广东省梅州市2020届高三上学期第一次质量检测 数学（文）

广东省梅州市2020届高三上学期第一次质量检测 数学（文）

梅州市2020届高三上学期第一次质量检测 文科数学 ‎ 2019-10‎ 本试卷共4页，22小题， 满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ‎ ‎1．已知集合，则=（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎2．设复数满足，则（ ）． A. B. C. D. ‎ ‎3．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：‎ 参加场数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 参加人数占调查人数的百分比 ‎8%‎ ‎10%‎ ‎20%‎ ‎26%‎ ‎18%‎ ‎12%‎ ‎4%‎ ‎2%‎ 估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）． A.参加活动次数是3场的学生约为360人 B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人 C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人 D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人 ‎4．已知双曲线:，直线与的两条渐近线的交点分别为， 为坐标原点．若为直角三角形，则的离心率为（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知数列中，，．若数列为等差数列，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知，且，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎·14·‎ ‎7．如图，线段是半径为的圆的一条弦，且的长为. 在圆内，将线段绕点按逆时针方向转动，使点移动到圆上的新位置，继续将线段绕点按逆时针方向转动，使点移动到圆上的新位置，依此继续转动……点的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．‎ A. B. C. D.‎ ‎8．在边长为的等边中，点满足，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）‎ A　　　　　 B　　　　　　 C 　　　　　 D ‎ ‎11．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为　　‎ A． B．12 C． D．‎ ‎12．若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎·14·‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若实数满足约束条件，则的最小值等于______．‎ ‎14．已知长方体的外接球体积为，且，则直线与平面所成的角为______．‎ ‎15．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则______．‎ ‎16．已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中，角的对边分别是.已知.‎ ‎(Ⅰ)求角的值；‎ ‎(Ⅱ)若，求的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 足球特色学校(百个)‎ ‎0.30‎ ‎0.60‎ ‎1.00‎ ‎1.40‎ ‎1.70‎ ‎(Ⅰ)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明的线性相关性强弱 ‎(已知：，则认为线性相关性很强；，则认为线性相关性一般；，则认为线性相关性较弱)；‎ ‎(Ⅱ)求关于的线性回归方程，并预测地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).‎ ‎·14·‎ 参考公式：，，，，‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面， ，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知直线与焦点为的抛物线()相切.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数().‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的(为自然对数的底数)，恒成立，求的取值范围.‎ ‎·14·‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于两点，直线与曲线相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎(Ⅰ)求的解集；‎ ‎(Ⅱ)若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎2019-2020学年高三级第一学期第一次质检 文科数学试题参考答案 ‎·14·‎ 一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A ‎1.【简解】，所以，故选D．‎ ‎2.【简解一】因为，所以，故选B．‎ ‎【简解二】因为，所以，所以，故选B．‎ ‎3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：‎ 人，故选D.‎ ‎4.【简解】依题意得：因为为直角三角形，所以双曲线的渐近线为，即是等轴双曲线，所以的离心率，故选A．‎ ‎5.【简解】依题意得：，因为数列为等差数列，‎ 所以，所以，所以，故选C．‎ ‎6.【简解一】由，且得，，代入得，=，故选C．‎ ‎【简解二】由，且得，，‎ 所以，故选C．‎ ‎7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积 ‎，故选B．‎ ‎【简解二】依题意得：阴影部分的面积 ‎·14·‎ ‎，故选B．‎ ‎8.【简解一】依题意得：‎ ‎，故选D．‎ ‎【简解二】依题意得：以为原点，所在的直线为轴建立平面直角直角坐标系，则，所以，故选D．‎ ‎【简解三】依题意得：过点作于，如图所示，则，故选D．‎ ‎9. 【简解】依题意得：函数在上单调递减，‎ 因为，所以，即，在上恒成立，所以，即，故选B．‎ ‎10. 【简解】【解析】∵函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值， ∴当时，；当时，；当时，．‎ ‎∴当时，；当时，；当或时，.选：C．‎ ‎11.【解答】解：解：过作于，过作于，设，，则，，‎ ‎．，‎ 则四边形的面积为，故选：．‎ ‎·14·‎ ‎12.【解答】解：方程没有实数根，得方程没有实数根，‎ 等价为函数与没有交点，‎ 当时，直线与恒有交点，不满足条件．‎ 当时，直线与没有交点，满足条件．‎ 当时，当过点的直线相切时，设切点为，则，则，‎ 则切线方程为．即，‎ 切线过点，则，得，即切线斜率为，‎ 要使与没有交点，则满足，即，‎ 综上，即实数的取值范围是，，故选：．‎ 二、填空题 ‎13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值．通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最大．因为解得，所以的最小值．‎ ‎14.【简解】设长方体的外接球半径为，因为长方体的外接球体积为，所以,即，因为，所以.‎ 因为平面，所以与平面所成的角为，‎ 在中，因为，所以，所以．‎ ‎15. 【简解】因为的图象向左平移单位长度，得到偶函数图象，所以函数的对称轴为，‎ ‎·14·‎ 所以，因为，所以．‎ ‎16. 【简解】因为，且（为常数），所以，解得，‎ 所以，所以，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，解得，又因为，所以或． ‎ 所以，当或时，，即满足条件的的取值集合为．‎ 三、解答题：‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解: (Ⅰ)∵，∴，………………2分 ‎∴，∴. ……………………………………4分 ‎∵，∴. …………………………6分 ‎(Ⅱ)∵，∴， ………………………………8分 ‎∵，∴， ……………………………… 10分 ‎∴. …………………………12分 ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)， …………………………2分 ‎·14·‎ ‎，……………………4分 ‎∴线性相关性很强. …………………………6分 ‎(Ⅱ)，……………………8分 ‎， ………………………………9分 ‎∴关于的线性回归方程是. …………………………10分 当时，，‎ 即地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明：取的中点为，连结. …………………………1分 由是三棱台得，平面平面，∴.………2分 ‎∵，∴，……………………………………3分 ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，∴.……………………4分 ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴⊥平面，而平面，∴. ……………………6分 ‎(Ⅱ)∵三棱台的底面是正三角形，且，‎ ‎∴，∴， ………………………………8分 ‎∴. …………………………9分 由(Ⅰ)知，平面.‎ ‎∵正的面积等于，∴，. …………………………10分 ‎∵直角梯形的面积等于，∴，∴，‎ ‎·14·‎ ‎∴. …………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)∵直线与抛物线相切.由消去得，，……2分 从而，解得. ………………………………4分 ‎∴抛物线的方程为. …………………………5分 ‎(Ⅱ)由于直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为，()，().……6分 由消去得，， ………………………………7分 ‎∴，从而， ……………………………………8分 ‎∴线段的中点的坐标为(). ………………………………9分 设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则 ‎， …………………………11分 ‎∴当时，可使、两点到直线的距离之和最小，距离的最小值为. ………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)的定义域为(). …………………………1分 ‎·14·‎ ‎. …………………………2分 ⑴当时，恒成立，的单调递增区间为()，无单调递减区间；…………3分 ⑵当时，由解得，由解得.………………4分 ‎∴的单调递增区间为和，单调递减区间是. ……………………5分 ‎(Ⅱ)①当时，恒成立，在()上单调递增，‎ ‎∴恒成立，符合题意. …………………………6分 ‎②当时，由(Ⅰ)知，在 和上单调递增，在上单调递减.‎ ‎(ⅰ)若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需 ，且.……………………………7分 而当时，且成立.‎ ‎∴符合题意. ………………………………8分 ‎(ⅱ)若时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需即可，‎ 此时成立，∴符合题意.…………………………9分 ‎(ⅲ)若，在上单调递增.‎ ‎·14·‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需 ，……………………10分 即，∴符合题意.……………………………11分 综上所述，实数的取值范围是. …………………………12分 ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎【解析】（1）将直线的参数方程化为普通方程为. 2分 由，得， 3分 从而，即曲线的直角坐标方程为. 5分 ‎（2）解法一：由，得.所以， 6分 将直线的参数方程代入圆的方程，得 由，得 …………………………………………………………8分 设A、B两点对应的参数为，则……9分 解得，或.所以，所求的值为或.………………………………………………10分 解法二：将射线化为普通方程为， 6分 由（1）知，曲线：的圆心，半径为， 由点到直线距离公式，得到该射线的最短距离为：， ‎ 所以该射线与曲线相交所得的弦长为． 7分 ‎·14·‎ 圆心到直线的距离为：， 8分 由，得，即， 9分 解得，或 所以，所求的值为或.……………………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 解：(Ⅰ)由得，，所以，，解得，‎ 所以，的解集为. …………………………5分 ‎(Ⅱ)恒成立，即恒成立.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因为(当且仅当，即时等号成立)，‎ 所以，即的最大值是. …………………………10分 ‎·14·‎