上海市第四中学2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市第四中学2020届高三上学期期中考试数学试题

‎2019学年第一学期高三数学期中考试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．‎ ‎1.不等式≤1的解集是　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】，所以解集为 ‎2.函数的最小正周期________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求周期.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.若集合，集合，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解分式不等式得集合A，再根据交集定义求结果.‎ ‎【详解】,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.若函数的图像经过点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据点坐标求，再根据反函数性质求结果.‎ ‎【详解】因为函数的图像经过点，所以 令 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查指数函数解析式以及反函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.若等差数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件列关于首项与公差的方程组，解得结果代入等差数列通项公式得结果.‎ ‎【详解】因，，设公差为，‎ 所以，，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.在中，若，，，则的面积是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以（负值舍去）‎ 因此的面积是 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎7.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.‎ 考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.‎ ‎8.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此 考点：不等式恒成立 ‎9.若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】‎ 由图象可知A＝2，f＝2，即f＝2sin＝2，所以sin＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.因为－<φ<，所以当k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝2sin，即f(0)＝2sin＝2×＝－1.‎ ‎10.若是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆定义可将所求式子化为，利用基本不等式可求得的最大值，代入即可求得所求式子的最小值.‎ ‎【详解】由椭圆定义可知：‎ ‎（当且仅当时取等号）‎ ‎，即最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中最值问题的求解，涉及到椭圆定义和基本不等式的应用；关键是能够利用椭圆定义将问题转化为两个焦半径乘积的形式，进而利用基本不等式求得积的最大值.‎ ‎11.设正项数列的前n项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则＝_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：设公差为d，首项，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案.‎ 详解：设公差为d，首项，‎ 和都是等差数列，且公差相等，‎ ‎，‎ 即，‎ 两边同时平方得：，‎ ‎，‎ 两边再平方得：，‎ ‎，‎ ‎，又两数列公差相等，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得：或，‎ 为正项数列，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想.‎ ‎12.设，是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离，若点，点B在上，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义列，再根据绝对值定义化简以及二次函数性质求最值 ‎【详解】，‎ 当时，；当时，‎ 因此当时，取最小值，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查新定义以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ ‎13.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 函数与互为反函数 B. 函数与都增函数 C. 函数与都是奇函数 D. 函数与都是周期函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数与反正弦函数性质直接可作出判断.‎ ‎【详解】因为函数与互为反函数,所以A错；‎ 因为函数有增区间与减区间，所以B错；‎ 因为函数与都是奇函数，所以C对；‎ 因为不是周期函数，所以D错；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查正弦函数与反正弦函数性质，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎14.双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为（ ）‎ A. （±4，0） B. （±，0）‎ C. （0，±4） D. （0，±）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：∵双曲线（7＜λ＜9）‎ ‎∴9-λ＞0且7-λ＜0，方程化为 由此可得：双曲线焦点在x轴，且 ‎∴双曲线的焦点坐标为 故选：B 考点：双曲线的标准方程．‎ ‎15.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则公比q的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公比q分类讨论，根据等比数列求和公式代入验证极限是否成立，即可判断选择.‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，；‎ 当时，‎ ‎；‎ 综上：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列求和公式以及数列极限，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎16.已知，则如图中函数的图象错误的是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出的函数图像，再根据图像变换可得正确的选项.‎ ‎【详解】因为，其图像如图所示：‎ 要得到的图像，只要把的图像向右平移一个单位即可，故A正确；‎ 要得到的图像，只要把的图像关于轴对称即可，故B正确；‎ 要得到的图像，只要把的图像的左边部分去掉，再把右边部分关于对称，左边部分和右边部分合在一起即为所求图像，故C正确；‎ 要得到的图像，只要把的图像在轴下方的图像翻折到上方即可，故D错，‎ 综上，选D.‎ ‎【点睛】函数的图像变换有平移变换、对称变换等，‎ ‎（1）平移变换有“左加右减”（水平方向平移），注意是对自变量做加减，比如把的图像向右平移1个单位后，得到的图像对应的解析式为．‎ ‎（2）对称变换主要有关于坐标轴、关于原点的对称变换，这类变换注意的符号变化规则．‎ ‎（3）翻折变换有上下翻折和左右翻折，注意对应的函数形式.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．‎ ‎17.设函数，．‎ ‎（1）求其反函数；‎ ‎（2）解方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求原函数值域，再根据对数式与指数式关系求反函数；‎ ‎（2）设，将方程转化为一元二次方程，再求解，最后解指数方程得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 因此 ‎（2）设，则（负值舍去）‎ ‎【点睛】本题考查反函数以及解指数方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18.在棱长为1的正方体中，E，G分别为棱和的中点．‎ ‎（1）求异面直线AE与DG所成的角；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先平移，将异面直线AE与DG所成的角转化为,再解三角形得结果；‎ ‎（2）先确定高，再利用锥体体积公式求解 ‎【详解】(1)连，因为E，G分别为棱和的中点，所以,‎ 因此为异面直线AE与DG所成的角或补角，‎ 因为，所以 因此异面直线AE与DG所成的角为，‎ ‎（2）因为，所以三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角以及锥体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎19.位于处的雷达观测站，发现其北偏东，与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站北偏东（）的处，，在离观测站的正南方某处，测得.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求该船的行驶速度（海里/小时）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用同角三角函数的关系求，根据，利用两角差的余弦公式即可求出；（2）利用余弦定理，，求出行驶速度．‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）利用余弦定理 ‎ 该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，‎ 该船的行驶速度（海里/小时）．‎ ‎20.（1）已知数列的通项公式：，试求最大项的值；‎ ‎（2）记，且满足（1），若成等比数列，求p的值；‎ ‎（3）如果，，，且p是满足（2）的正常数，试证：对于任意自然数n，或者都满足，，或者都满足，．‎ ‎【答案】（1）4（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先确定数列单调性，再求最大项的值；‎ ‎（2）先写出前三项，再根据等比中项性质求出p的值，最后再根据等比数列定义进行论证；‎ ‎（3）利用数学归纳法证明.‎ ‎【详解】（1）单调递减，所以最大项为；‎ ‎（2）‎ 所以前三项为 因此 当时，，即成等比数列；‎ 当时，，即成等比数列；‎ 综上 ‎（3）‎ 因为，，所以当时，；‎ 当时，；即当时，结论成立；‎ 假设当时，结论成立；即，，或者，．‎ 当时，，‎ 或者 ‎，即当时，结论成立；‎ 综合可得对于任意自然数n，或者都满足，，或者都满足，．‎ ‎【点睛】本题考查数列单调性、等比数列定义以及数学归纳法，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.‎ ‎21.设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．‎ ‎(1)若，求线段中点M的轨迹方程；‎ ‎(2)若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；‎ ‎(3)若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．‎ ‎【答案】(1)；(2) (3)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 思路分析：(1) 利用“代入法”。‎ ‎(2) 联立方程组得，，应用弦长公式求 ‎，得到面积。‎ ‎(3)直线的斜率都存在，分别设为．‎ 点的坐标为．‎ 设直线AB：，代入抛物线得， 确定，‎ ‎，得到．‎ 解：(1) 设，，焦点，则由题意，即 所求的轨迹方程为，即 ‎(2)，，直线，‎ 由得，，‎ ‎，。‎ ‎(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．‎ 点的坐标为．‎ 设直线AB：，代入抛物线得， 所以，‎ 又，，‎ 因而，‎ 因而 而，故．‎ 考点：等差数列，求轨迹方程，直线与抛物线的位置关系。‎ 点评：中档题，涉及“弦中点”问题，往往利用“代入法”求轨迹方程。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。‎ ‎ ‎