江西省上饶市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

江西省上饶市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

上饶市2018- 2019学年度下学期期末教学质量测试 高二数学(理科)试题卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.‎ ‎1.复数，则＝（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算，先化简复数，再由复数模的计算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查复数的除法，以及复数的模，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎2.已知命题，则命题的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为命题，‎ 所以命题的否定为：‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.‎ ‎3.空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是 A. (－10,2,8) B. (－10,2,－8) C. (5,2,－8) D. (－10,3,－8)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用中点坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】设点关于点的对称点的坐标是,‎ 根据中点坐标公式可得，解得，‎ 所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查中点坐标公式应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎4.函数在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进行求解即可.‎ ‎【详解】函数的导数，‎ 则函数在点处的切线斜率，‎ 因为，‎ 所以切点坐标为为，‎ 则切线方程为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.‎ ‎5. △ABC的两个顶点为A（-4,0），B（4,0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）‎ A. （y≠0） B. （y≠0）‎ C. （y≠0） D. （y≠0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为（），故正确选项为A．‎ 考点：椭圆的概念．‎ ‎【易错点睛】本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹．有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点．‎ ‎6.计算：（ ）‎ A. ﹣1 B. 1 C. ﹣8 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据微积分基本定理，可直接求出结果.‎ ‎【详解】.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查定积分，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.‎ ‎7.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(　　)‎ A. 192 B. 202 C. 212 D. 222‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里，）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为，又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有，故选C.‎ 点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可.‎ ‎8.已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则 的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.‎ ‎【详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，‎ 显然，当三点共线时，的值最小；‎ 因，，准线，‎ 所以当三点共线时，，所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.‎ ‎9.若函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，根据题意，得到，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 又函数在处取得极小值，‎ 所以，所以，‎ 因此，‎ 由得；由得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 所以；‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.‎ ‎10.在三棱锥中，，，面，，，分别为，，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴，‎ 以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为 故选：B ‎【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．‎ ‎11.已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.‎ ‎【详解】设直线与圆相切于点，‎ 因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，‎ 又因为圆与直线的切点为，所以，‎ 又，所以，‎ 因此，‎ 因此有，‎ 所以，因此渐近线的方程为.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知函数，，其中为自然对数底数，若存在实数使得，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，用导数的方法求最小值，再由基本不等式求出的最小值，结合题中条件，列出方程，即可求出结果.‎ ‎【详解】由得，‎ 由得；由得；‎ 因此，函数在上单调递减；在上单调递增；‎ 所以；‎ 又，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 故（当且仅当与同时取最小值时，等号成立）‎ 因为存在实数使得，‎ 所以，解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，以及由基本不等式求最小值，熟记利用导数求函数最值的方法，以及熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ 二、填空题：本大题共4小题，共20分。‎ ‎13.函数 的最大值为_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数解析式写出分段函数形式，根据函数单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为；‎ 易得：当且仅当时，取最大值1.‎ 故答案为1‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的最值问题，根据函数单调性求解即可，属于常考题型.‎ ‎14.函数的单调递增区间是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以单调递增区间是 考点：导数应用 ‎15.如图，在直三棱柱中，，，点，，分别是棱，，的中点，点是棱上的点．若，则线段的长度为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，设出点坐标，根据题意，列出方程，求出点坐标，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为在直三棱柱中，，‎ 因此，以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，点，，分别是棱，，的中点，所以，，，则，‎ 又点是棱上的点，所以设，‎ 则，‎ 因为，所以，因此.‎ 所以，因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查空间中两点间的距离，灵活运用空间向量法求解即可，属于常考题型.‎ ‎16.已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到直线的斜率存在，不妨设直线的斜率，过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过点作于点，根据题中条件求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与题中条件，求出交点横坐标，再由弦长公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意，易知直线的斜率存在，则由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率，‎ 过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过点作于点，‎ 则由，可得，即，则，‎ 所以点为的中点，则，‎ 所以，‎ 则，‎ 解得，则直线的方程为，‎ 由得，‎ 则，‎ 由，得，即，‎ 结合，解得，则.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的性质，以及直线与抛物线位置关系即可，属于常考题型.‎ 三、解答题，共70分.‎ ‎17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，，求.‎ ‎【答案】（1）x+y-1=0, ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线参数方程，消去参数，即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标的转化公式，可将化为直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设两点对应的参数为，根据韦达定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）直线的普通方程为 由，得， ‎ 则，故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将,代人，得， ‎ 设两点对应的参数为，‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎18.设函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，分，，三种情况讨论，即可得出结果；‎ ‎（2）先由关于的不等式恒成立，得到恒成立，结合绝对值不等式的性质，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）当时，即为，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，可得；‎ 当时，，解得，‎ 综上，原不等式的解集为；‎ ‎（2）关于的不等式恒成立，‎ 即为恒成立，‎ 由，‎ 可得，‎ 解得：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，通常需要用到分类讨论的思想，灵活运用分类讨论的思想处理，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.‎ ‎19.若函数,当时,函数有极值为.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若有个解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 由时，函数有极值，‎ 得，即，解得 所以；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，‎ 所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，有极大值；‎ 当时，有极小值，‎ 因为关于的方程有三个不等实根，‎ 所以函数的图象与直线有三个交点，‎ 则的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.‎ ‎20.在四棱锥中，底面为菱形， ，侧面为等腰直角三角形，，点为棱的中点．‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先由题中数据，得到；再以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，为棱的中点，∴，‎ 又∵为菱形且，∴，‎ ‎∵，∴面，‎ ‎∵面，∴面面；‎ ‎（2）解：∵，，∴，，‎ 又，∴，则．‎ 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ 设平面的一个法向量为．‎ 由，取，得．‎ 设直线与平面所成角为．‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知椭圆E：的离心率为分别是它的左、右焦点，.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，，结合的关系即可求解。‎ ‎（2）设直线,，，联立方程可得，又，结合韦达定理可得，化简计算即可求解。‎ ‎【详解】（1）因为，所以，又，所以，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）因为，所以直线斜率存在 设直线,，‎ 消理得 ‎，（*）‎ 又理得 即 所以（*）代入得 整理的得，所以直线定点 ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，属中档题。‎ ‎22.已知函数，，‎ ‎（1）当时，求函数的最小值．‎ ‎（2）当时，对于两个不相等的实数，，有，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由得，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值；‎ ‎（2）先由，得到，对函数求导，得到其单调区间，再设，令，用导数的方法研究函数的单调性，进而可证明结论成立.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴，由得；由得；‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时，，‎ 对于两个不相等的实数，，有，‎ ‎∵，‎ 由得；由得；‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 不妨设，‎ 令，‎ ‎∴，‎ 当时，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在单调递减，‎ ‎∴，即，‎ 因为，则，‎ 由以上可知，‎ ‎∵在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 又，，在上单调递减，‎ 所以，‎ 因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.‎ ‎ ‎