2020届二轮复习随机变量及其分布列学案（全国通用）

2020届二轮复习随机变量及其分布列学案（全国通用）

随机变量及其分布列 学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用；3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题；5.通过实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎1.条件概率的性质 ‎(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.‎ ‎(2)可加性：如果B和C是两个互斥事件，‎ 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).‎ ‎2.相互独立事件的性质 ‎(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An).‎ ‎(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).‎ ‎3.二项分布满足的条件 ‎(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.‎ ‎(2)各次试验中的事件是相互独立的.‎ ‎(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.‎ ‎(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数.‎ ‎4.均值与方差的性质 ‎(1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，且E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.‎ ‎(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).‎ ‎(3)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.‎ ‎5.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 ‎(1)P(μ－σ2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　)‎ A.0.477 B.0.628‎ C.0.954 D.0.977‎ 答案　C 解析　由ξ～N(0，σ2)知：P(ξ>2)＝P(ξ<－2)，P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.‎ ‎4.如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为(　　)‎ A.0.504 B.0.994‎ C.0.496 D.0.06‎ 答案　B 解析　1－P( )＝1－P()·P()·P()‎ ‎＝1－0.1×0.2×0.3‎ ‎＝1－0.006＝0.994.‎ ‎5.设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵P(B)＝＝，‎ P(A∩B)＝＝，‎ ‎∴P(A|B)＝＝.‎ ‎6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量X＝“|a－b|的取值”，则X的均值E(X)为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC＝126(条)，X可取的值有0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 二、填空题 ‎7.甲、乙同时炮击一架敌机，己知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为 .‎ 答案　0.8‎ 解析　P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)×(1－0.5)＝ 1－0.2＝0.8.‎ ‎8.如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝ ，σ＝ .‎ 答案　3　1‎ 解析　∵ξ～N(μ，σ)，∴E(ξ)＝μ＝3，D(ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1.‎ ‎9.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合先出现红灯闪烁的概率是，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是 .‎ 答案　 解析　第一次闭合出现红灯闪烁记为事件A，第二次闭合出现红灯闪烁记为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝.‎ ‎10.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 .‎ 答案　0.128‎ 解析　此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.‎ 三、解答题 ‎11.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件，求：‎ ‎(1)第一次抽到次品的概率；‎ ‎(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；‎ ‎(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.‎ 解　设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.‎ ‎(1)第一次抽到次品的概率P(A)＝＝.‎ ‎(2)P(AB)＝P(A)P(B)＝.‎ ‎(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝÷＝.‎ ‎12.一个暗箱里放着6个黑球、4个白球.‎ ‎(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，‎ 求第3次取到黑球的概率；‎ ‎(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；‎ ‎(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望.‎ 解　设事件A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”，‎ ‎(1)P(A)＝＝.‎ ‎(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响，‎ 所以P()＝＝.‎ ‎(3)设事件D为“取一次球，取到白球”，‎ 则P(D)＝，P()＝，这3次取出球互不影响，‎ 则ξ～B，‎ 所以P(ξ＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，‎ E(ξ)＝3×＝.‎ ‎13.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望).‎ 解　(1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为P＝×＝.‎ ‎(2)由题意可知X的可能取值为200,300,400，‎ 则P(X＝200)＝＝；‎ P(X＝300)＝＋＝；‎ P(X＝400)＝＋＝.‎ 所以X的分布列如下表所示：‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P 所以E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.‎