解得:.‎ ‎∴抛物线的解析式为:. ‎ ‎(3)方法一:过点作,垂足为,设, ,得: ①‎ ‎ ②‎ 又,得,分别代入①、②得:,‎ ‎∴‎ 得:‎ 又 ‎∴ ‎ 方法二:过点作,垂足为,设,则,得:‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴‎ ‎25.(2010 四川成都)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线.‎ ‎(1)求直线及抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标;‎ ‎(3)设⊙Q的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?‎ ‎【答案】(1)解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,‎ ‎ ∴,。‎ ‎ 将 代入,得。解得。‎ ‎ ∴直线AC的函数表达式为。‎ ‎ ∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴解得 ‎∴抛物线的函数表达式为。‎ ‎(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。‎ ‎ ‎ ‎∵,‎ ‎∴ ‎ ‎∴。‎ 过点P作PE⊥x轴于点E,‎ ‎∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴,解得 ‎∴点P的坐标为 ‎(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。‎ ‎ 设点Q的坐标为。‎ ① 当⊙Q与y轴相切时,有,即。‎ 当时,得,∴‎ 当时,得,∴‎ ② 当⊙Q与x轴相切时,有,即 当时,得,即,解得,∴‎ 当时,得,即,解得,∴,。‎ 综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。‎ ‎(Ⅱ)设点Q的坐标为。‎ 当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。‎ 由,得,即,‎ ‎∵△=‎ ‎∴此方程无解。‎ 由,得,即,‎ 解得 ‎∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。‎ ‎26.(2010山东潍坊)如图所示,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于C(0,-3).以AB为直径做⊙M,过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD,切点为D,并与⊙M的切线AE相交于点E.连接DM并延长交⊙M于点N,连接AN.‎ ‎(1)求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标;‎ ‎(2)若四边形EAMD的面积为4,求直线PD的函数关系式;‎ ‎(3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)因为抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,设抛物线的函数关系式为y=a(x+1)(x-3),∵抛物线与y轴交于C(0,-3),∴-3= a(0+1)(0-3),解得a=1,所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,因此抛物线的顶点坐标为(1,-4);‎ ‎(2)连接EM,∵EA、ED是⊙M的切线,∴EA=ED,EA⊥AM,ED⊥MD,∴△EAM≌△EDM,又四边形EAMD的面积为4,∴S△EAM=2,∴AM·AE=2,又AM=2,∴AE=2,因此E1(-1,2)或者E2(-1,-2),当点E在第二象限时,切点D在第一象限,在 Rt△EAM中,tan∠EMA=,故∠EMA=60°,∴∠DMB=60°,过切点D作DF⊥AB于F点,∴MF=1,DF=,则直线PD过E(-1,2)、D(2, )的坐标代入,则函数PD的解析式为y=-.当点E在第三象限时,切点D在第四象限,同理可求直线PD的解析式为y=,因此直线PD的函数关系式为y=-或y=;‎ ‎(3)若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积,又S四边形EAMD=2S△EAM,S△DAN=2S△AMD,则S△EAM= S△AMD,∴E、D两点到x轴的距离相等,∵PD与⊙M相切,∴点D与点E在x轴同侧,∴切线PD与x轴平行,此时切线PD的函数关系式为y=2或y ‎=-2,当y=2时,由y= x2-2x-3得,x=1±,当y=-2时,由y= x2-2x-3得,x=1±,故满足条件点P的位置有4个,分别是P1(1+,2)、P2(1-,2)、P3(1+,-2)、P4(1-,-2).‎ ‎27.(2010广东中山)已知二次函数的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).‎ ‎(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式;‎ ‎(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)把(-1,0),(0,3)分别代入,‎ 得 ,解得 所以,‎ ‎(2)令y=0,得 解得,‎ 所以,由图象可知,函数值y为正数时,自变量x的取值范围是 -1<x<3.‎
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