2020届湖北省七校10月联考试题理科数学答案

2020届湖北省七校10月联考试题理科数学答案

2019 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高三 10 月联考理科数学参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C B D A D A D B C 二、填空题 13． 057  yx 14． 5 15． 3 16． ],1[ 2e 三、解答题： 17．解：（1）由 B C b ca cos cos2  得到 B C B CA cos cos sin sinsin2  即 )sin(cossin2 CBBA  ，即 ABA sincossin2  又 A 为三角形内角， 0sin  A ，所以 1cos 2B  ，从而 3B  . -----------------------5 分 （2） ACAAC sin2 1)1(cos2 3 2cos2sin2cos3 2  2 3)3 2sin(2 1cos2 3  CC  2 3sin4 1cos4 3  CC 2 3)6cos(2 1  C --------- 8 分 3 20  C 6 5 66   C ， --------------------------------------------- 9 分 2 3)6cos(2 3  C 所以 4 33 2 3)6cos(2 1 4 3  C . --------------- 11 分 所以 2cos2sin2cos3 2 AAC  的取值范围为 )4 33,4 3( . -----------------12 分 18．解：（Ⅰ）       ,20,19501 900010 ,200,501002 5080)()( 2 xxx xxx xxxGxW ， -----------------4 分 （Ⅱ）当 200  x 时 1200)25(2501002)( 22  xxxxW ， 1150)20()( max  WxW . -----------------------7 分 当 20x 时 1960)1 9001(10)(  xxxW 19601 900)1(210  xx 1360 当且仅当 1 9001  xx 即 29x 时等号成立， 1360)29()( max  WxW . -----------11 分 11501360  ， 当年产量为 29 万台时，该公司获得的利润最大为1360 万元. --------------------12 分 19．（Ⅰ）证明：取 AC 的中点O ，连接 OFEF, . 在  DAC中 DCDA  ， ACDO  . 由平面 DAC 平面 ABC ，且交线为 AC 得 DO 平面 ABC . ------------------------------2分 FO, 分别为 BCAC, 的中点， ABOF // ，且 OFAB 2 . 又 ABDE // ， DEAB 2 ， DEOF // ，且 DEOF  . 四边形 DEFO 为平行四边形. DOEF // EF 平面 ABC . -----------------------------------------6 分 （Ⅱ）解： DO 平面 ABC ， BCAC  以O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，过点O 与CB 平行的直线为 y 轴， OD 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系. 则 )0,0,1(A ， )0,0,1(C ， )0,4,1(B . -------------------------------------------------7 分 EF 平面 ABC ，直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60EBF . 3260tan  BFEFDO . )32,0,0(D . -------------------8 分 可取平面 ADC 的法向量 )0,1,0(m ， --------------------------9 分 设平面 ADB 的法向量 ),,( zyxn  ， )0,4,2(AB ， )32,0,1(AD ， 则      032 042 zx yx ，取 1z ，则 3,32  yx . )1,3,32(n ， ----------------------11 分 4 3,cos  nm nmnm ， 二面角 CADB  的余弦值为 4 3 . -----------------------12 分 20.解：（Ⅰ）将直线 l 的方程 2 myx 代入抛物线 xy 22  得： 0422  myy . 设点 ),(),,( 2211 yxDyxC 则 421 yy . ---------------------------2 分 由题得 )2,2(),2,2( BA ，直线 AC 的方程为 )2(2 22 1  xyy ， 直线 BD 的方程为 )2(2 22 2  xyy ，消去 y 得 4 )(2 21 2121   yy yyyyx ， 将 421 yy 代入上式得 2x ，故点Q 在直线 2x 上. ------------------6 分 （Ⅱ） 2)2(2 1 11  xxAPS PQC ， 22 2)2(2 1 xxBPS PBD  ， ----------7 分 又 44 16 22 2 2 2 1 21  yyxx ， )2(2 )2( 42 2 2 2 1 11 1 1 2 1        x xx x x x x S S PBD PQC . ----------------9 分 令 )0(,21  txt 则 32234 22 )4)(2(  t t t tt ， 当且仅当 22t 即 2221 x 时  取到最小值 322  . --------------12 分 21．解:（Ⅰ） 2 1sin)()(  xaxxfxg ， )cos(sin)( xxxaxg  . ----------1 分 当 0a 时 2 1)( xg ，不合题意，舍去. 当 0a 时 0)(  xg  )(xg 在 ]2,0[  上单调递减， 2 1 2 1)0()(max  gxg ，不合题意，舍去. 当 0a 时 0)(  xg  )(xg 在 ]2,0[  上单调递增， 2 1 2 1 2)2()(max   agxg ，解得 1a 综上： 1a ---------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2 1sin)(  xxxg ， xxxxg cossin)(  当 ]2,0( x 时， )(xg 在 ]2,0(  上单调递增， 02 1)0( g ， 02 1 2)2(  g ， )(xg 在 ]2,0(  上有且仅有一个变号零点； --------------------------------------7 分 当 ),2( x 时， 0sincos2)(  xxxxg ， )(xg 在 ),2(  上单调递减. -------------8 分 又 0)(,01)2(   gg ),2(0  x 使 0)( 0  xg 且当 ),2( 0xx  时 0)(  xg ，当 ),( 0 xx  时 0)(  xg ，  )(xg 在 ),2( 0x 上单调递增，在 ),( 0 x 上单调递减. -----------------------10 分 又 02 1 2)2(  g ， 0)2()( 0  gxg ， 02 1)( g ， )(xg 在 ),2(  上有且仅有一个变号零点. )(xg 在 ]2,0(  和 ),2(  上各有一个变号零点， )(xf 在 ),0(  上共有两个极值点. -------------12 分 22.解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 4x y ， ------------------------------2 分 P 点的极坐标为： 3, 2P      ，化为直角坐标为  0,3P ---------------------------3 分 （Ⅱ）直线l 的参数方程为 cos ,3 3 sin ,3 x t y t        ，即 1 ,2 33 ,2 x t y t      (t 为参数) ----------------5 分 将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得 21 12 2 34 t t  ， 整理得： 2 8 3 48 0t t   ， 显然有 0  ，则 1 2 1 248, 8 3t t t t     ， --------------------------------------------7 分  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 248, 4 8 6PA PB t t t t PA PB t t t t t t t t               ， 所以 1 1 6 6 PA PB PA PB PA PB    . -----------------10 分 23.解：（Ⅰ）原不等式即| 5| | 2 3| 5x x    ,  5 5 2 3 5 x x x       或 3 52 5 2 3 5 x x x         或 3 2 5 3 2 5 x x x        ， 所以 x 无解或 3 32 x  或 31 2x  ，即1 3x  , 原不等式的解集为 (1,3) . --------------------------------------------- 5 分 （Ⅱ）若存在 Rx  使不等式 axgxf  )()(2 成立，则 )()(2 xgxf  的最小值小于或等于 a 53210232552)()(2  xxxxxgxf 25)32(102  xx . 当且仅当 ]5,2 3[x 时取等号， )()(2 xgxf  的最小值为 2 . 2a . ----------------------------------------------- 10 分