2017-2018学年福建省莆田第九中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省莆田第九中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省莆田第九中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简，从而求得 ，在复平面内对应的点坐标为，即可得结果.‎ 详解：因为复数 ‎ 所以 ，在复平面内对应的点坐标为，‎ 在复平面内对应的点在第二象限，故选B.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：化简 ，求出展开式中的系数分别为，从而可得结果.‎ 详解：因为 ‎ ‎，‎ 展开式的通为，‎ 令，可得 展开式中的系数分别为，‎ 所以含项的系数为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎3．已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.‎ 详解：第一类：当集合中无元素5：种，第二类：当集合中有元素5：种，故一共有14种，选C 点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.‎ ‎4．的展开式的中间项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：原式张开一共有5项，故只需求出第三项即可.‎ 详解：由题可得展开式的中中间项为第3项，故：，选D.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．‎ ‎5．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.‎ 详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.‎ 点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道.‎ ‎6．已知复数，若，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先根据复数模的计算公式，结合题中的条件，得出实数所满足的等量关系式，从而求得的值，进一步求得复数，根据其在复平面内对应的点的坐标，从而确定其所在的象限，得到结果.‎ 详解：根据题意可知，‎ 化简得，解得或，‎ 当时，，当时，，‎ 所以对应的点的坐标为或，‎ 所以对应的点在第一象限或第三象限，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数模的计算公式，复数在复平面内对应的点，属于简单题目.‎ ‎7．参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：消去参数t，得所求曲线方程为：x2+y2=1，x≠0，由此能求出曲线图形．‎ 详解：因为参数方程（为参数）所以消去参数得x2+y2=1，x≠0，且，故所表示的图像为B.‎ 点睛：本题考查曲线图形的判断，涉及到参数方程与普通方程的互化、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎8．在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.‎ 详解：由题可得：，由的几何意义可得 ，故选B.‎ 点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.‎ ‎9．设是复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求出z的表达式，在代入问题计算即可.‎ 详解：由题可设，则，所以，故，则或，选C.‎ 点睛：考查复数和共轭复数的关系，复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎10．已知函数的图象在处的切线方程为，若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求导，然后将x=0代入得斜率为2可求出a值，再由切点既在曲线上也在切线上看的b值，再令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可.‎ 详解：，，所以切点为（0，-b）代入切线方程可得b=2，所以，令可得f（x）在（-2,1）单调递增，在 递减，故令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根即可，故，f（0）=-2，f（1）=，故答案为选A.‎ 点睛：考查导函数对零点的分析，其中认识到为符合方程，令t=，则，要使有四个不同的实数解，即要使由两个不同的正根的转化思维为此题关键，属于中档题.‎ ‎11．随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.‎ 详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E（X）=,又，而,故= ，选B 点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.‎ ‎12．已知定义在上的奇函数满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．‎ 详解：设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x＞0时，‎ g′（x）=，，因为函数f（x）满足2f（x）-xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，‎ 可得： 故选：D.‎ 点睛：本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ 二、填空题 ‎13．在直角坐标系中，若直线（为参数）过椭圆（为参数）的左顶点，则__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得的值.‎ 详解：由已知可得圆（为参数）化为普通方程，‎ 可得，故左顶点为，‎ 直线（为参数）化为普通方程，‎ 可得，又点在直线上，‎ 故，解得，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-----消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.‎ ‎14．设复数满足，则的虚部为__________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】分析：把题中给出的式子，两边同时乘以，之后利用复数的除法运算法则，求得结果，从而确定出其虚部的值.‎ 详解：由得，‎ 所以的虚部为2，故答案是2.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的虚部，这就要求对运算法则要掌握并能熟练的应用，再者就是对有关概念要明确.‎ ‎15．某商品的售价和销售量之间的一组数据如下表所示：‎ 价格（元）‎ 销售量（件）‎ 销售量与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：根据回归直线过样本中心点，求出平均数，代入回归直线方程，求出，从而得到答案.‎ 详解：根据题意得，，‎ 因为回归直线过样本中心点，‎ 所以有，解得，所以答案是.‎ 点睛：该题考查的就是回归直线的特征：回归直线过样本中心点，即均值点，所以在求解的过程中，需要分别算出样本点的横纵坐标，代入回归直线方程中，求得对应的参数的值.‎ ‎16．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：（I）先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立，下面只要二次函数的根的判别式△≤0即可求得a的取值范围；‎ 详解：f′（x）=ex[x2+（-a+2）x-a+2]，考虑到ex＞0恒成立且x2系数为正，∴f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立．∴（-a+2）2-4（-a+2）≤0， ∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2] .‎ 点睛：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎17．在如图所示的坐标系中，阴影部分由曲线与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次选取两点，则这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为__________（取）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先用定积分求出阴影部分的面积，再根据几何概率计算公式即可得.‎ 详解：由题得阴影部分的面积：，矩形面积为：2，所以这两点中都不落在阴影部分的概率为：，故这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为1-0.09=0.91，故答案为：0.91‎ 点睛：本题考查几何概型，明确测度比为面积比的关键，是基础题 ‎18．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。‎ 详解：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起:,第二类：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360种，故答案为360‎ 点睛：考查计数原理和排列组合的综合，对于此类题首先要把题意分析清楚，分清楚所讨论的类别，再根据讨论情况逐一求解即可，注意计算的准确性.‎ 三、解答题 ‎19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线交于两点，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2） 已知点的极坐标为，求的值 ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，整理得到，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)将直线的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.‎ 详解：（1）的普通方程为，‎ 整理得，‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，，‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程中得，‎ 整理得.‎ 所以，且易知，，‎ 由参数的几何意义可知，，，‎ 所以 .‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.‎ ‎20．某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为体育迷.‎ ‎（1）以频率为概率，若从这名观众中随机抽取名进行调查，求这名观众中体育迷人数的分布列；‎ ‎（2）若抽取人中有女性人，其中女体育迷有人，完成答题卡中的列联表并判断能否在犯错概率不超过的前提下认为是体育迷与性别有关系吗？‎ 附表及公式：‎ ‎，.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）不能 ‎【解析】分析：（1）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是为 ‎，．由于X～B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可（2）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论.‎ 解：（1）由图可得，观众为体育迷的概率为，‎ 的可能取值为，，，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 故的分布为 ‎（2）由题意得如下列联表：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 的观测值 ，‎ 故不能在犯错概率不超过的前提下认为是体育迷与性别有关系.‎ 点睛：本题考查独立性检验的运用及期望与方差的求法，频率分布直方图的性质，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．‎ ‎21．（1）在中，内角的对边分别为，且证明： ；‎ ‎（2）已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为，斜边长为 ，则斜边上的高 .若把 该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体中，若三个侧面的面积分别为，底面面积为，则该四面体的高与之间的关系是什么？（用表示）‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：(1)由，得，则，利用分析法要证，只需证明即证，只需证，即证，从而可得结论；(2)由，得，于是，从而可得结论.‎ 详解：（1）证明：由，得，则 要证，‎ 只需证，‎ 即证，‎ 只需证，即证，‎ 面，显然成立，故 ‎（2）解：记该四面体的三条侧棱长分别为，‎ 不妨设，‎ 由，‎ 得，‎ 于是 即.‎ 点睛：本题主要考查分析法证明以及类比推理的应用，属于简单题.分析法证明等式的主要事项：用分析法证明等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满万 元，可减千元；方案二：金额超过万元（含万元），可摇号三次，其规则是依次从装有个幸运号、个吉祥号的一号摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的二号摇号机，装有个幸运号、个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出个幸运号则打 折，若摇出个幸运号则打 折；若摇出个幸运号则打折；若没摇出幸运号则不打折.‎ ‎（1）若某型号的车正好万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；‎ ‎（2）若你朋友看中了一款价格为万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)选择第二种方案更划算.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都没有摸出幸运球，其概率为 ‎ ，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为；（2）选择方案一的价格为 （万元），选择方案二，先列出付款金额的分布列，求的期望，然后再比较.‎ 试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件，则，故所求概率． ‎ ‎（2）若选择方案一，则需付款（万元）． ‎ 若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，‎ ‎，‎ ‎， ， ‎ 故的分布列为 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 所以（万元）（万元），‎ 所以选择第二种方案根划算．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，正数满足，证明：³ .‎ ‎【答案】(1) 当时，在区间上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ (2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）分析单调性首先确定定义域，然后求导得，再确定分子的符号即可得出单调性，此时二次函数的对称轴未知所以可结合二次函数图形进行分析讨论；（2）因为当时，，由（1）可知在区间上单调递增.又易知，且，不妨设 ‎，要证，只需证，只需证，即证，即证.构造函数，.分析函数单调性求出最值即可.‎ 详解：‎ ‎（1）解：的定义域为，‎ ‎，‎ 令，.‎ ‎①当时，，‎ 所以对恒成立，则在区间上单调递增.‎ ‎②当或时，，令，得，.‎ ‎（i）当时，，‎ 所以对恒成立，则在区间上单调递增.‎ ‎（ii）当时，.‎ 若，，函数单调递增；‎ 若，，函数单调递减；‎ 若，，函数单调递增.‎ 综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和上单调递增；在上单调递减.‎ ‎（2）证明：当时，，由（1）可知在区间上单调递增.‎ 又易知，且，不妨设，‎ 要证，只需证，‎ 只需证，即证，‎ 即证.‎ 构造函数，.‎ 所以 ，，‎ ‎ .‎ 当时，，所以函数在区间上单调递增，‎ 则.‎ 所以得证，从而.‎ 点睛：考查函数的单调性求法通常先求导，当碰到有参数时要特别注意参数对导函数的符号的确定的影响，此时通常结合图像分析会比较容易分类讨论，同时对于第二问则构造函数构造函数，.是解题关键.属于难题.‎