河北省邯郸市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

河北省邯郸市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

邯郸市一中2019-2020学年第一学期期中考试试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据补集的定义求出，再由交集的定义可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，‎ 又因为，‎ ‎ ，故选C．‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，‎ 所以 故选A.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.已知，则三者的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为<，所以,选A.‎ ‎4.函数图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是偶函数，图象关于轴对称，当时，单调递减，时，单调递增，且图象过点，由此可得结论．‎ ‎【详解】由题意，函数是偶函数，图象关于轴对称，‎ 当时，为单调递减函数，‎ 时，为单调递增函数，‎ 再由函数的图象过点，应选A选项，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及对数函数的单调性，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5.下列函数中是偶函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的概念，即可判断出结果.‎ ‎【详解】A选项，因为，所以为奇函数；‎ B选项，因为，定义域不关于原点对称，因此是非奇非偶函数；‎ C选项，因为的定义域为，定义域不关于原点对称，因此是非奇非偶函数；‎ D选项，因为，所以是偶函数.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查偶函数的概念，熟记概念即可，属于常考题型.‎ ‎6.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题为上的减函数，则，‎ 解得或.‎ 故选C.‎ 本题主要考查函数单调性.‎ ‎7.下列函数中，值域是的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察各函数解析式的形式判断函数的值域逐项判断即可．‎ ‎【详解】对于A选项，因为0，所以y≠1，排除A；‎ 对于B选项， 排除B；‎ 对于C选项，因为x﹣1∈R，故y∈（0，+∞），C正确；‎ 对于D选项，.；∴0≤1﹣2x＜1；∴0≤y＜1；‎ 即该函数的值域为[0，1），不是（0，+∞），∴该选项错误．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了基本初等函数的值域，考查了基本不等式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎8.已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，根据f（x）是奇函数，以及x＜0时的函数解析式，即可求值 ‎【详解】；‎ 又x＜0时，f（x）＝5﹣x﹣1，且f（x）为奇函数；‎ ‎∴2．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】考查奇函数的定义，对数式的运算，以及对数的换底公式，指数与对数的互化．‎ ‎9.若函数，则的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合函数单调性求出其单调增区间即可．‎ ‎【详解】由t＝2x2+x＞0得：（﹣∞，）∪（0，+∞），‎ 由y＝logat为减函数，t＝2x2+x在（﹣∞，）上为减函数，‎ 函数的单调递增区间为（﹣∞，）‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，在本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，解决本题的关键．‎ ‎10.设函数，则满足的的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的表达式，分别进行求解即可．‎ ‎【详解】当x≤1时，由f（x）≤3得31﹣x≤3，得1﹣x≤1，得x≥0，此时0≤x≤1，‎ 当x＞1时，由f（x）≤3得 ，此时1＜x，‎ 综上x≥0，即不等式的解集为 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用分段函数的表达式，分别进行求解即可．‎ ‎11.已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据 及的单调性，‎ 知且.‎ 又在区间上的最大值为，‎ 由图象知，．故，易得.‎ ‎12.若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是( )‎ A. B. ‎6 ‎C. 8 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上是单调函数，可得为一常数，进而可得函数的解析式，将 代入可得结果.‎ ‎【详解】对任意，都有，‎ 且函数在上是单调函数，‎ 故，即，‎ ‎，解得，‎ 故，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性与函数的解析式以及待定系数法的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于难题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题卡相应位置上．‎ ‎13.函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据对数函数的图象和性质，可得定点P坐标（2，），进而根据P在幂函数f（x）的图象上，可得 ‎【详解】令2x﹣3＝1，则x＝2，y恒成立，‎ 故函数y＝loga（2x﹣3）的图象恒过定点P（2，），‎ 若P在幂函数f（x）＝xa的图象上，‎ ‎∴‎2a，‎ ‎∴a， ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，幂函数的图象和性质，难度中档．‎ ‎14.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅，为震级．则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍 ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】当M=7时，∵7=lgA-lgA0，=，‎ ‎∴=107，∴A=A0107,‎ 当M=5时，∵5=lgA-lgA0，=，‎ ‎∴=105，∴A=A0105,‎ 从而可得7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍，‎ 故答案为100‎ ‎15.若在区间上的最大值为，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作函数f(x)=x(|x|−2)的图象如下，‎ 当f(x)=1时,x=−1或x=；‎ 故由图象可知，‎ 实数m的取值范围是[−1,].‎ 故答案为[−1,].‎ 点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．‎ ‎16.已知函数（且）有下列四个结论．‎ ‎①恒过定点；‎ ‎②是奇函数；‎ ‎③当时，的解集为；‎ ‎④若，，那么．‎ 其中正确结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎（）恒过定点（0，0）‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴是奇函数；‎ ‎（3）当时， ‎ ‎（4）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 故．‎ 所以正确的结论是①②④‎ 点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断与是否具有等量关系．‎ 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式＋＝0(奇函数)或－＝0(偶函数)是否成立．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填写在答题纸相应位置上．‎ ‎17.设全集，集合，集合．‎ ‎(Ⅰ)求集合与； (Ⅱ)求、．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由，知，由，得 ‎，可得或；（2）由或，能求出，由或，能求出.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 不等式的解为，∴‎ ‎∵，∴，即，∴或 ‎∴‎ ‎（2）由（1）可知，，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式、分式不等式的解法以及求集合的补集与交集，属于中档题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时本题将不等式的解法与集合的运算融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎18.（1）计算：.‎ ‎（2）解方程：.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数运算法则求解即可 ‎（2）将方程变形为求解即可 ‎【详解】（1）‎ ‎（2）由已知得且，则方程变形为 ‎，即 ‎，即，‎ 或.又，是原方程的解.‎ ‎【点睛】本题考查对数运算，考查解对数方程，熟记运算法则是关键，注意定义域，是基础题 ‎19.已知函数是奇函数，其中是常数．‎ ‎（1）求函数的定义域和的值；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）定义域为，；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，得函数的定义域，由奇函数得，可得；‎ ‎（2）由，得，解不等式即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得函数的定义域为，‎ 由是奇函数，得，所以．‎ ‎（2）由（1）知，由，得，‎ 当时，，，不成立，当时，，，‎ 所以时，实数的取值范围是．‎ ‎20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；‎ ‎（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）3333辆/小时 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数v（x）的表达式为 ‎（2）依题并由（1）可得 当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200‎ 当20≤x≤200时，‎ 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．‎ 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．‎ 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ 答：（1）函数v（x）的表达式 ‎（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎21.定义在上的函数满足：①任意，都有；②时，有.‎ ‎（1）判定在上的奇偶性，并说明理由;‎ ‎（2）判定在上的单调性，并给出证明.‎ ‎【答案】(1) 奇函数. 理由见解析；(2) 单调递减，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值法， y＝0求出f（0）的值，结合y＝﹣x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可．‎ ‎（2）先设，然后作差求f（x1）﹣f（x2），根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定．‎ ‎【详解】(1) 由已知 令，则，，‎ 令，则，即，‎ 是上的奇函数.‎ ‎（2）任取，，满足，‎ 又，，，又，，‎ ‎，，‎ 时，有，，即，‎ 即在上单调递减.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，属于中档题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)当时，求函数的值域；‎ ‎(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，‎ 因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，‎ 故函数h(x)的值域为[0,2]．‎ ‎(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，‎ 得(3－4)(3－)＞k·，‎ 令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，‎ 所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，‎ ‎①当t＝0时，k∈R；‎ ‎②当t∈(0,2]时，恒成立，‎ 即，‎ 因为，当且仅当，即时取等号，‎ 所以的最小值为－3.所以k＜－3.‎ 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力．‎