上海市南洋模范中学2020届高三上学期9月月考数学试题

上海市南洋模范中学2020届高三上学期9月月考数学试题

‎2019～2020学年南洋模范中学高三上数学9月月考试题 一、填空题 ‎1.方程的解为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换元，可得出，解此方程，求出正数的值，即可得出的值.‎ ‎【详解】令，由，可得，解得或（舍去）.‎ 即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题的关键就是利用换元法将方程变为二次方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎2.设复数，，若，则的值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法将复数表示为一般形式，结合题意得出其虚部为零，由此可解出实数的值.‎ ‎【详解】，，，‎ ‎，，解得，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数的概念，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据被开方数非负、分母不为零、真数大于零列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，即，解得.‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列出关于自变量的不等式组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎4.已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组解为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据增广矩阵得出二元一次方程组，解出即可.‎ ‎【详解】由题意可知，线性方程组为，解得.‎ 因此，该线性方程组的解为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线性方程组的求解，同时也考查了增广矩阵定义的应用，根据增广矩阵得出线性方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.在二项式展开式中，的一次项系数为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：二项式的通项，令，此时的一次项系数为.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎6.已知双曲线的一条渐近线的法向量是，那么________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意双曲线的一条渐近线的法向量是, 可得该渐近线的斜率为,由于该双曲线的渐近线方程为, 故, 故答案为.‎ ‎7.圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：那么圆锥的母线，所以侧面积为 考点：圆锥的侧面积 ‎8.设无穷等比数列的公比，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的值，然后利用等比数列的求和公式求出，由此可计算出所求极限值.‎ ‎【详解】由等比数列的定义可知，‎ ‎，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎.‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了等比数列求和，解题时要熟悉几种常见的数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为 设点坐标为，则有 ‎,解得 的面积为 ‎10.现有个数，它们能构成一个以为首项，为公比的等比数列，若从这个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出这个数的值，找出其中小于的数的个数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】由题意知，这个数分别为、、、、、、、、、，其中小于的数为、、、、、、，共个，‎ 因此，从这个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用古典概型的概率的计算，同时也考查了等比数列定义的应用，解题的关键就是求出题中所涉及的数，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为 ．‎ ‎【答案】－10‎ ‎【解析】‎ 因为是定义在上且周期为2的函数，所以 ‎，且，故，从而，①.　‎ 由，得，故.　②‎ 由①②得，，从而.‎ 点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.‎ ‎12.定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，，，‎ 可知当时，；当时，，则，‎ ‎，当时，；当时，，‎ 则，，当时，；‎ 所以在区间内的所有零点的和为.‎ 考点：函数的零点.‎ 二、选择题 ‎13.“”是“”（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程，得出的值，然后根据集合的包含关系可判断出“”是“”的必要非充分条件关系.‎ ‎【详解】解方程，得，‎ 因此，“”是“”的必要非充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎14.函数的反函数是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，可得，‎ 互换可得函数的反函数是，‎ 故选：D.‎ ‎15.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上，再应用其解析式求解 详解：的最小正周期是 是偶函数 ‎，‎ 当时，，‎ 则 故选 点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质。‎ ‎16.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度（0≤x≤2π），向量在方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数的图象是（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点时的值，再研究点P从点向点运动时的变化规律，由此即可得出正确选项,设边与轴交点为点，由已知可得因而可得，由此正三角形的边长为连接，可得即则，由图可知当时，射影取到最小值，其大小为由此可排除选项；又当点P从点向点运动时，变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图像趋于平缓，由此可排除，故选．‎ 考点：1、函数的综合应用；2、、排除法；3、特殊值法．‎ 三、解答题 ‎17.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期；（Ⅱ）由可得，利用正弦函数的单调性可求的最大值和最小值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以 ‎ 当时，即时，的最大值为, ‎ 当时，即时，的最小值为.‎ ‎【点睛】对三角函数图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）写出函数的奇偶性；‎ ‎（2）当时，是否存在实数，使的图象在函数图象的下方，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对分和两种情况分类讨论，结合奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性；‎ ‎（2）由题意得出，利用参变量分离法得出，然后利用基本不等式求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称.‎ 当时，，则，‎ 此时，函数是奇函数；‎ 当时，，，则，，此时，函数是非奇非偶函数；‎ ‎（2）若的图象在函数图象的下方，‎ 则，化简得恒成立，‎ 当时，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.‎ ‎，因此，当时，函数的图象都在函数图象的下方．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，同时也考查函数不等式恒成立问题的求解，在含单参数的不等式问题中，可以充分利用参变量分离法，转化为函数最值来求解，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月污染度如下表：‎ 月数 ‎…‎ 污染度 ‎…‎ 污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，，，其中表示月数，、、分别表示污染度．‎ ‎（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；‎ ‎（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过．‎ ‎【答案】（1）选择作为模拟函数，理由见解析；（2）整治后个月的污染度不超过．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算出三个函数在前个月的函数值，列出表格进行分析，看哪组函数值比较接近于实际的污染度，由此可找出函数作为拟合函数；‎ ‎（2）令，求出取值，从而可得出污染度不超过的月数.‎ ‎【详解】（1）计算各函数对应各月份污染度得下表：‎ 月数 ‎…‎ 污染度 ‎…‎ 从上表可知，函数模拟比较合理，故选择作为模拟函数；‎ ‎（2）令，得，得，解得，‎ 所以，整治后个月的污染度不超过．‎ ‎【点睛】本题考查函数拟合思想的应用，以及利用函数模型解决实际问题，在选择函数模型时，一般将函数值与实际值作比较，选择误差最小的函数来进行拟合，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．‎ ‎（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；‎ ‎（2）求实数的取值范围；‎ ‎（3）求面积的最大值（为坐标原点）．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，则有，代入椭圆的方程得出，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出的最大值，从而证明；‎ ‎（2）由、关于直线对称，可得出直线与直线，从而可得出直线的斜率为，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，得出，并列出韦达定理，求出线段的中点，再由点在直线上列出不等式，结合可求出的取值范围；‎ ‎（3）令，可得出直线的方程为，利用韦达定理结合弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式计算出的高的表达式，然后利用三角形的面积公式得出面积的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）设，则，得，于是 因，所以当时，，即；‎ ‎（2）由题意知，可设直线的方程为．‎ 由消去，得．‎ 因为直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 所以，，即，①‎ 由韦达定理得，，‎ ‎，所以，线段的中点.‎ 将中点代入直线方程，解得②，‎ 将②代入①得，化简得.‎ 解得或，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3）令，即，且.‎ 则，，‎ 则 ‎，‎ 且到直线的距离为，‎ 设的面积为，所以，‎ 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交所得弦长问题、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.‎ ‎21.已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；‎ ‎（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，利用对数运算得出，然后计算出为非零常数，利用等比数列的定义可证明出数列是等比数列；‎ ‎（2）求出和，利用分组求和法得出，然后分析数列 为单调递增数列，可得出该数列的最小值为，由此可得出结果；‎ ‎（3）求出，由数列是递增数列，得出，可得出，然后分和两种情况分类讨论，利用不等式的性质和参变量分离法可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）证明：由题意，‎ 即，得，且，．‎ 常数且，为非零常数，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列；‎ ‎（2）当时，，，.‎ ‎.‎ ‎，数列是递增数列，‎ 因而最小值为；‎ ‎（3）由（1）知，，要使对一切成立，‎ 即对一切成立．‎ 当时，，对一切恒成立；‎ 当时，，对一切恒成立，只需，‎ 单调递增，当时，．‎ ‎，且，．‎ 综上所述，存在实数满足条件．‎ ‎【点睛】本题考查利用定义证明等比数列、分组求和法以及利用数列的单调性求参数，解题时应充分利用定义来理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎ ‎