2018-2019学年甘肃省兰州市高一上学期第二片区丙组期末联考数学试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省兰州市高一上学期第二片区丙组期末联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省兰州市高一上学期第二片区丙组期末联考数学试题（解析版）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷共150分,考试时间120分钟 ‎2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回，试卷自己保留.‎ 一、选择题。‎ ‎1.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：直线的斜率，其倾斜角为．‎ 考点：直线的倾斜角．‎ ‎2.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）‎ A. (3,-1) B. (-1,3) C. (-3,-1) D. (3,1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，联立方程组，解得.故选A.‎ 考点：直线交点坐标的求法.‎ ‎3.长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是（ ）．‎ A. B. 2 C. D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由长方体的三个面的面积分别是，列 出方程组求出a，b，c，由此能求出长方体的体积．‎ ‎【详解】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，‎ ‎∵长方体的三个面的面积分别是，‎ ‎∴，解得a，b．c＝1．‎ ‎∴长方体的体积V＝abc，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查长方体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的结构特征的合 理运用．‎ ‎4.边长为的正四面体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，‎ ‎∴表面积为：4×a=a2，‎ 故选：D ‎5.对于直线的截距，下列说法正确的是（ ）‎ A. 在y轴上的截距是6 B. 在x轴上的截距是6‎ C. 在x轴上的截距是3 D. 在y轴上的截距是-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：令，得y轴上的截距，令得x轴上的截距 考点：截距的定义 ‎6.已知，则直线与直线的位置关系是（ ）‎ A. 平行 B. 相交或异面 C. 异面 D. 平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可．‎ ‎【详解】∵a∥α，∴a与α没有公共点，∵b⊂α，∴a、b没有公共点，‎ ‎∴a、b平行或异面．‎ 故答案为：D ‎【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系的判断与应用，基本知识的考查．‎ ‎7.两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ）‎ A. 两条平行直线 B. 一点和一条直线 C. 两条相交直线 D. 两个点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一 条直线，可能是两条相交线，不能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影 面垂直，这样两条线就是平行关系．‎ ‎【详解】∵有两条不平行的直线，‎ ‎∴这两条直线是异面或相交，‎ 其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，‎ 这两条直线需要同时与投影面垂直，‎ 这样两条线就是平行关系．‎ 与已知矛盾．‎ 故答案为：D ‎【点睛】本题考查平行投影与平行投影作图法，考查利用反证法的形式来说明两条直线的投影不可能 是两个点，本题是一个基础题．‎ ‎8. 若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知该几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，直角边为，棱柱的高为，所以体积为 考点：三视图 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.下列叙述中，正确的是（ ）‎ A. 因为，所以PQ ‎ B. 因为P，Q，所以=PQ C. 因为AB，CAB，DAB，所以CD ‎ D. 因为,,所以且 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为P∈α，Q∈α，所以PQ⊂α；因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ或α∥β或α∩β≠PQ；因为AB⊂α，C∈AB，D∈AB，所以CD⊂α；因为AB⊂α，AB⊂β，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）．‎ ‎【详解】因为P∈α，Q∈α，所以PQ⊂α，故A错误；‎ 因为P∈α，Q∈β，所以α，β相交或α∥β故B错误；‎ 因为AB⊂α，C∈AB，D∈AB，所以CD⊂α，故C错误；‎ 因为AB⊂α，AB⊂β，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β），故D正确．‎ 故答案为：D ‎【点睛】本题考查空间几何元素位置关系命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎10.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. 都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直 径，然后求出球的表面积．‎ ‎【详解】因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，‎ 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，‎ 所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：50π．‎ 故答案为：B ‎【点睛】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方 体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎11.在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．‎ 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．‎ 所以EH∥FG，且EH=FG．‎ 所以四边形EFGH为平行四边形．‎ 因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°‎ 所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．‎ ‎∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2‎ 故答案为：a2选A.‎ 考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等相等，以及面积公式属于基础题．‎ 点评：解决该试题的关键是先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．‎ ‎12.已知点A(2，-3)，B(-3，-2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值 范围是（　 ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出图象如下图所示，由图可知，斜率的取值范围是或，根据已知两点的斜率公式，有，所以取值范围是或.‎ 考点：两条直线位置关系．‎ 二：填空题。‎ ‎13.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为___cm2.‎ ‎【答案】或 50.24‎ ‎【解析】‎ 略 ‎14.两平行直线与的距离是____________________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝‎ ‎15.过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程___.‎ ‎【答案】x+y=3或y=2x ‎【解析】‎ 试题分析：解：当直线过原点时，设直线方程为：，因为直线过点，所以，‎ 即直线方程为；‎ 当直线不过原点时，可设直线的截距式方程为：，又直线过点，所以，‎ 所以，，即直线方程为.‎ 综上,答案应填:或.‎ 考点：1、待定系数法；2、直线的方程.‎ ‎16.如果对任何实数 ，直线(3＋ )x＋(1-2 )y＋1＋5 =0都过一个定点A，那么点A的坐标是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：方法一：一般取任意两个值，解二元一次方程就可以了.但是取合适的值会使计算简化，一般使一个未知数的系数为.取，方程就是，；取，方程就是，；所以点的坐标是；将点坐标代入方程得：，所以直线恒经过点；方法二：是将当做未知数，将方程写成，对于任意值，等式成立，所以，；解得，所以点的坐标是.故答案为：.‎ 考点：直线过定点问题.‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程 ‎（1）与直线2x+y+5=0平行；‎ ‎（2）与直线2x+y+5=0垂直.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）与直线2x + y + 5 = 0平行的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值 试题解析：点M（-1，2）‎ ‎（1） 直线方程为 ‎（2） 直线方程为 ‎18.已知的三个顶点是 ‎(1)求边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求边上的中线所在直线的方程.‎ ‎【答案】解：（1）如图，作直线，垂足为点。‎ ‎—————2分 ‎ 4分 由直线的点斜式方程可知直线的方程为：‎ 化简得：——6分 ‎（2）如图，取的中点，连接。高 考 资 源 ‎ 由中点坐标公式得，即点———————————9分 由直线的两点式方程可知直线的方程为：——————————11分 化简得：——————————————————————————12分 ‎【解析】‎ 略 ‎19.如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，分别是的中点.求证：.‎ ‎【答案】见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点为，连接,先证明,再证明.‎ ‎【详解】证明：如图，取中点为，连接 ‎ ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ 是的中点 ‎ ‎ ‎ 四边形为平行四边形.‎ 又 .‎ ‎【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.‎ ‎20.如图，已知正四棱锥V－ABCD中，若 ，求正四棱锥V－ABCD的体积．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 由题已知为正四棱锥，算体积，需知底面边长和高，由题条件可在直角三角形中算出底面边长和高，代入体积公式可得．‎ 试题解析：解：由已知有MC=3，VC=5，则VM=4，AB=BC=，‎ 所以正四棱锥V－的体积为V==24‎ 考点：锥体体积的算法．‎ ‎21.如图，在三棱锥中，分别是的中点， ‎ ‎ ‎ ‎（1） 求证：平面；‎ ‎（2） 求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3） 求点到平面的距离。‎ ‎【答案】（I）证明：见解析；（II）（III）点E到平面ACD的距离为 ‎【解析】‎ 试题分析：（I）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，满足定理；‎ ‎（II）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为 轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；‎ ‎（III）求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．‎ 解：（I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而 即 ‎ 平面 ‎（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中，‎ 是直角斜边AC上的中线， ‎ ‎（III）解：设点E到平面ACD的距离为 在中，‎ 而 ‎ 点E到平面ACD的距离为 考点：本题主要考查了直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．‎ 点评：解决该试题的关键是能对于空间中点线面的位置关系的研究，既可以运用几何方法来证明，也可以建立直角坐标系，借助于向量来得到。‎ ‎22.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．‎ ‎(1)求证：A1E⊥BD；‎ ‎(2)是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接AC，设AC∩DB＝O，连接A1O，OE.先证明BD⊥平面ACEA1，再证明A1E⊥BD.(2) 当E是CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 先证明∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角，再证明∠A1OE＝90°.所以平面A1BD⊥平面EBD.‎ ‎【详解】(1)连接AC，设AC∩DB＝O，连接A1O，OE.‎ ‎∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥BD，又BD⊥AC，‎ ‎∴BD⊥平面ACEA1，∵A1E⊂平面ACEA1，∴A1E⊥BD. ‎ ‎(2)当E是CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. ‎ 证明如下：‎ ‎∵A1B＝A1D，EB＝ED，O为BD中点，‎ ‎∴A1O⊥BD，EO⊥BD，‎ ‎∴∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角．‎ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设棱长为2a，‎ ‎∵E为棱CC1的中点，由平面几何知识，EO＝a，A1O＝a，A1E＝3a，‎ ‎∴A1E2＝A1O2＋EO2，即∠A1OE＝90°.‎ ‎∴平面A1BD⊥平面EBD.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.‎